Relatório - Ondas estacionárias

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ONDAS ESTACIONÁRIAS
TOLEDO/PR
2014
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
MATHEUS ALLAN MAIOR
MATHEUS PIASECKI
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA
ONDAS ESTACIONÁRIAS
Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
TOLEDO/PR
2014
RESUMO.
	Este experimento teve como objetivo a observação de ondas estacionárias, a identificação das características de uma onda estacionária e a determinação do comprimento de onda, da velocidade de propagação e da frequência de vibração das mesmas. Para isso, produziu-se ondas estacionárias passando-se uma corrente elétrica por um fio de aço com um ímã permamente situado sob o fio perto de uma das extremidades, aplicando-se uma tensão no fio por meio de pesos até encontrar os modos de vibração desejados, utilizando-se seis fios de aço com espessuras diferentes. Tendo-se a densidade linear do fio, determinou-se o comprimento de onda de cada fio para cada modo de vibração, determinando-se também a velocidade de propagação das ondas. Por fim, determinou-se a frequência de vibração das ondas por meio de gráficos de velocidade em função do comprimento de onda, encontrando-se uma frequência média de 53,239 Hz, que apresenta uma discrepância em relação à frequência fornecida pela rede elétrica do laboratório, de 60 Hz. Isso pode se dever à incertezas na medida das tensões, que contribuíram para um resultado díspar, ou à falha na rede elétrica do laboratório durante o experimento, que poderia estar fornecendo uma frequência menor do que a nominal.
INTRODUÇÃO.
	Fundamentalmente, uma onda é uma oscilação ou perturbação que se propaga no espaço, carregando apenas energia, não havendo transporte de matéria (KNIGHT, 2009).
	Em se tratando de ondas mecânicas, aquelas que precisam de um meio material para poderem se propagar, pode-se diferenciá-las quanto à direção de propagação das ondas ou quanto à direção da vibração das ondas (HALLIDAY, 2003).
	Quanto à direção da vibração, pode-se ter ondas transversais, que são causadas por propagações perpendiculares à propagação da onda, e ondas longitudinais, que são causadas por vibrações com mesma direção da propagação.
	Quanto à direção da propagação, as ondas ainda podem ser classificadas como uni, bi e tridimensionais, de acordo com o número de dimensões em que ela transmite energia.
Ao caracterizar uma onda são importantes três características físicas: a velocidade de propagação da onda, a qual depende exclusivamente das propriedades físicas do meio, e outros dois parâmetros relacionados com a periodicidade da onda, tanto espaciais como temporais chamados de comprimento de onda e frequência, respectivamente.
O comprimento de onda é definido como a menor distância entre dois pontos consecutivos que estão em concordância de fase e é representado por , sendo inversamente proporcional ao número de onda k (Equações 1 e 2).
	
	(1)
	
	(2)
	
A frequência é a taxa de variação temporal na qual a perturbação se repete e é representada por , sendo o inverso do período (Equação 3).
	
	(3)
Onde é o tempo que um ponto qualquer da onda leva para fazer uma oscilação completa.
Outra característica a ser equacionada é a velocidade de propagação da onda que é representada por , sendo dependente essencialmente das propriedades do meio (Equação 4).
	
	(4)
As ondas mecânicas em uma corda são ondas unidimensionais do tipo transversal que se propagam ao longo da corda. A onda mecânica unidimensional é governada pela Equação da Onda, de acordo com a Equação 5.
	
	(5)
Onde a função de onda representa a evolução espaço-temporal da onda no meio, que no caso de um ponto qualquer, mostra o deslocamento dele em relação à sua posição de equilíbrio. Soluções desta equação podem ser do tipo progressiva à direita ou esquerda, assim como uma superposição delas (interferência). O perfil da onda depende da fonte de oscilação do tipo harmônico.
Esta equação dá uma completa descrição do movimento da onda, e a partir dela pode-se derivar uma expressão para a velocidade de propagação da onda.
Quando se tem uma corda presa e tensionada nas suas extremidades e nela aplica-se uma força, produz-se uma onda que irá se deslocar com uma velocidade (Figura 1).
Figura 1: Tensão aplicada nas extremidades de uma corda (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
Sabe-se que a velocidade depende das propriedades físicas do meio, sendo elas as propriedades elásticas e inerciais.
A propriedade elástica é a intensidade de força de tensão T, e a propriedade inercial é a relação entre a massa e o comprimento da corda, chamada de densidade linear da massa (Equação 6).
	
