GeometriaAnalticaaula03 2011 20150902164649

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Vetores no R
3
: 
O conjunto R3 = R x R x R = {(x, y, z) / x, y, z Є R} é interpretado 
geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional 
Oxyz. Qualquer vetor 
→
AB considerado neste espaço tem sempre 
um representante 
→
OP (segmento orientado) cuja origem é a origem 
do sistema. Portanto, cada vetor do espaço é determinado pelo 
ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, z) individualiza 
o vetor 
→
v= 
→
OP (figura abaixo) e escreve-se →v = (x, y, z) 
identificando-se as coordenadas de P com as componentes de 
→
v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A origem do sistema O(0, 0, 0) representa o vetor nulo →0 . O vetor 
oposto de 
→
v = (x, y, z) é o vetor – →v = (–x, –y, –z). 
Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, –2, 4), 
procedemos assim: 
1º) marca-se o ponto A’(3, –2, 0) no plano xy; 
2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para 
cima (se fossem –4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade – Operações – Vetor Definido por Dois Pontos – Ponto 
Médio – Paralelismo – Módulo de um Vetor: 
De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espaço: 
1) Dois vetores →u = (x1, y1, z1) e →v = (x2, y2, z2) são iguais se, e 
somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. 
2) Dados os vetores →u = (x1, y1, z1), →v = (x2, y2, z2) e a Є R, 
defini-se: 
a) → →+u v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) 
b) a →u = (ax1, ay1, a z1) 
 
3) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no 
espaço, então 
→
AB = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) 
Obs: Se 
→
v = B – A, então: B = A + 
→
v . 
A figura ao lado indica que para 
encontrar as coordenadas do 
ponto extremo B, somam-se 
ordenadamente as coordenadas 
do ponto inicial A com as 
componentes do vetor 
→
v . 
 
 
 
 
4) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são os pontos extremos de um 
segmento, o ponto médio M de AB é 
 
, ,
 
 
 
1 2 1 2 1 2
x +x y +y z +zM 2 2 2 . 
 
5) Se os vetores →u = (x1, y1, z1) e →v = (x2, y2, z2) são paralelos, 
então: 
→
u = α
→
v ou (1 1 1
2 2 2
x y z= = =α)
x y z
 
6) O módulo do vetor →v = (x, y, z) é dado por: 
| |→ 2 2 2v = x +y +z 
7) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no 
espaço, então o vetor 
→
AB = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) e, 
seu módulo, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )| |→ − − −2 2 22 2 2
1 1 1
AB =d A,B = x x + y y + z z
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produtos de Vetores 
Produto Escalar: 
O produto escalar dos vetores 
→
u = ( u1, u2, ..., un) e →v= (v1, v2, ..., vn) 
do Rn, denotado 
→
u .
→
v (lê-se u escalar v), é definido como: 
→
u .
→
v= ( u1, u2, ..., un) . (v1, v2, ..., vn) = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. 
A denominação produto escalar deve-se ao fato de tratar de um 
produto entre dois vetores que resulta em um escalar (nesse caso, 
um número real). 
Ex: 
1) O produto escalar de →u = (1, –3, 5) e →v = (7, 2, 1) é: 
→
u .
→
v= (1, –3, 5) . (7, 2, 1) = 7 – 6 + 5 = 6 
Propriedades do Produto Escalar: 
Dados quaisquer vetores 
→
u , 
→
v e 
→w Є Rn e qualquer α Є R, o produto 
escalar possui as seguintes propriedades: 
1) Positividade: →v . →v ≥ 0. Além disso, →v . →v = 0 se, e somente 
se, 
→
v = 0. 
 
2) Comutatividade: →u . →v = →v . →u 
 
3) Distributividade: →u .( →v + →w ) = →u . →v + →u . →w 
 
Obs: 
Como conseqüência imediata da propriedade (1), temos o 
importante resultado: 
→
v . 
→
v = 2 2 21 2 n
→
∴v +v +...+v | v | = v.v . 
 
Ângulos entre Vetores: 
Consideremos os vetores 
→
ue
→
v , ambos do R2 ou R3, com origem 
comum e que o ângulo por eles determinado seja θ conforme a 
figura abaixo. 
 
cosθ = . 
 . 
→ →
→ →
u v
|u| | v |
 ∴ θ = arccos . 
 . 
→ →
→ →
 
 
 
 
u v
|u| | v |
 
Definições Importantes: 
1) Ortogonalidade: Dizemos que dois vetores →ue →v do Rn são 
ortogonais se: 
→
u .
→
v = 0 
Produto Vetorial: 
O produto vetorial é definido apenas para vetores do R3 e resulta 
em um vetor do próprio R3. 
O produto vetorial dos vetores 
→
u = ( x1, y1, z1) e →v= (x2, y2, z2) do R3, 
denotado 
→
ux
→
v (lê-se u vetorial v), é definido como: 
→ →
1 1 1
2 2 2
x x y z
x y z
i j k
u v = 
 
 
Ex: 
1) O produto vetorial dos vetores →u = (1, 2, 1) e →v = (–2, 3, 1) é 
dado por: 
→ →
−
x 1 2 1
2 3 1
i j k
u v = = –i –3j +7k = (–1, –3, 7). 
Propriedades do Produto Vetorial: 
1) O sentido do vetor →ux →vpode ser obtido pela chamada regra 
da mão direita. Veja a figura: 
 
2) →ux →v = – ( →v x →u ). Esta propriedade 
(muitas vezes denominada 
anticomutativa) nos diz que se 
trocarmos a ordem dos vetores 
no produto vetorial o vetor 
resultante terá o sentido 
invertido.Veja a figura ao lado. 
 Produto Misto: 
A combinação dos produtos escalar e vetorial define um novo 
produto de vetores, denominado produto misto. Este produto 
envolve três vetores. 
 
