Relatório - Princípio de Arquimedes

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
TOLEDO/PR
2014
RESUMO.
Segundo o princípio de Arquimedes o empuxo é a ação de uma força contrária à força peso para um corpo imerso em um fluido. Para a verificação deste princípio, mediu-se por meio de um dinamômetro o peso de um cilindro de nylon imergido dentro de uma proveta com dois fluidos diferentes, água e álcool, variando-se dez vezes a altura imersa do cilindro, o que causava uma variação no volume deslocado do fluido. Tendo os valores de altura imersa, volume deslocado e peso aparente do cilindro determinou-se a densidade dos fluidos por meio de gráficos relacionando as três grandezas e balanço de forças. Também determinou-se a densidade do nylon a partir das densidades determinadas anteriormente, permitindo verificar-se qual dos dois métodos empregados é o mais preciso. Analisando-se os resultados, pode-se concluir que o método de determinação por meio da altura imersa do cilindro é o mais preciso, determinando-se as densidades com discrepância de aproximadamente 1%, verificando-se a aplicação do princípio de Arquimedes.
INTRODUÇÃO.
	Um fluido é uma substância que pode escoar e assumir a forma do recipiente em que se encontra. A característica mais notada dos fluidos é que estes não podem resistir a uma força paralela à sua superfície, pois os mesmos escorrem e alteram sua forma (BIRD et al., 2004). Dentre os princípios e equações desenvolvidas durante o estudo do comportamento dos fluidos, um dos que se destaca é o Princípio de Arquimedes (LIVI, 2004).
Consideremos um corpo cilíndrico de área da base A e altura h, totalmente imerso num fluido em equilíbrio, cuja densidade é ρ (Figura 1). Por simetria, as forças laterais se cancelam aos pares, enquanto as forças aplicadas nas bases superior e inferior geram uma diferença de pressão, onde na parte inferior é maior que na parte superior, que pode ser obtido da Lei de Stevin:
Figura 1: Balanço de forças em um corpo submerso em um fluido. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2005)
	
	(1)
	
	(2)
Logo, a diferença de pressão é dada pela equação (3).
	
	(3)
Essa diferença de pressão cria uma força superficial resultante exercida pelo fluido sobre o cilindro, indicada pela equação (4), na qual o vetor área é definido pela equação (4a)
	
	(4)
	
	(4a)
Portanto, o fluido exerce uma força vertical direcionada pra cima, conhecida como empuxo (HALLIDAY, 2012). Assim, pode-se determinar o empuxo em termos de densidade e altura do objeto imerso pela equação (5).
	
	(5)
Uma vez que o volume deslocado é igual a área superficial vezes a altura imersa do corpo, também pode-se determinar o empuxo por meio da equação (5a).
	
	(5a)
Por outro lado, tem-se a atuação da força peso, que é determinada pela equação (6). Manipulando-se a equação (6), sabendo-se que a densidade é igual a razão entre massa e volume total do corpo, tem-se a força peso determinada pela equação (6a).
	
	(6)
	
	(6a)
Por balanço de forças, quando o corpo está em equilíbrio e totalmente submerso, tem-se
	
	(7)
Quando o corpo não está totalmente submerso, as duas grandezas não são equivalentes, o que gera uma grandeza chamada de peso aparente, determinada pela equação (8).
	
	(8)
A prática laboratorial tem como objetivo verificar o princípio de Arquimedes por meio da determinação da densidade de dois fluidos e do corpo sólido partindo de tal princípio.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais empregados.
	Em um tripé, posicionou-se uma garra com um dinamômetro de 2N, prendendo-se em sua parte inferior, por meio de um gancho, um cilindro de nylon com uma escala graduada em milímetros fixada em sua superfície lateral. Utilizou-se uma proveta de 1000 mL para a imersão do cilindro, primeiramente contendo 700 mL de água, e por segundo, 700 mL de álcool comercial 92,8ºINPM.
	
