Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Matemática Financeira Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka Tema 3 – Valor Presente e Valor Futuro (Juros Compostos) Valor Presente e Valor Futuro • Para compreender qualquer conceito que envolva juros compostos, inicialmente é preciso que se tenha uma clara definição de Valor Presente e de Valor Futuro. (GIMENES, 2012, p. 69) • Portanto, vamos resolver vários exercícios de juros compostos, através da fórmula: Terminologia • PV (Present Value) – Valor Presente é o valor inicial de uma operação, representado no instante “zero”. Valor Atual, Principal ou Capital. • FV (Future Value) – Valor Futuro é um valor que é representado num momento futuro. Pode ser chamado de Montante ou Capital + Juros. • FV= PV + J. 2 Terminologia • J (Juros) – Representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva; R$. • i (interest rate) Taxa de Juros – A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ex.: 1,5% ao mês. • n – número de períodos na operação. É o prazo, o tempo. Tempo Utilizado: Ano Comercial • Um ano possui 360 dias. • Um mês possui 30 dias. Calculadora Científica – Casio Fx-82ms Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-82MS.jpg?uselang=pt-br • O Caderno de Atividades (Tema 3), possui um passo-a-passo de como configurar e utilizar esta calculadora. 3 Exemplo 1 Você tomou emprestado de um banco o valor de R$ 5.000,00 que serão pagos em 12 meses. A taxa de juros compostos cobrada pelo banco é de 2,5% ao mês. Calcule o montante a ser pago ao banco. Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula PV = 5000 n = 12 meses i = 2,5% ao mês i = 2,5/100 = 0,025 FV = ? Exemplo 1 – Resolução pela HP 12C PV = 5000 n = 12 meses i = 2,5% ao mês FV = ? FV PV5 000 n12 =-6.724,44 i2,5 f Clx Aceita %, não precisa dividir por 100. 4 Exemplo 2 Você tomou emprestado de um banco o valor de R$ 10.000,00 e que serão pagos em 5 anos. A taxa de juros compostos cobrada pelo banco é de 1,5% ao mês. Calcule o montante a ser pago ao banco. Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula Verificar se o “n” e o “i” estão no mesmo período de tempo: PV = 10000 n = 5 anos i = 1,5% ao mês FV = ? 5 anos x 12 = 60 meses 1,5 / 100 = 0,015 Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula PV = 10000 n = 60 meses i = 0,015 FV = ? 5 Exemplo 3 Seu irmão lhe emprestou certa quantia há 8 meses. Se a taxa contratada foi de 3,5% a.m., qual o valor presente desse empréstimo se hoje você deve R$ 5.000,00? (GIMENES, 2012, p. 81, adaptado) Exemplo 3 – Resolução pela Fórmula n = 8 meses i = 3,5% a.m. i = 3,5/100 = 0,035 FV = 5000 PV = ? Exemplo 3 – Resolução pela HP 12C n = 8 meses i = 3,5% a.m. FV = 5000 PV = ? PV FV5 000 n8 =-3.797,06 i3,5 f Clx 6 Cálculo do Prazo (n) e da Taxa de Juros (i) – (Juros Compostos) Continuando Cálculo do Prazo (n) e da Taxa de Juros (i) – Juros Compostos • Agora vamos ver como é o cálculo do prazo e da taxa de juros no regime de juros compostos. • O desafio matemático é maior, pois envolve a utilização de propriedades de Radiciação e Logaritmo. Fórmulas – Cálculo do Prazo (n) O ln é o logaritmo natural é o logaritmo na base 10 (log). Obs.: As operações de logaritmo na calculadora científica, ver Tema 3 (CA). 7 Fórmulas – Cálculo da Taxa de Juros (i) ou Exemplo 1 Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% a.m. Depois de algum tempo, o valor disponível para resgate era de R$ 1.610,51. Qual o tempo dessa aplicação? (GIMENES, 2012, p.86). Revisão de matemática básica: = n.log a = 2.log 5 Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula PV = 1000 i = 10% a.m. i = 10/100 = 0,10 FV = 1610,51 n = ? 8 Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula PV = 1000 i = 10% a.m. i = 10/100 = 0,10 FV = 1610,51 n = ? Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula Exemplo 1 – Resolução pela HP 12C PV = 1000 i = 10% a.m. FV = 1610,51 n = ? n PV1 000 i10 =5 meses f Clx CHS1610,51 FV 9 Exemplo 2 A que taxa mensal o valor de R$ 1.500,00 deve ser aplicado por 18 meses para que o valor de resgate seja de R$ 2.540,35? (GIMENES, 2012, p.91) Revisão de matemática básica: Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula i = ? mensal PV = 1500 n = 18 meses FV = 2540,35 Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula i = ? mensal PV = 1500 n = 18 meses FV = 2540,35 10 Exemplo 2 – Resolução pela HP 12C i = ? mensal PV = 1500 n = 18 meses FV = 2540,35 • A HP12C já mostra o resultado em %, portanto não é necessário multiplicar por 100. i PV1 500 n18 =2,97% a.m. f Clx CHS2540,35 FV Valor Presente e Valor Futuro (Juros Compostos) Agora é a sua vez Exercício 1 Você deve deixar R$ 1.400,00 