Relatório - Módulo de torção

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MÓDULO DE TORÇÃO
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA
MÓDULO DE TORÇÃO
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
TOLEDO/PR
2014
RESUMO.
	Por meio de um experimento utilizando uma balança de torção, foi possível obter o momento de inércia de um sistema e relacioná-lo com o torque. Na prática decorrida, foi calculado o módulo de torção de um mesmo fio de aço ajustado em quatro comprimentos diferentes, a partir disso marcou-se o tempo em o sistema pesos-haste-fio oscilava dez vezes em torno de seu eixo. Este experimento foi repetido várias vezes, com hastes e pesos diferentes na contagem das oscilações, assim obtendo tempos diferentes para o cálculo do módulo de torção.
	Com isso verificamos que o módulo de torção decresce com o aumento do comprimento do fio e esse aumento no comprimento faz com que o período de oscilação para cada configuração de massa também aumente, conforme as leis de Hooke e Newton.
INTRODUÇÃO.
O pêndulo de torção é um sistema físico no qual um corpo com uma distribuição qualquer de massa é suspenso por um fio, de modo que uma leve torção neste fio desloca o corpo de sua posição de equilíbrio, o qual inicia oscilações harmônicas em torno dessa posição inicial. Isso ocorre porque o fio passa a exercer um torque restaurador τ, que é proporcional ao ângulo de torção θ e ao módulo de torção k, que depende das características do fio, na tentativa de retornar ao equilíbrio. Se o corpo volta a sua condição original, diz-se que ele se comporta como um sistema elástico.
Quando comparamos esse sistema com o pêndulo simples, as diferenças são as seguintes: no pêndulo de torção, o fio pode ter uma maior densidade linear, a distribuição de massa do corpo pode ser arbitrária e a força restauradora não é devida à gravidade, e sim da tentativa do sistema de eliminar as deformações sofridas (HALLIDAY, 1988).
Para um melhor entendimento, pode-se usar como exemplo um cilindro com os extremos fixos em barras metálicas e as laterais sendo submetidas a forças tangenciais que irão provocar uma torção, o que pode ser observado na Figura 1.
Figura 1: Exemplo de deformação por torção em um cilindro (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
Essas forças que tendem a separar camadas do material recebem o nome de tensões de cisalhamento. Para deformações dentro da elasticidade de torção do cilindro, as tensões de cisalhamento seguem a Lei de Hooke, demonstrada na Equação (1).
	
	(1)
Onde é o módulo de cisalhamento, representa o raio do cilindro, o comprimento do mesmo e θ é o ângulo de desvio do sistema barra-cilindro em relação a sua posição original.
Para um pequeno deslocamento angular, tem-se o torque restaurador calculado pela Equação (2).
	
	(2)
Onde representa a direção do torque, e K é o módulo de torção, que é calculado pela Equação (3).
	
	(3)
Iniciado o movimento de rotação, pode-se representar o torque utilizando o momento de inércia em relação ao eixo de rotação, partindo da definição da Segunda Lei de Newton, descrita pela Equação (4).
	
	(4)
Esta relação é possível pois o movimento de rotação do cilindro depende da inércia do sistema barra-cilindro. Pela Equação (4) nota-se que inércia e aceleração angular são inversamente proporcionais, ou seja, o sistema vai girar mais lentamente (baixa aceleração angular), quanto maior for a inércia do sistema (CRANDALL et al., 1978).
Como as Equações (2) e (3) representam torque, pode-se igualar ambas, obtendo-se a Equação (5).
	
	(5)
A Equação (5) descreve um sistema oscilador harmônico simples. Através de θ é possível uma percepção da elasticidade do sistema, caso esta elasticidade for ultrapassada, o sistema não retorna ao seu equilíbrio e as deformações são permanentes.
Para o cálculo do período, que é o tempo necessário para o corpo voltar à posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório, utiliza-se a Equação (6).
	
	(6)
Através de deduções envolvendo a solução geral da equação diferencial (5) e a equação (6), obtém-se a Equação (7), que também pode ser utilizada para se calcular o período.
	