Metodologia aplicada.
	Inicialmente, prendeu-se o dinamômetro no tripé por meio de uma garra metálica e ajustou o mesmo, conforme a Figura 2. Notou-se que a garra que prendia o dinamômetro era irregular, tendo-se que fazer alguns reparos provisórios. Com o cilindro pendurado no dinamômetro, anotou-se o valor do peso real medido. Depois de transferir-se 700 mL de água (parte 1) ou álcool (parte 2) na proveta, inseriu-se o sistema dinamômetro-cilindro, soltando a garra lentamente até que o cilindro ficasse imerso no nível de água desejado. Foi-se variando a altura imersa do cilindro de 10 em 10 mm, tomando-se nota da altura do cilindro, do volume total marcado na proveta e do peso indicado pelo dinamômetro.
(a) (b)
Figura 2: Módulo experimental contendo o cilindro anexado ao dinamômetro (a) e o cilindro sendo imerso na proveta contendo o fluido (b). (ESPINOZA-QUIÑONES, 2005)
RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Dados experimentais para o cilindro de nylon.
	Mediu-se a massa e as dimensões do cilindro de nylon utilizado, bem como a massa do gancho utilizado para prender o cilindro no dinamômetro, expondo-se os dados na Tabela 1. Determinou-se o peso do cilindro utilizando-se a equação (6), na qual g é a aceleração da gravidade e vale 9,81 m/s², com o erro propagado determinado pela equação (A) do Anexo I.
Tabela 1: Massa e dimensões do cilindro de nylon.
	Grandeza
	Valor
	Diâmetro do cilindro
	4,0 ± 0,05 cm
	Altura do cilindro
	11,0 ± 0,05 cm
	Massa do cilindro
	158,06 ± 0,005 g
	Massa do gancho
	2,40 ± 0,005 g
	Peso do cilindro
	1,57 ± 0,05 N
Determinação da densidade da água.
	A Tabela 2 foi montada com os valores de peso aparente do cilindro de nylon, medida pelo dinamômetro, altura do cilindro imersa na água, medida pelo papel milimetrado anexado ao cilindro, e volume total de água na proveta, medida na própria vidraria, além de valores de volume deslocado de água e de empuxo da água (determinado pela equação (8)).
Tabela 2: Dados de peso e volume determinados para o sistema nylon-água.
	Altura do cilindro submersa (± 0,005 cm)
	Peso aparente do cilindro (± 0,05 N)
	Empuxo da água (± 0,05 N)
	Volume total de água (± 0,5 mL)
	Volume deslocado de água (± 0,5 mL)
	0,0
	1,60
	0,00
	700,0
	0,0
	1,0
	1,48
	0,12
	710,0
	10,0
	2,0
	1,34
	0,26
	725,0
	25,0
	3,0
	1,22
	0,38
	735,0
	35,0
	4,0
	1,11
	0,49
	750,0
	50,0
	5,0
	0,98
	0,62
	760,0
	60,0
	6,0
	0,84
	0,76
	775,0
	75,0
	7,0
	0,72
	0,88
	788,0
	88,0
	8,0
	0,58
	1,02
	800,0
	100,0
	9,0
	0,48
	1,12
	815,0
	115,0
	10,0
	0,36
	1,24
	828,0
	128,0
	Analisando-se a Tabela 2, percebe-se que o peso real do cilindro de nylon medido pelo dinamômetro está de acordo com o peso estipulado a partir da massa do conjunto cilindro-gancho, com discrepância de 1,8% entre os valores. Esta pequena discrepância pode estar relacionada ao mal posicionamento do dinamômetro, que não estava totalmente centralizado devido a irregularidade do suporte.
	A partir dos dados da Tabela 2, montou-se os gráficos demonstrados nas Figuras 3 e 4, relacionando o peso aparente do clindro com o comprimento imerso do cilindro e com o volume deslocado de água na proveta.
Figura 3: Peso aparente do cilindro em função da altura imersa do cilindro.
Figura 4: Peso aparente do cilindroem função do volume deslocado de água.
	A Tabela 3 expressa as equações da reta dos gráficos expostos anteriormente, assim como os valores do coeficiente de determinação de cada ajuste.
Tabela 3: Equação da reta e R² dos gráficos representados nas figuras X e Y.
	Figura
	Equação da reta
	R²
	X
