TRABALHO VIBRAÇÕES MÊCÂNICAS FORÇADAS

•

UAM

Rodrigo de Oliveira

29.04.2018

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Vibrações Mecânicas

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UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI

PAULO SHIGUEAKI SINKAWA JUNIOR
THIAGO ALVES RAMOS OLIVEIRA
WALLACE DOS SANTOS CERUTTI

VIBRAÇÕES MECÂNICAS FORÇADAS

São Paulo
2014

UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI

PAULO SHIGUEAKI SINKAWA JUNIOR RA: 20606144
THIAGO ALVES RAMOS OLIVEIRA RA: 20463541
WALLACE DOS SANTOS CERUTTI RA: 20602803

VIBRAÇÕES MECÂNICAS FORÇADAS

Trabalho apresentado como exigência parcial para a
disciplina Mecânica Geral, do curso de Engenharia
Mecânica da Universidade Anhembi Morumbi, sob a
orientação do Prof. Edson Puig.

São Paulo
2014

RESUMO
Este trabalho abordará técnicas de vibrações Mecânicas forçadas e suas
aplicações, com o objetivo de analisar e estudar os modelos e regras apresentados.
É de grande importância o uso de estudo de vibrações forçadas para que facilitem e
ajudem Engenheiros e toda a área da tecnologia a obterem melhores resultados e
uma melhor performance, o método de foco será a como reagem vibrações quando
são forçadas a uma certa magnitude e amplitude, onde se concentra cálculos desde
magnitudes até trabalho da força e deslocamentos, podendo ser empregadas em
diversos campos de pesquisa e desenvolvimento.
É apresentada a teoria bem como a aplicação de tal método em um estudo de caso,
sendo discutidos também os resultados obtidos.

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................5
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................6
2.1. Vibrações Mecânicas forçadas ................................................................6
2.1.1 Vibrações forçadas não amortecidas ..........................................7
2.1.2 Vibrações forçadas amortecidas..................................................8
3 DESCRIÇÃO DE APLICAÇÕES ........................................................................ 10
3.1. Mesa sobre vibratóções forçadas com amortecedores .................... 10
3.2. Analises de vibrações de um compactador de solo amortecido ..... 14
3.3. Analise de vibrações em um motor sobre molas............................... 17
4 DISCUSSÕES E RESULTADOS ....................................................................... 19
5 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 22
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 23

1 INTRODUÇÃO

Vibração forçada é o movimento de um ponto oscilando em torno de um ponto
de referência. A amplitude do movimento é indicada em milímetros ou polegadas. O
número de vezes que ocorre o movimento completo em determinado tempo é
chamado de Frequência em geral indicada em Hertz (Hz). As vibrações mecânicas
podem ser medidas em aceleração (unidade SI: metros por segundo ao quadrado),
velocidade (unidade SI: metros por segundo) ou deslocamento (unidade SI: metros).
Para a medição de vibrações em máquinas, são comuns os instrumentos
comumente utilizados na medição de vibrações é o coletor de dados de vibrações,
que utiliza um sistema transdutor de vibrações mecânicas em sinais elétricos
conhecidos como acelerômetro ocorre quando um sistema mecânico é definido
desligado com uma entrada inicial e depois deixado a vibrar livremente. Exemplos
deste tipo de vibração: puxar uma criança em um balanço e depois soltar, bater um
diapasão e deixá-lo tocar. O sistema mecânico então irá vibrar em uma ou mais
"frequências naturais" tendendo a zero.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Vibrações mecânicas forçadas
Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças
externas durante o movimento. As forças que atuam sobre o sistema podem ser
determinísticas ou aleatórias, determinando uma característica do movimento
vibratório. As forças determinísticas poderão se apresentar de diversas formas. As
forças harmônicas e as forças periódicas são as que representam a maioria dos
fenômenos responsáveis por vibrações em sistemas físicos. os sistemas que serão
estudados são representados por equações diferenciais lineares. A resposta de um
tal sistema, que é a solução da equação do movimento, sob a ação de forças, terá a
mesma forma funcional que a força atuante. Isto significa que uma força harmônica
produz uma vibração harmônica, uma força periódica produz uma vibração
periódica, etc. A solução particular da equação diferencial é, então responsável por
representar este movimento. Mas a solução geral é composta de uma solução
homogênea e uma solução particular. A solução homogênea representa a parcela
transitória da resposta do sistema, aquela que é produzida pelas condições iniciais
do movimento. É também a solução homogênea que representa a resposta
transiente que resulta da aplicação eventual de alguma força com tempo de duração
finito. A excitação harmônica é representada por uma função senoidal apresentando
a forma
F(t)=F0.sen(ωt-φ) ou F(t)=F0.cos (ωt-φ)
Onde F0 é a amplitude da força (o valor da força quando a mesma é aplicada
estaticamente), ω é a frequência com que a força é aplicada (igual a zero quando de
aplicação estática) e φ é o ângulo de fase medido em relação ao referencial de
tempo (atraso da resposta em relação à força).Dois casos mais expressivos são as
Vibrações forçadas não amortecidas eas Vibrações forçadas amortecidas viscosas.