aplicados por 36 meses. Se a taxa de juros for de 6,4% ao semestre, quanto você resgatará ao final do período? (GIMENES, 2012, p. 77) 11 Exercício 1 – Resolução pela Fórmula PV = 1400 n = 36 meses i = 6,4% ao semestre FV = ? / 6 meses = 6 semestres / 100 = 0,064 Exercício 1 – Resolução pela HP12C PV = 1400 n = 6 semestres i = 6,4% a.s. FV = ? FV PV1 400 n6 =-2.031,32 i6,4 f Clx Exercício 2 Um renomado banco remunerou uma aplicação que você efetuou à taxa de juros de 1,60% ao mês. Após 8 meses, você resgatou R$ 6.300,00. Calcule o valor aplicado. (GIMENES, 2012, p. 81) 12 Exercício 2 – Resolução pela Fórmula i = 1,60% a.m. i = 1,6/100 = 0,016 n = 8 meses FV = 6.300,00 PV = ? Exercício 2 – Resolução pela HP 12C i = 1,60% a.m. n = 8 meses FV = 6.300,00 PV = ? PV FV6 300 n8 =-5.548,69 i1,6 f Clx Exercício 3 Uma aplicação de R$ 20.000,00 rendeu R$ 5.000,00 de juros. Determine o tempo que esse capital ficou aplicado à taxa de 6% ao trimestre. (GIMENES, 2012, p. 86) 13 Exercício 3 – Resolução pela Fórmula PV = 20.000 J = 5.000 FV = PV+J FV = 25.000 i = 6% a.t. i = 6/100 = 0,06 n = ? Exercício 3 – Resolução pela Fórmula Exercício 3 – Resolução pela HP 12C PV = 20.000 J = 5.000 FV = PV+J FV = 25.000 i = 6% a.t. n = ? n PV20 000 = 4 trimestres i6 f Clx CHS25 000 FV A HP 12C não está programada para achar o prazo (n) nos juros compostos. 14 Exercício 4 O saldo final de uma aplicação de R$ 800,00 é de R$ 1.200,00 após 7 meses. Calcule a taxa de juros dessa aplicação. (GIMENES, 2012, p. 90) Exercício 4 – Resolução pela Fórmula PV = 800 FV = 1200 n = 7 meses i = ? Exercício 4 – Resolução pela HP 12C PV = 800 FV = 1200 n = 7 meses i = ? i PV800 n7 =5,96% a.m. f Clx CHS1 200 FV 15 Valor Presente e Valor Futuro (Juros Compostos) Finalizando Valor Presente e Valor Futuro • Neste tema aprendemos como utilizar a fórmula dos Juros Compostos: • Iniciamos com o cálculo do Valor Futuro (FV) e depois do Valor Presente (PV). • O desafio matemático acontece quando efetuamos o cálculo do prazo (n) e da taxa de juros (i). Outras fórmulas • Para o cálculos do prazo “n” utilizamos a seguinte fórmula: • Para o cálculo da taxa de juros: 16 Valor Presente e Valor Futuro • As aplicações práticas são inúmeras. • Os Juros compostos são utilizados para calcular FV, PV, n, i. • Vai depender do aluno a escolha das ferramentas adequadas para atingir um objetivo. • Alguns optaram pela HP12C, outros pela Calculadora Científica. Valor Presente e Valor Futuro • Atentar, antes de iniciar os cálculos, a sempre fazermos a seguinte pergunta: • O “n” e o “i” estão no mesmo período de tempo? • Caso negativo, os acertos deverão ser feitos. • Priorize a alteração do “n”, pois não devemos alterar o “i” nos juros compostos (por enquanto). Terminologia • PV (Present Value) – Valor Presente é o valor inicial de uma operação, representadono instante “zero”. Valor Atual, Principal ou Capital. • FV (Future Value) – Valor Futuro é um valor que é representado num momento futuro. Pode ser chamado de Montante ou Capital + Juros. • FV= PV + J. 17 Terminologia • J (Juros) – Representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva; R$. • i (interest rate) Taxa de Juros – A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ex.: 1,5% ao mês. • n – número de períodos na operação. É o prazo, o tempo. Tempo Utilizado: Ano Comercial • Um ano possui 360 dias. • Um mês possui 30 dias. Coleta de Dados • Antes de iniciar a resolução, é muito importante que você faça a coleta de dados. • A coleta de dados vai te dar uma visão geral da situação e evita os erros. • Vamos ver no exemplo a seguir a importância da coleta de dados: 18 Exemplo de Cálculo do FV Importância da Coleta de Dados Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto terá disponível daqui 1 ano? (GIMENES, 2012, p. 76, adaptado.) Exemplo de Cálculo do FV PV = 8000 i = 2% a.m. n = 1 ano n = 12 meses FV = ? /100 = 0,02 Exemplo de Cálculo do FV PV = 8000 i = 2% a.m. n = 1 ano n = 12meses FV = ? FV PV8 000 n12 =-10.145,93 i2 f Clx 19 Exemplo de Cálculo do PV Se a taxa de aplicação é de 1,5% a.m., determine o valor que deve ser aplicado para que se resgatem R$ 400.000,00 após 10 anos. Exemplo de Cálculo do PV Coleta de Dados: i = 1,5% a.m. PV = ? FV = 400.000 n = 10 anos n = 10.12 = 120 meses /100 = 0,015 Exemplo de Cálculo do PV 20 Como Estudar Matemática Financeira? • É necessário bastante treino. • Para saber se você realmente sabe, tente fazer os exercícios sem olhar resolução. • Consulte seu PLT. Referências • GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel. São Paulo: Pearson Education, 2012. Pearson – PLT – Programa do Livro-Texto. • Caderno de Atividades.
Compartilhar