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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 8 – Testes de hipóteses APOIO: Fundação de Ciência e Tecnologia de Santa Catarina (FUNCITEC) Departamento de Informática e Estatística (INE/CTC/UFSC) BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste de hipóteses População Conjectura (hipótese) sobre o comportamento de variáveis Amostra Resultados reais obtidos Decisão sobre a admissibilidade da hipótese BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Hipóteses • Hipótese nula: Ho é a hipótese aceita como verdadeira até a estatística provar contrário. Formulada em termos de igualdade do parâmetro populacional. • Hipótese alternativa: H1 caso a hipótese nula seja falsa, aceita-se a hipótese alternativa. Formulada em termos de desigualdade do parâmetro populacional. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 1. Hipóteses a) Substituindo o processador A pelo processador B, altera-se o tempo de resposta de um computador. b) Aumentando a dosagem de cimento, aumenta-se a resistência do concreto. c) Uma certa campanha publicitária produz efeito positivo nas vendas. d) A implementação de um programa de melhoria da qualidade em uma empresa prestadora de serviços melhora a satisfação de seus clientes. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Hipóteses em termos de parâmetros a) A média dos tempos de resposta do equipamento com o processador A é diferente da média dos tempos de resposta com o processador B. b) A média dos valores de resistência do concreto com a dosagem d2 de cimento é maior do que a média dos valores de resistência com a dosagem d1. c) A média das vendas depois da campanha publicitária é maior do que a média das vendas antes da campanha publicitária. d) A proporção de reclamações após a realização do programa de melhoria da qualidade é menor do que antes da realização do programa. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Hipótese nula e Hipótese alternativa • BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Hipótese nula e Hipótese alternativa c) H0: 2 = 1 e H1: 2 > 1 1 é o valor médio das vendas antes da campanha publicitária; 2 é o valor médio das vendas depois da campanha publicitária. d) H0: p2 = p1 e H1: p2 < p1 p1 é a proporção de reclamações antes do programa de melhoria da qualidade; p2 é a proporção de reclamações depois do programa de melhoria da qualidade. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Hipótese alternativa: Quando os dados mostram evidência que a hipótese nula é falsa, o teste rejeita-a, aceitando a hipótese alternativa. Formulada em termos de desiigualdade de parâmetros H0: ≠ 5 (1 amostra) H1: p ≠ 0.5 H1: A B (2 amostras) H1: 2 > 1 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 2. Nível de Significância () e Valor crítico (z) • Representa a probabilidade tolerável de se rejeitar H0 quando esta for verdadeira. Erro tipo I • Os valores mais comuns para o nível de significância são 5%, 10% e 1%. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Tipos de erro num teste estatístico • Tipos de erro num teste estatístico decisão correta (probab = 1 – ) erro tipo II (probab = ) H0 falsa erro tipo I (probab = ) decisão correta (probab = 1 – ) H0 verdadeira rejeita H0 aceita H0 Decisão do teste Realidade (desconhecida) P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira) = alfa P(erro tipo II) = P(aceitar H0 | H0 é falsa) = Beta BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 20% • 0 z - z 2 2 0 z 0 - z α Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: α BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 10% • 0 z - z 2 2 0 z 0 - z α Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: α BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Tabela normal padrão : Valor crítico para alfa 5% • 0 z - z 2 2 0 z 0 - z α Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: α BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção – abordagem clássica Nível de significância Obtenção do valor crítico zc pela tabela da normal 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 valor crítico (zc): 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 teste unilateral, : 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0.005 teste bilateral, : Valores usuais de zc, obtidos da distribuição normal padrão: ... BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção 3. Estatística teste (valor calculado) • Sejam: n y p ˆ y’ = y – 0,5 se y > n.p0 ou y’ = y + 0,5 se y < n.p0 (correção de continuidade) • Cálculo da estatística do teste: )1.(. . 00 0 ppn pny zcalc BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 4. Conclusão do teste – abordagem clássica • Bilateral: Se Zcalc >+Ztab ou Zcalc <-Ztab rejeita-se Ho • Unilateral à direita: Se Zcalc > Ztab rejeita-se Ho • Unilateral à esquerda: Se Zcalc < -Ztab rejeita-se Ho 0 z - z 2 2 0 z 0 - z α Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção – abordagem do valor p 1) Formulação das hipóteses ( Ho e H1) 2) Adota o nível de significância (alfa) 3) Estatística teste (Zcalculado) Encontra o p-valor. 4) Conclusão: Regra de decisão. Aceita-se ou rejeita-se Ho Regra de decisão: Valor p > aceita H0 Valor p rejeita H0 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Regra de decisão • Valor p • Valor p > • Rejeita H0 (prova-se estatisticamente H1) • Aceita H0 (os dados não mostram evidência para afirmar H1) BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção – abordagem do valor p )1.(. . 