	y = (1,598 ± 0,007) – (0,1250 ± 0,0011)x
	0,99921
	Y
	y = (1,569 ± 0,012) – (0,0096 ± 0,0001)x
	0,99761
	Analisando-se a Tabela e os gráficos, percebe-se que a curva de peso aparente em função da altura imersa do cilindro fornecerá um resultado mais preciso para a densidade do nylon, uma vez que possui um R² mais próximo de 1 do que a curva que relaciona peso aparente e volume deslocado. A escolha pela curva da Figura 3 ainda é reforçada pelo fato do coeficiente linear da reta, que indica o peso real do cilindro de nylon, estar mais próximo do peso real medido pelo dinamômetro, além do fato da medida de altura do cilindro ser mais precisa do que a medida de volume.
	A partir da equação da reta, determina-se a altura h0 do cilindro tal que o peso aparente seja zero, ou seja, . Resolvendo-se o limite, encontra-se que h0 = 12,78 ± 0,06 cm. Nessa altura, o balanço de forças da equação (7) se torna
	Quando o peso aparente tende a zero, o empuxo tende ao valor do peso real, o que permite calcular a densidade do fluido a partir do peso real, da altura imersa e da área da secção transversal do corpo imerso. Sendo o erro propagado na densidade determinado pela equação (B) do Anexo I, tem-se
	Para fins de comparação, determinou-se a densidade da água pelo volume deslocado, determinando-se o volume deslocado tal que o peso aparente é zero, ou seja, , encontrando-se o valor V0 = 163,61 ± 1,20 mL. Aplicando-se no balanço de forças anterior, no qual V0 = h0 · A, com o erro determinado pela equação (C) do Anexo I, tem-se
	A Tabela 4 indica os dois valores determinados para a densidade da água, juntamente com o valor de densidade encontrado na literatura (LIVI, 2004). Ambos os três valores foram medidos para a temperatura ambiente do experimento, de 25ºC.
Tabela 4: Valores de densidade da água determinados experimentalmente e encontrado na literatura.
	Método utilizado
	Valor (kg/m³)
	Determinação pela altura imersa
	1013,98 ± 32,11
	Determinação pelo volume deslocado 
	979,35 ± 30,32
	Dado encontrado na literatura
	997,04
	Percebe-se, analisando a Tabela 4, que a densidade determinada pelo método da altura imersa do cilindro é mais precisa, apresentando uma discrepância de 1,7%, enquanto que o método pelo volume deslocado apresenta uma discrepância de 1,8%.
Determinação da densidade do álcool.
	Utilizando-se o mesmo método aplicado anteriormente, determinou-se a densidade do álcool por meio de curvas de peso aparente em função da altura imersa do cilindro e do volume deslocado de álcool. A Tabela 5 indica os valores experimentais utilizados na construção dos gráficos.
Tabela 5: Dados de peso e volume determinados para o sistema nylon-álcool.
	Altura do cilindro submersa (± 0,005 cm)
	Peso aparente do cilindro (± 0,05 N)
	Empuxo do álcool (± 0,05 N)
	Volume total de álcool (± 0,5 mL)
	Volume deslocado de álcool (± 0,5 mL)
	0,0
	1,60
	0,00
	700,0
	0,0
	1,0
	1,49
	0,11
	715,0
	15,0
	2,0
	1,38
	0,22
	728,0
	28,0
	3,0
	1,29
	0,31
	739,0
	39,0
	4,0
	1,17
	0,43
	750,0
	50,0
	5,0
	1,06
	0,54
	766,0
	66,0
	6,0
	0,96
	0,64
	778,0
	78,0
	7,0
	0,84
	0,76
	790,0
	90,0
	8,0
	0,74
	0,86
	800,0
	100,0
	9,0
	0,64
	0,96
	812,0
	112,0
	10,0
	0,53
	1,07
	828,0
	128,0
	Utilizando-se os dados de altura imersa do cilindro, peso aparente do cilindro e volume deslocado de álcool, montou-se os gráficos expressos nas Figuras 5 e 6. A Tabela 6 indica as equações das retas e os respectivos coeficientes de determinação para o ajuste linear.
Figura 5: Peso aparente do cilindro em função da altura imersa do cilindro.
Figura 6: Peso aparente do cilindro em função do volume deslocado de álcool.