2.1.1 Vibrações mecânicas forçadas não amortecidas
A Vibração forçada não amortecida é Quando a equação do movimento é
aplicada a um corpo que é submetido a uma força periódica, ou o apoio tem um
deslocamento com uma frequência ωo então a solução da equação diferencial
consiste de uma solução complementar é causada pela vibração livre e pode ser
desprezada. A solução particular é causada pela vibração forçada. Ocorrera
ressonância se a frequência natural de vibração ωn for igual a frequência de
forçamento ωo. Isso deve ser evitado, já que o movimento tenderá a se tornar
incontrolado.

2.1.2 Vibrações mecânicas forçadas amortecidas
E por fim temos a Vibração forçada amortecida que ocorre quando temos
perdas de energias por atrito, Se a vibração for livre haverá sempre diminuição da
amplitude da vibração eo sistema tendera a para na posição de equilíbrio. Se a
vibração for forçada poderá haver ou não diminuição da amplitude vibratória, porque
a excitação repõe energia no sistema.

3 DESCRIÇÃO DE APLICAÇÕES
3.1. Mesa sobre vibrações forçadas com amortecedores

Em muitos casos práticos, vibrações forçadas são transmitidas de um sistema
para outro através de elementos construtivos como acoplamentos, estruturas,
apoios, etc. Na página anterior, foi dado o conceito básicode conjuntos Vibratórios
diferentes, alguns que oscilam na sua frequência natural (ou de ressonância). No
caso de vibração forçada, o sistema é levado a oscilar em frequência não
necessariamente igual a da ressonância. A seguir vamos ver uma Mesa vibratória
que são largamente usadas para compactação de produtos em pó, materiais à
granel e substâncias pastosas, dentro da própria embalagem ou em formas.
Farinhas, café moído, açúcar, sabão em pó, farelos, rações, pregos, parafusos etc.
são vibrados, quando dispostos sobre a mesa vibratória, de forma a compactarem-
se, reduzindo assim o volume ocupado. Estas reduções são de até 30% em poucos
segundos de aplicação. A mesa também pode ser usada na eliminação de bolhas de
ar de produtos como sardinhas em lata, potes de geleia, formas de chocolate e
outros mais. Este processo encurtará sensivelmente a permanência dos produtos
em câmaras de vácuo, pois boa parte das bolhas será eliminada pela vibração
forçada.
As mesas vibratórias consistem-se basicamente de uma plataforma vibrante
com acionamento, apoiada em molas de isolamento e um suporte. Suas grandes
aplicações são compactar materiais, adensar concreto e testar equipamentos
eletrônicos. Onde são medidas suas magnitudes e amplitude da vibração com uma
força Amortecida e o conjunto básico massa-mola, e a aplicação de uma força
externa periódica O, cuja intensidade representa um movimento harmônico simples:

O=Om sen.ωt.