	(6)
Assim, a velocidade da onda não depende da amplitude da onda gerada (Equação 7).
	
	(7)
Numa corda, pode-se ter ondas progressivas propagando-se num sentido (para a direita ou para a esquerda) enquanto tais ondas não atingem as extremidades da corda. Ao atingir uma extremidade, uma onda progressiva num sentido é geralmente refletida, gerando outra progressiva em sentido oposto (Figura 2). Em geral, têm-se simultaneamente ondas progressivas propagando-se nos dois sentidos, como demonstrado na Equação 8.
	
	(8)
Figura 2: Descrição do movimento de reflexão de uma onda progressiva (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
Num fio condutor, de comprimento finito L, sob tensão e com seus extremos fixos, podem ser geradas ondas estacionárias, que são obtidas pela superposição de duas ondas idênticas, de mesma amplitude, mesma frequência, mesmo comprimento de onda e que se movem na mesma direção e sentidos opostos. A Equação 9 descreve o comportamento das ondas estacionárias.
	
	(9)
A condição de que as duas extremidades da corda permaneçam fixas se exprime pelas condições de contorno, seguindo a Equação 10 para qualquer .
	
	(10)
Isso implica que , se é um número inteiro isto só será satisfeito quando:
	
	(11)
Combinando as Equações (1) e (11), obtêm-se os valores de associados aos modos normais de vibração da corda, obtendo-se assim a Equação (12).
	
	(12)
A Figura 3 representa algumas ondas que podem ser obtidas variando-se os modos de vibração.
Figura 3: Relação entre comprimento de onda e os modos de vibração (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
A partir dessas ondas pode-se estabelecer que a onda estacionária de comprimento exibe exatamente semi-comprimentos de onda para o modo de ordem . O número de ventres ou antinodos é exatamente e o número de nos é , incluindo os extremos.
É importante ressaltar que para que seja possível observar ondas mecânicas numa corda são necessários 3 parâmetros: uma fonte de perturbação, um meio que possa ser perturbado e alguma conexão física que sirva de elo entre partículas do meio.
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais utilizados.
	Para a prática, foram utilizados fios de aço encapados com nylon de 20, 30, 40, 50 e 60 lb, pesos de bronze com respectivas cestas, além de régua metálica e uma balança de precisão.
	Foi utilizado um módulo experimental composto por um suporte fixo na bancada, contendo uma ponta de fixação em uma das extremidades, e uma roldana metálica na outra extremidade, pela qual o fio é passado. O módulo ainda contém uma fonte de tensão de 60 Hz de frequência, ligada à rede elétrica do laboratório, uma chave liga-desliga com bornes e um amperímetro, com o fio fechando o circuito. Um ímã permanente em formato de U localizado próximo de uma das extremidades do fio completa o módulo.
	