	(7)
O fato de que o período T é independente da amplitude de oscilação (desde que não ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo, descoberto por Galileu.
Este relatório tem por objetivo realizar a verificação das oscilações harmônicas de um sistema conservativo, a validade da Lei de Hooke na torção de um fio, a relação entre o período de oscilação e o módulo de torção, a dependência do módulo de torção de um fio com seu comprimento, diâmetro e material.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais utilizados.
	Utilizou-se uma balança de torção básica para mecânica, composta por: uma haste cilíndrica vertical acoplada na parte de baixo á uma base quadrada com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras, e na parte de cima a um suporte horizontal; duas pequenas hastes auxiliares com furo transversal central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame); duas travas auxiliares de latão para o corpo de prova e duas hastes com o corpo central e com rebaixo nos extremos de comprimento 5 cm e 10 cm. Um jogo de pesos para serem combinados e um único fio de aço ajustado a quatro comprimentos diferentes. Para auxiliar nas medidas do fio, tempo e massa utilizou-se respectivamente, régua metálica, cronômetro e balança.
Método aplicado.
	O intuito da prática foi medir o tempo das oscilações de cada haste (de 5 cm e 10 cm), mantendo os pesos equilibrados em suas extremidades, suspensas por um único fio ajustado em 4 alturas, de 10,40; 12,75; 17,50; e 20,30 cm. Para isso, utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo na qual a haste com seus respectivos jogos de pesos oscilavam. Fez-se isso tanto para a haste de 5 cm e 10 cm. A haste foi posicionada em um determinado ângulo com a horizontal da base da balança de torção. Acionava-se o cronômetro, soltava-se a haste e parava-se assim que ela completasse dez oscilações como ilustra a Figura 2. Desse modo, percebeu-se que o módulo de torção do fio de aço dependia do seu comprimento, dos comprimentos das hastes e das massas dos corpos fixados a ela. Com auxilio do tempo medido, foi possível calcular o módulo de torção em cada caso e por fim o módulo de cisalhamento do fio de aço empregado.
Figura 2: Esquema do módulo experimental. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Resultados experimentais
	Mediu-se, primeiramente, a massa dos pesos, das hastes e da cesta, e o comprimento das hastes e dos fios empregados, com as medidas expostas na Tabela 1.
Tabela 1: Medidas de massa e comprimento para os instrumentos empregados.
	Instrumento
	Massa (g)
	Comprimento (cm)
	Suporte
	18,30 ± 0,005
	-
	Peso cilíndrico
	50,13 ± 0,005
	-
	Haste menor
	7,47 ± 0,005
	5,0 ± 0,05
	Haste maior
	11,04 ± 0,005
	10,0 ± 0,05
	Fio metálico 1
	-
	12,75 ± 0,05
	Fio metálico 2
	-
	17,50 ± 0,05
	Fio metálico 3
	-
	10,40 ± 0,05
	Fio metálico 4
	-
	20,30 ± 0,05
	O experimento foi realizado para 4 comprimentos de fio (L), utilizando-se quatro configurações de momento de inércia para cada comprimento. Calculou-se o momento de inércia de configuração e o seu intervalo de erro a partir das equações (A) e (B) do Anexo I, indicando os valores na Tabela 2.
	Para efeitosde simplificação, baseando-se na propriedade aditiva, não se somou os momentos de inércia do suporte e do fio ao momento de inércia total, o que resultou em um deslocamento da curva período quadrado em função do momento de inércia.
Tabela 2: Momento de inércia das configurações utilizadas.
	Configuração
	Largura da haste (cm)
	Número de pesos utilizados
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	1
	5
	1 par
	2,568 ± 0,060
	2
	5
	2 pares
	5,075 ± 0,110
	3
	5
	3 pares
	7,581 ± 0,161
	4
	10
	1 par
	10,394 ± 0,121
	5
	10
	2 pares
	20,420 ± 0,221
	Utilizando-se quatro das cinco configurações calculadas na Tabela 2, mediu-se o tempo para 10 oscilações do sistema haste-pesos, partindo de uma angulação de aproximadamente 40º, que permitiu o torque do fio sem entrar na região inelástica de deformação do mesmo. As Tabelas 3, 4, 5 e 6 indicam o tempo cronometrado para quatro diferentes configurações de momento de inércia utilizadas em cada uma das quatro larguras de fio escolhidas.
Tabela 3: Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 10,40 cm.
	Config.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	T10 médio (s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	2,568 ± 0,060
	15,41
	15,40
	15,33
	15,26
	15,47
	15,37 ± 0,07
	2
	5,075 ± 0,110
	20,61
	20,52
	20,61
	20,56
	20,54
	20,57 ± 0,04
	4
	10,394 ± 0,121
	28,07
	28,02
	28,16
	28,15
	28,09
	28,10 ± 0,05
	5
	20,420 ± 0,221
	37,37
	37,36
	37,49
	37,59
	37,37
	37,44 ± 0,09
Tabela 4: Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 12,75 cm.
	Config.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	T10 médio (s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	2,568 ± 0,060
	16,07
	16,03
	15,88
	15,93
	16,06
	15,99 ± 0,07
	2
	5,075 ± 0,110
	20,51
	20,45
	20,45
	20,34
	20,30
	20,41 ± 0,08
	3
	7,581 ± 0,161
	24,29
	24,18
	24,31
	24,30
	24,32
	24,28 ± 0,05
	4