Onde Om é o valor máximo ou amplitude conforme já visto.

Figura 01

De forma similar, aplica-se a segunda lei de Newton para resultante das forças no
corpo:

Na primeira figura 01 do tópico Conjunto massa-mola da Mesa Vibratória foi dado
que o peso próprio é P = k e. Substituindo,

Essa hipótese representa uma situação real em que a força é aplicada diretamente
no corpo oscilante. Exemplo: um motor suspenso em molas, que tem o eixo
desbalanceado ou que aciona uma peça excêntrica.
Outra situação possível é a aplicação de um movimento alternativo na mola
conforme figura 02. Considera-se um movimento harmônico simples, fornecido por
um disco que gira com uma velocidade angular constante ω e um sistema de pino e
guia conforme figura.

Figura 02

Assim, em um instante genérico t, dado em (c) da figura, a deformação da mola
pode ser indicada por:

e + x − R sen. ωt.

Aplicando a segunda lei de Newton para a resultante.

Considerando que P = k e, a substituição resulta em:

Essa equação é a mesma anterior (#A.1#) com Om = k R.
Portanto, pode-se dizer que as situações das Figuras 01 e 02 são equivalentes. O
desenvolvimento da solução para a equação diferencial não é apresentado aqui, que
tem resultado:

x = A sen. ωnt + B cos ωnt + C sen. ωt #C.1#. Onde:

O gráfico do comportamento das vibrações amortecidas na Mesa vibradora:

Figura 03

Notar que a igualdade #C.1# equivale à soma de dois movimentos
harmônicos:

• A sen. ωnt + B cos ωnt, que é o movimento na frequência de ressonância do
conjunto massa-mola, fR = 2 π / ωn, conforme visto em página anterior. As
constantes A e B são definidas pelas condições iniciais do movimento, segundo
considerações na mesma página.

• C sen. ωt, que é um movimento na mesma frequência (f = ω / 2 π) do movimento
aplicado.

Desde que (Om/k) = R é a amplitude máxima do movimento aplicado e C, a
amplitude do mesmo movimento no conjunto, pode-se definir uma relação entre
ambos:

Portanto β pode ser entendido como um fator de multiplicação do movimento. A
Figura 03 mostra um gráfico aproximado de β em relação à ω/ωn.
Observar que, se o movimento aplicado tem frequência igual à de ressonância do

conjunto (ω = ωn), a amplitude da oscilação é teoricamente infinita. É evidente que
isso não ocorre na prática, pois os atritos internos e externos e as dimensões finitas
limitam a amplitude.

De qualquer forma, na ressonância há máxima transferência de energia e isso pode
provocar falhas ou mesmo colapso de estruturas. É bem conhecido aquela regra
militar que proíbe tropas marcharem de forma cadenciada sobre pontes, que são em
geral estruturas de grande massa e, consequentemente, de baixa frequência de
ressonância. Ver as relações ωn = √ (k/m) e f = ωn/2 π. Ela pode, portanto, estar
próxima da cadência dos passos e um dano ou acidente é possível.

3.2. Analises de vibrações de um compactador de solo amortecido

O mesmo conceito do calculo da mesa é aplicado ao compactador de solo mostrado
abaixo se calculando a amplitude ea frequência de Ressonância da vibração forçada
amortecida.
Compactador de Solo Percussão Motor TE401 4 HP Partida Manual, equipado com
motor Toyama de 4 HP e filtro de ar de duplo elemento. Possui tanque de
combustível em material anticorrosivo, sapata em poliuretano revestida em aço
proporcionar maior vida útil à mesma. Seu sistema de absorção de vibração é
reforçado gerando maior conforto ao operador. Possui Sanfona, Coifa e possui alta
resistência contra agentes externos. O TTR80X é indicado para adensar terra, areia,
cascalhos e outros tipos de terrenos, visando um melhor substrato para a construção
de uma obra, como um edifício, instalações hidráulicas, elétricas, gasodutos por
exemplo.

