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Conhecimento Prévio 01 Funções Modelos Lineares e Quadráticos 20180306
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Conhecimento Prévio 01 - 01 - Domínio e imagem.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 01 - Modelo de migração.xlsx
Modelo de migração
Ano % Rural
1955 30.4 Utilize o recurso "Adicionar Linha de Tendência" e determine por inspeção qual o melhor modelo matemático patra o problema!
1960 26.4
1965 23.6
1970 21.1
1975 19
1980 17.1
1985 15
1990 13
1995 11.7
2000 10.5 Cálculo Diferencial e Integral I Ó 2015-2020 – Vitor Alves
Conhecimento Prévio 01 - 02 - Modelo linear - Salto com vara.xlsx
Salto com vara
Ano Alt. (m)
1896 3.3
1900 3.3
1904 3.5
1908 3.71
1912 3.95
1920 4.09
1924 3.95
1928 4.2
1932 4.31
1936 4.35
1948 4.3
1952 4.55 Cálculo Diferencial e Integral I Ó 2015-2020 – Vitor Alves Utilize a "Linha de Tendência" e ajuste um modelo linear!
1956 4.56
1960 4.7
1964 5.1
1968 5.4
1972 5.64
1976 5.64
1980 5.78
1984 5.75
1988 5.9
1992 5.87
1996 5.92
2000 5.9
2004 5.95
Conhecimento Prévio 01 - 02 - Polinomiais.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 03 - Potências.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 04 - Racionais Algébricas Trig.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 05 - Exponencial e Logaritmo.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 06 - Inclinação-ponto.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 07 - Inclinação-intercepto.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 08 - Modelo quadrático.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - 09 - Taxa de variação.ggb
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Conhecimento Prévio 01 - Funções - Modelos Lineares e Quadráticos.ppsx
EFB105
Cálculo Diferencial e Integral I
Conhecimento Prévio 01
Funções: definição e propriedades
Funções Essenciais
Modelos Lineares e Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções: definição e propriedades
Funções Essenciais
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Parte I
O que é uma função?
Definição informal: Função é uma relação que surge da dependência entre grandezas.
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
A área A de um círculo depende de seu raio r.
O que é uma função?
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
Notações:
(rigorosa)
(simplificada)
Contradomínio
Imagem
Domínio
O que é uma função?
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(entrada)
(saída)
O símbolo que representa um número na imagem é chamado variável dependente.
Toda associação é função?
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções injetoras
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Não é injetora!
É injetora!
Funções sobrejetoras
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Não é sobrejetora!
É sobrejetora!
Não é injetora!
É injetora!
Funções bijetoras
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Gráfico de uma função
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
10
Exercícios
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções definidas por partes
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
São funções definidas por expressões distintas em diferentes partes de seu domínio.
Exemplo: Esboce o gráfico das funções a seguir. Determine o conjunto imagem de cada uma delas.
Simetria
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Qual o significado geométrico?
Função ímpar:
Gráfico simétrico
em relação
à origem.
Crescimento e Decrescimento
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Quais os intervalos de crescimento
e decrescimento da função?
Modelos Matemáticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Problema do mundo real
Modelo matemático
Formular
Conclusões matemáticas
Resolver
Previsões acerca do mundo real
Interpretar
Testar
Funções essenciais
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As funções polinomiais englobam as funções lineares (polinômios do primeiro grau) e quadráticas (polinômios do segundo grau).
Funções essenciais
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções essenciais
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções essenciais
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Exercício
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Ex. 24, p.33) A tabela mostra a porcentagem da população da Argentina que vivia em áreas rurais de 1955 a 2000. Encontre um modelo para os dados e utilize-o para estimar a porcentagem rural em 1988 e 2002.
Ano
% Rural
Ano
%Rural
1955
30,4
1980
17,1
1960
26,4
1985
15,0
1965
23,6
1990
13,0
1970
21,1
1995
11,7
1975
19,0
2000
10,5
Exercícios preparatórios
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
1. Simplifique as expressões:
Exercícios preparatórios
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Exercícios preparatórios
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
6. Calcule as raízes das seguintes funções:
Parte II
Modelos Lineares e Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
r
r
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
O que é preciso para se determinar a equação de uma reta?
Dois pontos pertencentes à reta!
A
B
A inclinação da reta e um ponto a ela pertencente!
A
Vetor diretor!
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
+ Exemplos
A inclinação de uma reta é a taxa de variação (neste caso, constante) da variável dependente com relação a variável independente.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Equação da reta no formato ponto-inclinação
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Desenvolvendo a forma ponto-inclinação:
Equação da reta no formato inclinação-intercepto.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Modelos Lineares – Retas
Ano
Alt.(m)
Ano
Alt. (m)
Ano
Alt. (m)
1896
3,30
1932
4,31
1972
5,64
1900
3,30
1936
4,35
1976
5,64
1904
3,50
1948
4,30
1980
5,78
1908
3,71
1952
4,55
1984
5,75
1912
3,95
1956
4,56
1988
5,90
1920
4,09
1960
4,70
1992
5,87
1924
3,95
1964
5,10
1996
5,92
1928
4,20
1968
5,40
2000
5,90
2004
5,95
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Ex. 23, p.33) A tabela ao
lado registra as alturas
vencedoras do salto
com vara (masculino)
nas Olimpíadas até a edição
de 2004.
Modelos Lineares – Retas
(a) Faça um diagrama de dispersão e decida se um modelo linear é apropriado.
(b) Encontre a reta de regressão e esboce seu gráfico.
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Yelena Isinbayeva (Rússia)
Recordista mundial
5,06 m (28.08.09)
Modelos Lineares – Retas
(c) Use o modelo linear para predizer qual a altura vencedora nas Olimpíadas de 2008 e compare com a altura vencedora de 5,96 m.
(d) É razoável usar o modelo para predizer a altura vencedora para as Olimpíadas de 2100?
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Renaud Lavillenie (França)
Recordista mundial
6,16 m (15.02.14)
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Extra) O gráfico a seguir mostra o aumento na população dos Estados Unidos na última década.
(a) Estime a taxa de crescimento da população norte americana.
(b) Empregue um modelo linear para prever a população norte americana no ano de 2025.
Modelos Lineares – Retas
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Extra) Um cientista ambiental está mensurando o impacto de um vazamento de óleo recente em um determinado lago. Três dias após o vazamento, a concentração de hidrocarbonetos no lago é de aproximadamente 5000 ppm. Cinco dias após o vazamento, esta concentração aumentou para aproximadamente 7600 ppm.
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Você deve se lembrar...
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Exemplo 3, p.78 – modificado) Uma bola é solta a partir do ponto de observação da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo.
(b) Determine a taxa de variação média da posição da bola em função do tempo (velocidade média) entre os instantes...
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Taxa de variação média
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Funções lineares:
Taxa de variação média = constante = coeficiente angular
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Exemplo 3, p.78 – modificado) Uma bola é solta a partir do ponto de observação da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo.
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Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
Modelos Quadráticos
Cálculo Diferencial e Integral I 2015-2020 – Vitor Alves e Juliana Philot.
(Extra) Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
Modelos Quadráticos
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(Extra) Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
Modelos Quadráticos
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(Extra) Um artista foi contratado para fazer um vitral no formato de um octógono regular inscrito em um quadrado de 18’’ de lado, como mostra a figura.
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Funções: definição e propriedades
Funções Essenciais
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