	10,394 ± 0,121
	27,81
	27,80
	27,82
	27,88
	27,77
	27,82 ± 0,04
Tabela 5: Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 17,50 cm.
	Config.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	T10 médio (s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	2,568 ± 0,060
	18,64
	18,35
	18,53
	18,54
	18,41
	18,49 ± 0,10
	2
	5,075 ± 0,110
	23,51
	23,53
	23,61
	23,49
	23,45
	23,52 ± 0,05
	3
	7,581 ± 0,161
	28,03
	27,97
	28,01
	27,87
	27,96
	27,97 ± 0,06
	4
	10,394 ± 0,121
	33,91
	33,89
	33,85
	34,00
	33,93
	33,92 ± 0,05
Tabela 6: Medidas de tempo para 10 oscilações para o fio de comprimento 20,30 cm.
	Config.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	T10 médio (s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	2,568 ± 0,060
	20,17
	20,16
	20,25
	20,11
	20,17
	20,17 ± 0,04
	2
	5,075 ± 0,110
	25,68
	25,81
	25,78
	25,67
	25,65
	25,71 ± 0,06
	3
	7,581 ± 0,161
	30,29
	30,28
	30,22
	30,33
	30,16
	30,25 ± 0,06
	4
	10,394 ± 0,121
	37,25
	37,58
	37,42
	37,65
	37,49
	37,48 ± 0,13
	Manipulando-se a equação (7), elevando-se ao quadrado ambos os lados da igualdade, percebe-se uma relação linear entre o quadrado do período e o momento de inércia do sistema.
	Dessa forma, calculou-se o período de oscilação de cada configuração para cada fio, dividindo-se T10 médio por 10, e elevou-se o resultado ao quadrado para obter-se os valores de T². Assim, plotou-se os gráficos de quadrado do período em função do momento de inércia para cada comprimento de fio utilizado. As Figuras 3-6 demonstram as curvas encontradas. Os valores de T² e momento de inércia plotados encontram-se nas Tabelas A-D no Anexo II.
Figura 3: Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de L=10,40 cm.
Figura 4: Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de L=12,75 cm.
Figura 5: Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de L=17,50 cm.
Figura 6: Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de L=20,30 cm.
	De cada curva plotada, retirou-se a equação da reta da mesma, uma vez que, a partir do coeficiente angular da reta, pode-se determinar o módulo de torção pela relação 
onde b é o coeficiente angular da reta do tipo y = a + bx.
	A Tabela 7 indica as equações da reta, os coeficientes angulares e o módulo de torção calculado respectivamente para cada comprimento de fio utilizado. O erro do módulo de torção é calculado segundo a equação (C) do Anexo I.
Tabela 7: Valores de módulo de torção calculados a partir das equações das retas plotadas.
	Comprimento do fio (cm)
	Equação da reta
	R² do ajuste
	Coeficiente angular da reta (10-3 s² g-1 cm-2)
	Módulo de torção (103 g cm² s-2)
	10,40
	y = 0,6490x + 0,8869
	0,9984
	0,6490 ± 0,019
	60,829 ± 51,4
	12,75
	y = 0,6649x + 0,8309
	0,9998
	0,6649 ± 0,018
	59,374 ± 31,3
	17,50
	y = 1,0256x + 0,5024
	0,9984
	1,0256 ± 0,018
	38,493 ± 16,4
	20,30
	y = 1,2556x + 0,4283
	0,9785
	1,2556 ± 0,016
	31,442 ± 19,7
	Manipulando-se a equação (3), percebe-se uma relação linear entre o módulo de torção e o inverso do comprimento do fio
	Assim, plotou-se o gráfico entre o módulo de torção e o inverso do comprimento do fio, a fim de se determinar o módulo de cisalhamento S. A Figura 7 indica a curva plotada.
Figura 7: Gráfico de módulo de torção em função do inverso do comprimento.
	A partir do gráfico, fez-se o ajuste linear, encontrando um valor de R² igual à 0,9069, considerado bom para tal ajuste. A equação da reta encontrada é y = (675,91 ± 36,58) x.
	A partir da relação entre K e 1/L manipulada acima, e considerando a reta de equação y = ax, tem-se que
	Sabendo que R = 0,05 cm, com a = 675,91 x103 g cm3 s-2, encontrou-se que
S = 6,885 x1011 ± 3,726 x1010 g cm-1 s-2
	O erro foi calculado segundo a equação (D) no Anexo I.
Discussão dos resultados.
	Analisando-se os dados, percebe-se uma clara relação linear entre o quadrado do período e o momento de inércia total do sistema. O coeficiente linear da reta encontrada indica o quadrado do período para o momento de inércia do suporte e do fio para cada comprimento de fio.
	Ao plotar-se o gráfico entre módulo de torção em função do inverso do comprimento do fio, percebe-se também a relação linear entre as duas grandezas. Sabendo-se que o fio é feito de aço, e comparando-se com o valor encontrado na literatura (CRANDALL et al., 1978) de S = 7,59 x1011 g cm-1 s-2, percebe-se certa concordância entre os dois valores.
CONCLUSÃO.
	A partir dos dados analisados e dos resultados discutidos, pode-se concluir que os resultados experimentais estão, em sua maioria, em concordância com o proposto pela teoria. Dessa forma, a realização do experimento foi satisfatória na compreensão do sistema físico estudado, consolidando os conhecimentos teóricos adquiridos
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas IV – Módulo de torção, Toledo, 2014.
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de Janeiro: LTC, 1996.
CRANDALL, S.H., DAHL N.C., LARDNER, T.J. An introduction to the Mechanics of Solids, 2ª Ed, New York: McGraw-Hill, 1978.
ANEXOS
Anexo I – Equações empregadas durante os resultados.
	
