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Departamento: Departamento de Matemática 
Disciplina: Estatística 
Nível: Graduação 
Monitor: Jonathan Lorenzo Fernandes 
Docente(s): Profa Gláucia Amorim Faria Profa Mara Lúcia Martins Lopes e Profa 
Beatriz Garcia Lopes 
 
1ª Lista de Estatística 
 Noções de Somatório, Análise combinatória e Permutação 
 
I - Exemplos com resolução 
Exemplo 1 (MANN,2015) 
A tabela a seguir lista quatro pares de valores para m e f: 
Utilizando a notação do somatório: duas variáveis. 
 
m 12 15 20 30 
f 5 9 10 16 
 
Calcule o seguinte: 
(a) ∑ 𝑚 
(b) ∑ 𝑓 
(c) ∑ 𝑚 𝑓 
(d) ∑ 𝑚2 𝑓 
 
Solução: 
Podemos escrever 
m1 = 12 m2 = 15 m3 = 20 m4 = 30 
f1 = 5 f2 = 9 f1 = 10 f4 = 16 
 
(a) ∑ 𝑚 = 12 + 15 + 20 + 30 = 77 
(b) ∑ 𝑓 = 52 + 92 + 102 + 162 = 25 + 81 + 100 + 256 = 462 
(c) Para calcular ∑ 𝑚𝑓 multiplicamos os valores correspondentes de m e f e, então, 
somamos os produtos da seguinte maneira: 
(d) ∑ 𝑚𝑓 = 𝑚1𝑓1 + 𝑚2𝑓2 + 𝑚3𝑓3 + 𝑚4𝑓4 
 = 12(5) + 15(9) + 20(10) + 30(16) = 875 
(d) Para calcular ∑ 𝑚2 𝑓, elevamos ao quadrado cada valor de m e, então, multiplicamos 
os valores correspondentes de m2 e f e somamos os produtos. Assim, 
∑ 𝑚2 𝑓 = (m1)2f1 + (m2)2f2 + (m3)2f3 + (m4)2f4 
 = (12)2(5) + (15)2(9) + (20)2(10) + (30)2(16) = 21.145 
 
Exemplo 2 (KOKOSKA 2012) 
Uma máquina de venda tem espaço para 6 tipos de soda. A soda pode ser arranjada em 
qualquer ordem em correspondência com os botões na frente da máquina. Se o operador 
tem 10 tipos diferentes de soda para escolher, quantas são as possíveis maneiras de se 
arranjar a máquina? 
 
 
Solução: 
PASSO 1: 
 Há n = 10 itens, precisamos escolher r = 6 e a ordem na qual a soda é ar- ranjada 
importa. Por exemplo, se representarmos por letras maiúsculas os tipos de soda, então o 
arranjo ABCDEF é diferente de ABCEDF. Devemos contar o número de permutações 
de 10 itens, tomados 6 de cada vez. 
PASSO 2 
Há 151.200 arranjos ordenados dos tipos de soda na máquina de venda. 
10P6 =
10!
(10 − 6)!
=
10!
4!
 
 =
(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
(4)(3)(2)(1)
= (10)(9)(8)(7)(6)(5) = 151.200 
 Há 151.200 arranjos ordenados dos tipos de soda na máquina de venda. 
 
Exemplo 3 (KOKOSKA 2012) 
Quantas maneiras há de se selecionar um júri de 12 pessoas entre 20? 
 
Solução: 
PASSO 1 Há n = 20 jurados em perspectiva, e precisamos escolher r = 12, sem importar 
a ordem. Um júri é um arranjo sem ordem de 12 pessoas. Precisamos contar o número 
de combinações de 20 itens, tomando 12 de cada vez. 
PASSO 2 
 
20∁12 = (
20
12
) =
20!
12! (20 − 12)!
=
20
12! 8!
 
 
= 
(20)(19)(18)(17)(16)(15)(14)(13)
8!
 = 125.970 
 
Há 125.970 maneiras de selecionar um júri de 12 pessoas entre 20 candidatos. 
 
II - Exercícios Propostos 
 
1. A tabela a seguir lista cinco pares de valores para m e f. (MANN,2015) 
m 5 10 17 20 25 
f 12 8 6 16 4 
Calcule o valor de cada um dos seguintes itens: 
a. Σm 
b. Σf2 
c. Σmf 
d. Σm2f 
 
2. O número de pizzas entregues em um campus universitário, em seis noites 
aleatoriamente selecionadas, corresponde a 48, 103, 95, 188, 286 e 136, 
respectivamente. Faça com que x represente o número de pizzas entregues nesse campus 
universitário em qualquer noite determinada. Encontre: (MANN,2015) 
a. Σx 
b. (Σx)2 
c. Σx2 
 
3 - Um time da Liga Nacional de Futebol vai jogar 16 partidas durante uma temporada 
regular. Cada partida pode resultar em um de três resultados: uma vitória, uma derrota 
ou um empate. Quantos resultados são possíveis? (MANN, 2015) 
 
4 -Se um teste de múltipla escolha tem cinco questões, com quatro possíveis respostas 
para cada uma, onde somente uma resposta é correta, (WALPOLE et al., 2009) 
a. quantas maneiras diferentes um aluno tem para marcar uma resposta para cada 
questão? 
b. quantas maneiras diferentes um aluno tem para marcar uma resposta para cada 
questão e errar todas as questões? 
 