 
Definição: 
O produto misto dos vetores 
→
u ,
→
v e 
→w do R3 é definido como: 
 
→
u . ( →v x →w ) 
Na definição de produto misto observamos que: 
• Esse produto envolve um produto vetorial e um produto 
escalar; necessariamente, o produto vetorial deve ser 
efetuado primeiro; 
• Pela comutatividade do produto escalar temos: 
 
→
u . ( →v x →w ) = ( →v x →w ) . →u ; 
• Pela anticomutatividade do produto vetorial temos: 
 
→
u . ( →v x →w ) = – →u . ( →w x →v ) 
Dados 
→
u = ( x1, y1, z1), →v= (x2, y2, z2) e →w = (x3, y3, z3), o 
desenvolvimento do produto misto resulta: 
 
 
 
Propriedades do Produto Misto: 
As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das 
propriedades dos determinantes. 
1) →u . ( →v x →w ) = →v . ( →w x →u ) = →w . ( →u x →v ) 
2) →u . ( →w x →v ) = →w . ( →v x →u ) = →v . ( →u x →w ) 
3) →u . ( →v x →w ) = – →u . ( →w x →v ) 
 
 
 
 
→→ →
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
.( x ) x y z
x y z
u v w =
Exercícios Propostos: 
1) Dados os pontos A(2, –2, 3); B(1, 1, 5) e o vetor →v = (1, 3, –4), 
calcular: 
a) A + 3 →v 
b) (A – B) – →v 
c) B + 2(B – A) 
d) 2 →v – 3(B – A) 
 
2) Dados os pontos A(3, –4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N 
pertencente ao segmento AB tal que 
→ →
=
2AN AB5 . 
3) Dados os pontos A(1, –2, 3); B(2, 1, –4) e C(–1, –3, 1) 
determinar o ponto D tal que 
→
AB + 
→
CD = 
→
0 . 
 
4) Sabendo que 3 →u – 4 →v = 2 →w , determinar a, b, c, sendo 
→
u = (2, –1, c), →v = (a, b–2, 3) e →w = (4, –1, 0) 
 
5) Dados os vetores →u = (2, 3, –1); →v = (1, –1, 1) e →w = (–3, 4, 0) 
determinar: 
a) o vetor →x tal que 3 →u – →v + →x = 4 →x + 2 →w ; 
b) os números a1, a2 e a3 tais que a1 →u + a2 →v + a3 →w = (–2, 13, –5) 
 
6) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de 
vértices: A (4, y, 4),B(10, y, –2) e C(2, 0, –4). 
 
7) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos 
A (3, –1, 4) e B(1, –2, –3). 
 
8) Obter o ponto P do eixo das cotas (OZ) cuja distância ao ponto 
A(–1, 2, –2) seja igual a 3. 
 
9) Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os 
vetores 
→
u = (3, 2, –1) e →v = (a, 6, b) + 2 →w sejam paralelos.10) A reta que passa pelos pontos A(–2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é 
paralela a reta determinada por C(3, –1, –1) e D(0, m, n). 
Determinar o ponto D. 
11) Verificar se são colineares os pontos: 
a. A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1). 
b. A(2, 1, –1), B(3, –1, 0) e C(1, 0, 4). 
c. A(–1, 4, –3), B(2, 1, 3) e C(4, –1, 7). 
 
12) Mostre que o quadrilátero de vértices consecutivos em 
P(1, –2, 3), Q(4, 3, –1), R(2, 2, 1) e S(5, 7, –3) é um paralelogramo. 
 
13) Dados os vetores →u = (2, –3, –1) e →v = (1, –1, 4) calcular: 
a) 2 →u .(– →v ) 
b) ( →u + 3 →v ).( →v – 2 →u ) 
c) ( →u + v).( →u – →v ) 
d) ( →u + →v ).( →v – →u ) 
 
14) Dados os vetores →u = (2, a, –1); →v = (3, 1, –2) e 
→w = (2a –1, –2, 4), determinar a tal que: →u . →v = ( →u + →v ).( →v + →w ) 
 
15) Dados os pontos A = (4, 0, –1); B = (2, –2, 1) e C = (1, 3, 2) e os 
vetores 
→
u = (2, 1, 1) e →v = (–1, –2, 3) obter o vetor →x tal que: 
 
a) 3 →x + 2 →v = →x + ( →AB . →u ) →v 
b) ( →BC . →v ) →x = ( →u . →v ) →v – 3 →x 
 
16) Sendo →u = (3, – 1 – 2); →v = (2, 4, – 1) e →w = (–1, 0, 1) 
determinar: 
a) | →u x →u | 
b) 2 →v x 3 →v 
c) ( →u x →w ) + ( →w x →u ) 
d) ( →u– →v ) x →w