Vetores: Definição e Operações

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Vetores 
Definição: 
São representações geométricas de algumas grandezas físicas 
chamadas de grandezas vetoriais (força, velocidade, aceleração, etc). 
Os vetores do plano ou do espaço, são representados por segmentos 
orientados e têm, como símbolo, a seta. 
 
 
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo 
sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo 
vetor. Por exemplo, no paralelogramo da figura abaixo, os segmentos 
orientados 
→
AB e 
→
CD determinam o mesmo vetor 
→
v , e escreve-se: 
→ →→
v =AB=CD 
 
 
 
Obs: 
→
−AB=B A 
Quando escrevemos →
→
v =AB , estamos afirmando que o vetor é 
determinado pelo segmento orientado 
→
AB de origem A e extremidade B. 
Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma 
direção e mesmo sentido de 
→
AB representa também o mesmo vetor 
→
v . 
Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem 
de um segmento orientado que é representante do vetor 
→
v . 
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor 
→
v é o 
módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. 
Indica-se módulo de 
→
v por |v| ou por ||v||. 
D 
C 
B 
A 
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), 
que é indicado por zero. 
A cada vetor não nulo 
→
v corresponde um vetor oposto –
→
v , que tem o 
mesmo módulo, a mesma direção, porém sentido contrário ao de 
→
v . Se 
v = 
→
AB , o vetor 
→
BA é o oposto de 
→
AB , isto é, 
→
BA = –
→
AB . 
 
 
 
 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em 
outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e 
CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 
 
 
 
Se os vetores 
→
u , 
→
v e 
→
w (o número de vetores não importa) possuem 
representantes 
→
AB , 
→
CD e 
→
EF pertencentes a um mesmo plano pi, diz-
se que eles são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
→
v
→
. 
-
→
v 
→
v
 
→
u
 
→
v
 
→
u
 
A 
B 
A 
B 
C 
D 
D 
C 
→
v 
→
u 
→
w 
A 
C 
D 
E 
F 
B 
pi 
Casos Particulares de Vetores: 
� Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se 
→
u // 
→
v , se os seus 
representantes tiverem a mesma direção. 
 
 
 
� Dois vetores 
→
u e 
→
v são iguais, 
→
u = 
→
v , se tiverem iguais o módulo, 
a direção e o sentido. 
� Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor 
nulo), que é indicado por zero ou →0 . Pelo fato deste vetor não 
possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero 
paralelo a qualquer vetor. 
� Um vetor 
→
u é unitário se |u| = 1. 
� A cada vetor 
→
v , 
→
v ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários 
de mesma direção de 
→
v . 
→
u e –
→
u . Na figura abaixo, tem-se que |v| 
= 3 e |u| = |–u| = 1. O vetor →u que tem o mesmo sentido de →v é 
chamado versor de 
→
v . Na verdade o vetor 
→
u não é só versor do 
vetor 
→
v , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo 
sentido de 
→
v e medidos com a mesma unidade. 
 
 
 
 
� Dois vetores u e v são ortogonais, se algum representante de u 
formar ângulo reto (90º) com algum representante de v. 
 
 
→
u 
→
v 
→
w
→
v
 
→
u
 
→
−u
 
� Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde 
estes vetores estão representados. É importante observar que 
dois vetores 
→
u e 
→
v quaisquer são sempre coplanares, pois basta 
considerar um ponto P no espaço, e com origem nele, traçar os 
dois representantes de 
→
u e 
→
v pertencendo ao plano pi que passa 
por aquele ponto. 
 
 
 
 
 
Operações com Vetores: 
Adição de vetores: 
Sejam os vetores →u e →v representados, na figura abaixo, pelos 
segmentos orientados 
→
AB e 
→
BC , respectivamente. 
 
 
 
 
Os pontos A e C determinam o vetor soma 
→
AC = 
→ →
+u v . 
 
 
 
 
 
P 
→
v 
→
u 
pi 
→
u
 
→
v 
→ →
+u v 
A 
B 
C 
Observações: 
1) A diferença de dois vetores →u e →v quaisquer é o vetor → → + − 
 
u v . 
Sejam os vetores →u e →v representados pelos segmentos 
orientados 
→
AB e 
→
AC , respectivamente. Construído o 
paralelogramo ABCD, da figura abaixo, verifica-se que a soma 
→ →
+u v é representada pelo segmento orientado 
→
AD (uma das 
diagonais) e que a diferença → →−u v é representada pelo segmento 
orientado 
→
CB (a outra diagonal). 
 
 
 
 
 
2) Quando os vetores →u e →v estão aplicados no mesmo ponto, 
verifica-se que: 
� A soma 
→ →
+u v (ou → →+v u ) tem origem no referido ponto; 
� A diferença 
→ →
−u v tem origem na extremidade de →v (e, por 
conseguinte, a diferença 
→ →
−v u tem origem na extremidade de →u ). 
Multiplicação de um número real por um vetor: 
Dado um vetor 
→
v≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do 
número real k pelo vetor 
→
v o vetor 
→ →
=p k v , tal que: 
� Módulo: |p| = |k.v| = |k| . |v|; 
� Direção: a mesma de 
→
v ; 
� Sentido: o mesmo de 
→
v se k > 0; e o contrário 
→
v de se k < 0. 
 
→
v 
→
u
 
→ →
−u v 
A 
B 
C 
D 
→
u
 
→
−v 
→
u
 → →
+v u 
A 
B 
C 
D 
→
u
 
→
v 
→
v 
→ →
+u v 
A figura abaixo mostra o vetor 
→
v e os correspondentes 2
→
v e –3
→
v . 
 
 
 
Observações: 
1) Se k = 0 ou →v= 0, o vetor →k v é o vetor →0 ; 
2) Se k = –1, o vetor (–1) →v é o oposto de →v , isto é, (–1) →v = – →v . 
3) Considerando o ponto O como origem de →v , →v ≠ 0, e de todos os 
vetores α
→
v que lhe são paralelos (figura abaixo), se fizermos α 
assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só 
reta todos os vetores paralelos a 
→
v . 
 
Por outro lado, supondo 
→
u // 
→
v , 
→
v ≠ 0, sempre existe um número 
real α tal que 
→
u= α
→
v . 
Por exemplo, na figura abaixo, onde 
↔
DC está dividido em cinco 
segmentos congruentes, em relação ao vetor 
→
AB (| →AB | = 2), tem-
se: 
→ →
→ →
→ →
=
=
= −
−
3AC AB2
BD 2AB
5CD AB2
 
–3
→
v 
2
→
v 
→
v 
4) Vimos nos casos particulares de vetores, que a cada vetor →v , →v ≠ 
0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a 
→
v . O vetor 
unitário 
| |
→
→
1 v
v
ou 
| |
→
→
v
v
de mesmo sentido de é o versor de 
→
v . 
 
Por exemplo, 
se | →v | = 5, o versor de →v é | |
→
v
5 ; 
se | →v | = 13 , o versor de 
→
v é 
→
3v ; 
se | →v | = 10, o versor de – →v é – | |
→
v
10 ; 
Exercícios Propostos: 
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. 
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
 
 
 
 
 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é 
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Seja o vetor →v ≠ 0. Determinar o vetor paralelo a →v tal que 
a) tenha o mesmo sentido de →v e módulo 5; 
b) tenha sentido contrário aode →v e módulo 10.