Tabela 6: Equação da reta e R² dos gráficos representados nas figuras X e Y.
	Figura
	Equação da reta
	R²
	X
	y = (1,599 ± 0,004) – (0,1070 ± 0,0007)x
	0,99962
	Y
	y = (1,620 ± 0,009) – (0,0086 ± 0,0001)x
	0,99839
	Novamente, a equação da reta utilizada para a determinação da densidade é a equação da Figura 5, peso aparente em função da altura imersa do cilindro, por possuir um R² mais próximo de 1, além de um coeficiente linear mais próximo do valor do peso real.
	Determinou-se a altura do cilindro tal que o peso aparente é zero, encontrando-se o valor h0 = 14,94 ± 0,06 cm. O erro é determinado pela equação (B) do Anexo I. Aplicando-se o balanço de forças nesse ponto, tem-se
	De modo análogo, determinou-se o volume deslocado para que o peso aparente tenda a zero, encontrando-se o valor de V0 = 188,37 ± 0,90 mL. Aplicando no mesmo balanço de forças, substituindo h0·A por V0, com o erro determinado pela equação (C) do Anexo I, tem-se
	Com os valores determinados e o valor da densidade do álcool encontrado na literatura (Da Ilha, 2014), montou-se a Tabela 7. Todos os valores foram medidos à 25ºC.
Tabela 7: Valores de densidade da água determinados experimentalmente e encontrado na literatura.
	Método utilizado
	Valor (kg/m³)
	Determinação pela altura imersa
	868,20 ± 27,38
	Determinação pelo volume deslocado 
	876,67 ± 26,73
	Dado encontrado na literatura
	810,0
	Novamente, o método da altura imersa do cilindro foi mais precisa na determinação da densidade. Entretanto, observa-se uma certa discrepância entre os valores de densidade determinados e o valor da literatura, discrepância que chega a 7,6%. Uma das possíveis causas para essa diferença é o fato do álcool já ter sido utilizado antes da prática, além de ficar muito tempo exposto à pressão atmosférica, uma vez que o álcool é uma substância volátil, evaporando, aumentando a fração mássica da água na mistura, logo, aumentando a densidade da mistura, lembrando que o álcool utilizado é uma mistura de 92,8% de álcool e 7,2% de água.
	Determinação da densidade do nylon.
	Novamente, aplica-se o balanço de forças utilizado anteriormente, para a situação em que o peso aparente do cilindro é zero. Utilizando-se a equação (6a), manipula-se o balanço de forças, chegando-se na relação
na qual H representa a altura do cilindro de nylon. Para a determinação a partir do volume deslocado, faz-se a substituição H·A = V. Assim, pode-se determinar a densidade do nylon a partir da densidade da água e do álcool, cada uma utilizando o método da altura imersa e do volume deslocado.
	Sendo H = 11,0 cm, g = 9,81 m/s² e A = 1,256 x10-3 m², a Tabela 8 indica os valores de h0 e das densidades determinadas para o álcool e a água, e o valor da densidade do nylon determinada para o método da altura imersa. A Tabela 9 expõe os valores de V0 e das densidades determinadas anteriormente, e o valor determinado da densidade do nylon para o método do volume deslocado. Os erros são determinados pelas equações (D) e (E) do Anexo I, respectivamente.
Tabela 8: Valores de densidade do nylon determinados a partir da altura imersa em água e álcool.
	Fluido
	h0 (cm)
	Densidade do fluido (kg/m³)
	Densidade do nylon (kg/m³)
	Água
	12,78 ± 0,06
	1013,98 ± 32,11
	1178,06 ± 37,71
	Álcool
	14,94 ± 0,06
	868,20 ± 27,38
	1179,17 ± 37,48
Tabela 9: Valores de densidade do nylon determinados a partir do volume deslocado de água e álcool.
	Fluido
	V0 (mL)
	Densidade do fluido (kg/m³)
	Densidade do nylon (kg/m³)
	Água
	163,61 ± 1,20
	979,35 ± 30,32
	1159,16 ± 36,88
	Álcool
	188,37 ± 0,90