• Oscilações amortecidas forçadas de um compactador de solo
Se, em um dos sistemas forçados do tópico anterior, é acrescentado um elemento
amortecedor (Figura 01), pode-se usar procedimento similar ao apresentado em
página anterior. É considerada uma força atuante D= c v, onde c é o coeficiente de
amortecimento e v, a velocidade (dx/dt).
figura 04.

Assim, uma das equações iniciais dadas no tópico anterior (#A.1# por exemplo) fica:

O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. Pode-se chegar a uma
solução do tipo:

x = C sen (ωt − φ) #B.1#. Onde:

Considerando que o deslocamento máximo do movimento aplicado é R = Om/k
(tópico anterior) e c0 = 2 m ωn (coeficiente de amortecimento crítico. Ver página
anterior), pode-se obter uma relação entre a amplitude do movimento aplicado e a
amplitude do mesmo movimento no sistema:

Isso significa uma comparação das amplitudes de forma similar à do tópico anterior

A Figura 02 mostra as curvas aproximadas de ß em relação a ω para várias relações
c/c0. Se c/c0 = 0, isto é, c = 0, não há amortecimento e a curva é semelhante à do
tópico anterior (com exceção do sinal, pois aqui há uma raiz quadrada). À medida
que c aumenta, a amplitude diminui. Isso significa que um maior amortecimento
reduz a amplitude das oscilações forçadas. A redução também se consegue com
frequências distantes da ressonância do conjunto.

3.3 Análise de vibrações em um motor sobre molas
Seja, conforme Figura 01 (a), um motor montado sobre uma base apoiada por
4 molas. Os pinos de guia no interior das molas restringem o movimento vibratório
do conjunto, isto é, ele só pode ser vertical. Consideram-se os seguintes valores
hipotéticos:

• O conjunto motor e base tem uma massa de 200 kg.
• O motor gira com velocidade angular constante de 1800 rpm.
• O desbalanceamento do motor é equivalente à rotação, na mesma
• Velocidade angular, de uma massade 40 g situada a 10 cm do eixo de
rotação.
• Cada mola tem uma constante de 100 000 N/m.

O estudo feito quer determinar a amplitude de vibração do conjunto bem como a
rotação na qual a ressonância ocorre, supondo que as forças se distribuem
igualmente pelas 4 molas.

Em unidades SI, a velocidade angular do motor é ω ≈ 188,5 rad/s. Conforme Figura
01 (b), a rotação de uma massa m (= 40 g = 0,04 kg) com um raio R (= 10 cm =
0,1 m) produz uma força centrífuga Fc e a projeção sobre o eixo vertical (onde o
movimento é permitido) é igual a Fc sen. ωt, ou seja, um movimento harmônico
simples.

O cálculo de Fc é dado pela relação da Dinâmica: Fc = m ω2 R. Assim,

Fc = 0,04 188,52 0,1 ≈ 142,1 N.

Conforme tópico Molas em paralelo e em série, as 4 molas em paralelo têm uma
constante equivalente a

k = 4 . 100 000 = 400 000 N/m.

A velocidade angular natural de vibração do conjunto é dada por ωn = √ (k/m),
segundo igualdade #C.1# do tópico Conjunto massa-mola).
ωn = √ [400 000 (N/m) / 200 kg] ≈ 44,7 rad/s. Corresponde, portanto, a uma
Rotação de ≈ 427 rpm.