 
5 - Em um ano, três premiações (pesquisa, ensino e serviços) serão entregues a 25 
alunos da graduação do departamento de estatística. Se cada estudante pode receber no 
máximo um prêmio, quantas seleções são possíveis? (WALPOLE et al., 2009) 
 
 
6 - Uma testemunha de um acidente em que o motorista bateu e fugiu contou à polícia 
que o número da placa continha as letras RLH, seguidas de três dígitos, onde o primeiro 
era 5. Se a testemunha não consegue se lembrar dos dois últimos dígitos, mas tem 
certeza de que todos os três dígitos são diferentes entre si, determine o número máximo 
de registros de automóveis que a polícia deverá checar. (WALPOLE et al., 2009) 
 
7 - "Manufatura e Desenvolvimento de Produto Uma companhia de entregas por 
correio oferece embalagens em cinco estilos, três tamanhos e 10 cores. (KOKOSKA 
2012) 
a. Quantas embalagens diferentes a companhia oferece? 
b. Azul-noite e verde-escuro são as duas cores mais populares. Quantas embalagens 
diferentes nessas cores a companhia oferece? 
c. A embalagem estilo urbano é a menos popular. Se a companhia eliminar esse estilo, 
quantas embalagens diferentes ela oferecerá?" 
 
8 - Quatro casais compraram oito lugares na mesma fileira para assistir a um concerto. 
Em quantas maneiras diferentes eles podem se sentar (WALPOLE et al., 2009) 
a. sem restrições. 
b. se cada casal sentar junto? 
c. se todos os homens sentarem juntos à direita de todas as mulheres? 
 
 
9. Sejam os conjuntos de dados: 𝑥 = {4,3,0,1} 𝑒 𝑦 = {3,0,1,3}. Obtenha os seguintes 
somatórios: (OLIVEIRA Et Al, 2014) 
a) ∑ 𝑥𝑖
4
𝑖=1 
b) ∑ 𝑥𝑖
24
𝑖=1 
c) ∑ 𝑥𝑖
4
𝑖=1 𝑦𝑖 
d) (∑ 𝑥𝑖
4
𝑖=1 )
2 
 
 
 
10.Calcule para os dados abaixo: (OLIVEIRA Et Al, 2014) 
i 1 2 3 4 5 6 
𝑧𝑖 7 3 8 9 4 3 
𝑥𝑖 9 13 15 21 25 29 
 
a) ∑ 𝑥𝑖
3
𝑖=1 
b) ∑ 𝑥𝑖
6
𝑖=3 
c) ∑ 𝑥𝑖
6
𝑖=1 
d) ∑ 𝑥𝑖
26
𝑖=1 
e) ∑ 𝑧𝑖
6
𝑖=1 
f) ∑ 𝑧𝑖
6
𝑖=1 𝑥𝑖 
g) ∑ 𝑧𝑖
6
𝑖=1 𝑥𝑖
2 
h) 𝑧̅ =
1
𝑛
× ∑ 𝑧𝑖𝑛𝑖=1 
i) √
∑ (𝑧𝑖−�̅�)
𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 
 
11. Numa grande criação de coelhos 40% são machos. Entre 20 coelhos retirados 
aleatoriamente, qual a probabilidade de: (OLIVEIRA Et Al, 2014) 
a) Reitrar 5 coelhos machos. 
b) Retirar pelo menos 2 coelhos machos. 
c) Retirar no máximo 2 coelhos machos. 
 
12. Suponhamos que a percentagem de germinação de uma semente de feijoeiro seja de 
60%. Serão semeadas três sementes por cova em um canteiro com 24 covas. 
a) Qual a probabilidade de obter-se pelo menos uma cova falhada no canteiro? 
b) Qual será o número esperado de covas falhadas no canteiro? 
c) Qual a probabilidade de se obter no máximo 10% de covas falhadas no canteiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
● DANTE, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. Volume Único. 2ª ed. 
Editora Ática. São Paulo-SP. 
● FERREIRA, D. F. Lista da 2a aula prática da disicplina GEX112. Disponível em: 
<http://www.dex.ufla.br/~danielff/cex163.htm>. Acessado em 16 de novembro de 
2016. 
● MANN, Prem S.. Introdução à Estatística, 8ª edição. LTC, 04/2015. VitalBook file. 
● MOORE, David S.. A Estatística Básica e sua Prática, 5ª edição. LTC, 02/2011. 
VitalBook file. 
● KOKOSKA, Stephen. Introdução à Estatística - Uma Abordagem por Resolução de 
Problemas. LTC, 12/2012. VitalBook file. 
● PANOSSO, Alan Rodrigo. no Lista de Exercício. UNESP-Campus Ilha Solteira). 
● MORETTIN, P.A. & BUSSAB, W.O. Estatística Básica. 8a Ed., São Paulo, Atual 
Editora Saraiva., 2013. 
● LIMA, P. C.; LIMA, R. R. de. Guia de Estudos de Estatistica, Apostila utilizadanos 
cursos de nivelamento de estatística da pós graduação da UFLA. 2015. 
● Alexandre, estatistica e respostas, UNIVAP. Disponivel em: 
<http://www1.univap.br/~alexandre/estatistica/respostas.pdf> . Acessado em 02 de 
Dezembro de 2016 
● OLIVEIRA, M. S. de; BEARZOTI, E. ; VILAS BOAS, F. L. ; NOGUEIRA, D. A. ; 
NICOLAU, L. A. ; OLIVEIRA, H. S. S. . Introdução à Estatística, 2a. edição. 2. ed. 
Lavras: Editora da Universidade Federal de Lavras, 2014. v. 1. 496p 
● VIEIRA, S. Estatística Básica, Cengage Learning, 2012. 176p.