	(A)
	
	(B)
	
	(C)
	
	(D)
Anexo II – Tabelas empregadas durante os resultados.
Tabela A: Dados de período quadrado e de momento de inércia para L = 10,40 cm.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	T10 (s)
	Período (s)
	Período quadrado (s²)
	2,568
	15,37
	1,537
	2,362369
	5,075
	20,57
	2,057
	4,231249
	10,394
	28,10
	2,810
	7,896100
	20,42
	37,44
	3,744
	14,017536
Tabela B: Dados de período quadrado e de momento de inércia para L = 12,75 cm.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	T10 (s)
	Período (s)
	Período quadrado (s²)
	2,568
	15,99
	1,599
	2,556801
	5,075
	20,41
	2,0414,165681
	7,581
	24,28
	2,428
	5,895184
	10,394
	27,82
	2,782
	7,739524
Tabela C: Dados de período quadrado e de momento de inércia para L = 17,50 cm.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	T10 (s)
	Período (s)
	Período quadrado (s²)
	2,568
	18,49
	1,849
	3,418801
	5,075
	23,52
	2,352
	5,531904
	7,581
	27,97
	2,797
	7,823209
	10,394
	33,92
	3,392
	11,505664
Tabela D: Dados de período quadrado e de momento de inércia para L = 20,30 cm.
	Momento de inércia (10³ g cm²)
	T10 (s)
	Período (s)
	Período quadrado (s²)
	2,568
	20,17
	2,017
	4,068289
	5,075
	25,71
	2,571
	6,610041
	7,581
	30,25
	3,025
	9,150625
	10,394
	37,48
	3,748
	14,047504