Pode-se notar que o conjunto equivale à situação de vibração forçada em Vibrações
forçadas, Figura 01 (c). E, usando a igualdade #D.1# desse tópico,

Apesar do balanceamento preciso, obtido pelos sistemas descritos anteriormente, o
desbalanceamento residual (sempre existente) geralmente é a causa principal de
vibrações encontradas em um motor. Não são apenas rotores desbalanceados que
causam vibrações. Os rolamentos e sistemas de acoplamento também podem
produzir vibrações mecânicas. Isto significa que qualquer elemento da maquina que
possui movimento, excita vibrações. As amplitudes de vibrações máximas em
rotores, provocadas por resíduos de massas desbalanceadas, são limitadas por
normas. A NBR7094 especifica limites de amplitudes de vibração para motores
elétricos a partir da carcaça 80.Estes valores variam com a rotação do motor.

Os limites de vibração (Veff.), expressos em milímetrospor segundo para as varias
carcaças e para os tres (3) graus de qualidade , os quais são chamados “N”(normal),

“R” (reduzido) e “S” (especial).

4 DISCUSSÕES E RESULTADOS

Obtivemos alguns resultados expressivos, e desenvolvemos através dessas
pesquisas exploratórias, uns conceitos para os componentes funcionais de uma
Mesas vibratórias, compactador de solo e um motor elétrico sobre molas.
Para que sirva como ferramenta de auxilio durante a aprendizagem de estudantes
no estudo de vibrações mecânicas, que simule variadas frequências tendo como
finalidade se visualizar a reação de um sistema composto por massa e mola quando
em ressonância e que se possa dimensionar o amortecedor adequado para este
sistema. Partindo do pressuposto da necessidade de um equipamento que simule os
fenômenos já comentados, iniciou-se a pesquisa a fim de se coletar maiores
informações sobre o assunto e quais as equações necessárias para a comprovação
destes fenômenos.
Após o levantamento destas informações, através de um brainstorming, constatou-
se a necessidade de cinco sistemas funcionais principais para a simulação de uma
vibração. Os elementos funcionais serão aqueles que terão relação direta com os
resultados fornecidos pelos estudos mostrados e podem ser divididos em:
• Sistema oscilante: Sistema responsável por produzir as oscilações;
• Sistema de controle: Sistema responsável pela alteração da frequência e
amplitude da vibração;
• Sistema condutor: Sistema responsável por transmitir a oscilação do sistema
condutor ao sistema de análise;
• Sistema de análise: Sistema responsável por simular os efeitos produzidos
pelas oscilações através de alteração de suas variáveis;
• Sistema de leitura: Sistema responsável pelo tratamento dos dados fornecidos
pelo protótipo.

Rao (2008), sugere para oscilação do sistema massa-mola, uma roda excêntrica
(came) que ao seu pico passar pela base do sistema, este será deslocado para cima
resultando em uma oscilação. Quando a massa apresentar seu deslocamento
máximo no sentido vertical, o sistema massa-mola terá entrado em ressonância com
o came. Baseado no modelo proposto por Rao (2008) que pode ser visualizado na
Figura 2, chegou-se a um conceito (princípios de solução) para cada sistema
funcional da dos estudos apresentados.

Sistema massa-mola excitado por vibração forçada.

5 CONCLUSÃO

Os cálculos apresentados para os estudos atendem os objetivos do presente
trabalho que foi apresentar através de algumas pesquisas exploratórias, um conceito
para os componentes funcionais de uma mesa de vibração forçada, um compactador
de solo e um motor com 4 molas que sirvam como ferramenta de auxilio durante a
aprendizagem de estudantes no estudo de vibrações mecânicas forçadas, que
simule variadas frequências, com a finalidade de se visualizar a reação de um
sistema composto por massa e mola quando em ressonância, a fim de se
dimensionar o amortecedor adequado para este sistema e de medir suas vibrações
forçadas exatas.
É possível a percepção de que através dos resultados alcançados e do
conceito proposto, é possível atingir o objetivo do trabalho, também é valido citar que
com o conceito proposto outros ensaios podem ser elaborados, como por exemplo, a
reação do sistema ao inserir amortecedores com diferentes coeficientes de
amortecimento como o caso do motor ou a reação do sistema com diferentes
amplitudes.
Conclui-se que por mais que a frequência natural de um sistema massa-mola pode
ser facilmente encontrada através de equações, um melhor aprendizado sobre o
fenômeno é dado de forma prática, ficando, portanto como principal contribuição
deste trabalho a possibilidade de ilustrar experimentalmente os diversos conceitos
envolvendo o fenômeno de vibrações.