	876,67 ± 26,73
	1194,66 ± 36,87
	A fim de se comparar os valores encontrados com valores da literatura (INCOMPLAST, 2014), montou-se a Tabela 10, com todos os valores de densidade medidos para a temperatura ambiente na hora do experimento, 25ºC.
Tabela 10: Valores determinadose encontrados na literatura de densidade do nylon.
	Método utilizado
	Valor (kg/m³)
	Determinação pela altura imersa em água
	1178,06 ± 37,71
	Determinação pela altura imersa em álcool
	1179,17 ± 37,48
	Determinação pelo volume deslocado de água
	1159,16 ± 36,88
	Determinação pelo volume deslocado de álcool
	1194,66 ± 36,87
	Dado encontrado na literatura
	1140,0
	Analisando-se a Tabela 10, percebe-se que o método do volume deslocado em água foi o que apresentou menor discrepância em relação ao valor encontrado na literatura, cerca de 1,6%, enquanto que o método do volume deslocado em álcool apresentou a maior diferença, 4,5%.	Observa-se, todavia, que o valor encontrado em literatura está no intervalo de erro das três primeiras medidas, indicando a validade do método.
	Também pode-se perceber que o método de determinação pela altura imersa em água é mais precisa, fornecendo resultados próximos utilizando água e álcool, enquanto que a determinação por volume deslocado obteve resultados dispares entre os dois fluidos. Isso pode se dever ao erro associado à medida do volume ser maior do que o erro para a medida da altura do cilindro imersa.
Discussão dos resultados.
	Pode-se perceber que, para as três densidades, encontrou-se discrepâncias entre o valor encontrado na literatura e os valores determinados pelos métodos. Tais discrepâncias podem estar associadas a falhas na instrumentação, uma vez que o suporte do dinamômetro apresentava defeito que, na medida do possível, tentou-se minimizá-lo. Entretanto, uma vez que as discrepâncias foram pequenas (sempre menores que 5%), pode-se considerar os resultados satisfatórios.
CONCLUSÃO.
	A partir dos dados coletados, dos valores determinados e dos resultados discutidos, pode-se concluir que a prática atingiu seus objetivos, reconhecendo-se o princípio de Arquimedes no experimento por meio da determinação das densidades da água, álcool e nylon.
	Percebeu-se que o método de determinação da densidade por meio da altura imersa do cilindro é o mais preciso, atingindo resultados com discrepâncias sempre menores que 2% entre os valores determinados e os encontrados na literatura. Isso se deve ao menor erro associado a medida de altura em relação as medidas de volume na proveta.
	Apesar da discrepância encontrada, considerado-a desprezível, pode-se considerar os resultados satisfatórios, fornecendo uma visualização clara do sistema físico aprendido em sala de aula.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Álcool etílico hidratado 92,8ºINPM – Da Ilha. Disponível em <http://www.alcooldailha.net/site/index.php?route=product/product&path=69&product_id=94>. Acesso em 21 mai 2014.
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. D. Fenômenos de transporte. 2ª edição. LTC Editora, 2004.
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas V – Princípio de Arquimedes, Toledo, 2005.
HALLIDAY, D. Fundamentos da Física, 9ª edição, Vol. 1, LTC, Rio de Janeiro, 2012.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. 4ª edição, Sub-Reitoria de Ensino de Graduação e Corpo Discente, UFRJ, 2004.
NYLON – INCOMPLAST. Disponível em < http://www.incomplast.com.br/materiais/nylon.htm>. Acesso em 21 mai 2014.
ANEXOS
Anexo I – Equações aplicadas para resultados e discussão.
	
	(A)
	
	(B)
	
	(C)
	
	(D)
	
	(E)