00 0 ppn pny z Amostra Cálculo de zObtenção de p pela tabela da normal 0 z - z p 2 p 2 0 z 0 - z p Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: p BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Atividade - Teste para proporção – abordagem do valor p 1) Unicaudal à esquerda: Z=-2.23 (0.4871) p-valor = 0.5-0.4871 = 0.0129 2) Bicaudal: Z=±2.14 (0.4838) p-valor = 2*(0.5-0.4838) = 2*0.0162= 0.0324 3) Unicaudal à direita: Z=+2.16 ( 0.4846) p-valor = 0.5-0.4846 = 0.0154 0 z - z p 2 p 2 0 z 0 - z p Se bilateral: Se unilateral à direita: Se unilateral à esquerda: p BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Etapas para o teste de hipótese Abordagem clássica 1) Formulação das hipóteses ( Ho e H1) 2) Adota o nível de significância (alfa) e Estabelecer valores críticos 3) Estatística teste (valor calculado) 4) Conclusão: Comparar variável teste calculada com valor crítico. Aceita-se ou rejeita-se Ho BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Atividade - Teste para proporção – pg215 Abordagem clássica 1. Hipóteses H0: p = 0,015 e H1: p > 0,015. (unilateral a direita) 2. = 0,05. Valor crítico ( Z tab=1.64) 3. Estatística teste Zcalc = 0.37 0 zt = 1.64 = 0,05 (tabela) aceita H0 rejeita H0 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção – 3. Estatística teste Zcalc • Amostra: y = 9 em n = 500. 7.5 9 pois 8.5 y' ) 500.(0.015 9 pois 0.5-9 y' n.p y se 0,5– y y’ 018,0 500 9 ˆ 0 p 37,0 718,2 1 )015,01).(015,0).(500( )015,0).(500(5,8 )1.(. . 00 0 ppn pny z BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção • 4. Conclusão: 37,0 )1.(. . 00 0 ppn pny zcalc Da amostra: 0 zt =1.64 1.6426 = 0,05 (tabela) aceita H0 rejeita H0 Conclusão: Aceita H0, não há evidência estatística que a verdadeira proporção de peças defeituosas supere 1.5%, com níve de significância de 5% BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção - Abordagem p-valor 1. H0: p = 0,015 e H1: p > 0,015. (unilateral à direita) 2. = 0,05. 3. Estatística teste Zcalc = 0.37 p-valor = 0.5 - 0.1443= 0.3557 4. Conclusão: Aceita-se H0, não há evidência de que a verdadeira proporção de peças defeituosas superou 1.5%, com nível de significância de 5%. 0 zc = 0,37 Valor p = 0,3557 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção – Abordagem p-valor 4. Conclusão • Como zcalc = 0.37 (0.1443) • P-valor = 0.5 - 0.1443 = 0.3557 • Decisão: Aceita H0 pois p-valor > alfa (0.05) 0 z = 0,37 Valor p = 0,3557 (tabela) Amostra BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 B - Teste para proporção – bilateral pg215 1. H0: p = 0,015 e H1: p ≠ 0,015. (bilateral) 2. = 0,05. Valor crítico ( Z tab=1.96) 3. Estatística teste Zcalc = 0.37 rejeita H0 4. Conclusão: Aceita-se H0, não há evidência de que a verdadeira proporção de peças defeituosas superou 1.5%, com nível de significância de 5%. 0 zc = 1.96 /2 = 0,025 -Zc = -1.96 /2 = 0,025 aceita H0 rejeita H0 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para proporção - Abordagem p-valor - BILATERAL 1. H0: p = 0,015 e H1: p ≠ 0,015. (bilateral) 2. = 0,05. 3. Estatística teste Zcalc = 0.37 p-valor = 2 * 0.3557 = 0.7114 4. Conclusão: Como p-valor > alfa; aceita-se H0, não há evidência de que a verdadeira proporção de peças defeituosas superou 1.5%, com nível de significância de 5%. 0 z = 0,37 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para média – caso 1 (variância populacional conhecida) • H0: = 0 e H1: 0 (bilateral) • No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa seria H1’: > 0 (unilateral à direita) H1’’: < 0 (unilateral à esquerda). BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para média – Caso de variância conhecida nx z 0 onde: 0 é o valor da média segundo H0; n é tamanho da amostra; é o desvio padrão populacional; e é a média da amostra. x • Cálculo da estatística do teste: O teste é feito com a distribuição normal, análogo ao da proporção. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para Média (variância conhecida) Abordagem clássica – pg219 1. H0: = 53 MPa e H1: 53 MPa 2. = 0,05 . Valor crítico (Ztab= 1.96) 3. Estatística teste 4. Conclusão: Rejeita-se H0, há evidência de redução na resistência média da massa cerâmica, com nível de significância de 5%. 90.2 16 15)5350(0 nx zcalc 0 zc = 1.96 /2 = 0,025 -Zc = -1.96 /2 = 0,025 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para Média (variância conhecida) Abordagem p-valor – pg219 1. H0: = 53 MPa e H1: 53 MPa (bilateral) 2. = 0,05 3. Estatística teste: zcalc= -2.90 0.4981 z = -2.90 Como p=0.0038 ou p≤0.05 4. Conclusão: Rejeita-se H0, há evidência de redução na resistência média da massa cerâmica, com nível de significância de 5%. 0 z = 2.90 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para média – Caso de variância desconhecida onde: 0 é o valor da média segundo H0; n é tamanho da amostra; s é o desvio padrão da amostra; e é a média da amostra. x • Cálculo da estatística do teste: Uso da distribuição t com gl = n – 1 (supondo população com distribuição normal) s nx t 0 BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para média – Caso de variância desconhecida. Ativ 7B – ex7 pg220 • 33,3 551,0 104,782,60 s nx t BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para média – Caso de variância desconhecida Ex11. Abordagem do valor p: • Uso da tabela t para obter o valor p: 0,0025 < valor p < 0,005 valor p < 0,01 ou 0,0025 ≤ valor p ≤ 0,005 Teste rejeita H0. BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para variância – pg222 Caso para 1 amostra 2 0 2 2 1 sn q BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004Valores Críticos da Tabela Qui- Quadrado • Bilateral • Unilateral à direita • Unilateral à esquerda ) 2 1,1(;) 2 ,1( 2 inf 2 sup nn ),1( 2 sup n )1,1( 2 inf n BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Teste para variância – Ex14. pg222 Caso para 1 amostra 10.2 3.1 304.01102 calcq 70.2%)5.97,9( 0.19%)5.2,9( 2 inf 2 sup
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