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenheiros. SãoPaulo: Pearson Prentice Hall,
2012.

TIPLER, Paul; MOSCA, Gene. Física Pará cientistas e engenheiros: Mecânica, Oscilações e
Ondas Vol.1, 6ºEdição Termodinâmica. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

BORESI, A. P.. Estática. São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.

SERWAY RA, JEWETT JR JW. Física para Cientistas e Engenheiros, vol. 1. Cengage
Learning, 8ª ed., 2012.

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, Russell; CORNWELLl, Phillip J.; Mecânica Vetorial Para
Engenheiros - Dinâmica, 9 Ed., MCGRAW-HILL BRASIL, 2012.

INTRODUÇÃO AS VIBRAÇÕES MECÂNICAS, Editora Edgard Blucher, 1ºEdição José Soleto.
http://issuu.com/editorablucher/docs/issuu_introducao_vibrac oes_isbn9788521203384/9?e=109
9747/5195896

VIBRAÇÕES MECANICAS 4º EDIÇÃO AUTOR: SINGIRESU RAO
VIBRAÇÕES MECÂNICAS AUTOR: WILLIAM W. SETO ANO: 1971 EDITORA: MCGRAW-
HILL

Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos: Com Unidades do Sistema internacional, Autor:
Robert L. Norton, Editora: McGraw-Hill

Vibrações Mecânicas – Balakumar Balachandran e Edward B.
http://www3.ufpa.br/gva/Apostilas/Fundamentos%20de%20%20Vibracao.pdf
http://www.ino.com.br/downloads/ino_manual_completo.pdf
http://www.mspc.eng.br/mecn/mvbr140.shtml

Universidade anhembi morumbi
PAULO SHIGUEAKI SINKAWA JUNIOR
THIAGO ALVES Ramos OLIVEIRA
WALLACE DOS SANTOS CERUTTIVibrações Mecânicas Forçadas
Universidade anhembi morumbi
Paulo SHIGUEAKI SINKAWA JUNIOR RA: 20606144
Thiago Alves Ramos OLIVEIRA RA: 20463541
Wallace dos Santos Cerutti RA: 20602803
Vibrações Mecânicas Forçadas
ÍNDICE
Vibração forçada é o movimento de um ponto oscilando em torno de um ponto de referência. A amplitude do movimento é indicada em milímetros ou polegadas. O número de vezes que ocorre o movimento completo em determinado tempo é chamado de Frequência em ...
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Vibrações mecânicas forçadas
2.1.1 Vibrações mecânicas forçadas não amortecidas
2.1.2 Vibrações mecânicas forçadas amortecidas
3 descrição de aplicações
3.1. Mesa sobre vibrações forçadas com amortecedores
Essa hipótese representa uma situação real em que a força é aplicada diretamente no corpo oscilante. Exemplo: um motor suspenso em molas, que tem o eixo desbalanceado ou que aciona uma peça excêntrica.
Portanto β pode ser entendido como um fator de multiplicação do movimento. A Figura 03 mostra um gráfico aproximado de β em relação à ω/ωn. Observar que, se o movimento aplicado tem frequência igual à de ressonância do conjunto (ω = ωn), a amplitude ...
3.2. Analises de vibrações de um compactador de solo amortecido
• Oscilações amortecidas forçadas de um compactador de solo
5 CONCLUSÃO
Vibrações Mecânicas Autor: William W. Seto Ano: 1971 Editora: McGraw-Hill