Metodologia aplicada.Primeiramente, obteve-se a massa e o comprimento de cada fio utilizado, a fim de determinar-se a densidade linear dos mesmos. Fixou-se os extremos desencapados do fio condutor ao suporte metálico, conectando-se a cesta de pesos de bronze no final do fio, após a roldana. Com a régua metálica, mediu-se a distância entre os dois pontos extremos do módulo pelo qual o fio passa.
	Após ligar-se a chave liga-desliga e a fonte elétrica, verificou-se se havia a passagem de corrente pelo fio. Havendo corrente elétrica, foi-se adicionando pesos de bronze na cesta a fim de criar uma tensão no fio, até visualizar-se o efeito de ondas estacionárias. Tendo-se encontrada a tensão que produz as ondas estacionárias, determinou-se o modo de vibração que a tensão aplicada produzia, contando-se o número de nós no fio inteiro e tomando-se nota. Por fim, desligou-se a chave liga-desliga e pesou-se os pesos de bronze utilizados. O experimento foi realizado até encontrar-se os modos de vibração 2, 3 4 e 5 para cada um dos fios.
RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Determinação da densidade linear dos fios.
	A partir dos dados coletados de massa e comprimento dos fios utilizados, determinou-se a densidade linear dos mesmos, empregando-se a equação (6), com o erro sendo calculado pela equação (A) do Anexo I. A Tabela 1 expõe os valores de massa, comprimento e densidade linear, com suas devidas incertezas.
Tabela 1: Dados de massa, comprimento e densidade linear para os fios empregados.
	Fio
	Massa (± 0,005 g)
	Comprimento (± 5x10-4 m)
	Densidade linear (x10-4 kg/m)
	20 lb
	1,37 
	1,779
	7,701 ± 0,028
	30 lb
	1,65
	1,790
	9,218 ± 0,028
	40 lb
	2,01
	1,795
	11,198 ± 0,028
	50 lb
	2,10
	1,782
	11,785 ± 0,028
	60 lb
	2,70
	1,786
	15,116 ± 0,027
	É válido ressaltar que os valores de comprimento correspondem à extensão total dos fios, e foram utilizados apenas na determinação da densidade linear. O parâmetro L utilizado na determinação do comprimento de onda está condicionado ao ponto de fixação e à roldana do módulo experimental, tendo sempre um valor fixo.
Determinação do comprimento de onda.
	No módulo experimental, mediu-se a distância entre o ponto de fixação do fio e a roldana pela qual o fio passa, determinando-se o comprimento L em que ocorrerão as ondas estacionárias. Com os dados coletados de tensão aplicada no fio, determinou-se o comprimento de onda para cada modo de vibração encontrado, usando para isso a equação (12), sendo os valores expostos na Tabela 2. A incerteza na medida do comprimento de onda foi determinada pela equação (B) do Anexo I.
Tabela 2: Características físicas dos modos de vibração para cada fio.
	Fio
	Comprimento (m)
	Modo de vibração
	Tensão (± 0,05 N) 
	Número de nós
	Comprimento de onda (m)
	20 lb
	1,646 ± 0,0005
	2
	5,8
	3
	1,646 ± 0,0005
	
	
	3
	3,2
	4
	1,097 ± 0,0003
	
	
	4
	1,6
	5
	0,823 ± 0,0002
	
	
	5
	1,1
	6
	0,658 ± 0,0002
	30 lb
	1,646 ± 0,0005
	2
	7,0
	3
	1,646 ± 0,0005
	
	
	3
	3,3
	4
	1,097 ± 0,0003
	
	
	4
	1,9
	5
	0,823 ± 0,0002
	
	
	5
	1,1
	6
	0,658 ± 0,0002
	40 lb
	1,646 ± 0,0005
	2
	9,2
	3
	1,646 ± 0,0005
	
	
	3
	4,6
	4
	1,097 ± 0,0003
	
	
	4
	2,1
	5
	0,823 ± 0,0002
	
	
	5
	1,3
	6
	0,658 ± 0,0002
	50 lb
	1,646 ± 0,0005
	2
	10,0
	3
	1,646 ± 0,0005
	
	
	3
	4,7
	4
	1,097 ± 0,0003
	
	
	4
	2,7
	5
	0,823 ± 0,0002
	
	
	5
	1,3
	6
	0,658 ± 0,0002
	60 lb
	1,646 ± 0,0005
	2
	12,3
	3
	1,646 ± 0,0005
	
	
	3
	5,0
	4
	1,097 ± 0,0003
	
	
	4
	3,2
	5
	0,823 ± 0,0002
	
	
	5
	2,1
	6
	0,658 ± 0,0002
	Analisando-se a Tabela, percebe-se que, uma vez que o comprimento L é fixo, o comprimento de onda depende apenas do modo de vibração n. Como os modos de vibração utilizados são os mesmos para todos os fios, como resultado obteve-se os mesmos valores de comprimento de onda (respectivo a cada modo de vibração) em todos os fios.
	Plotando-se um gráfico do comprimento de onda em função do inverso do modo de vibração, pode-se perceber que o coeficiente angular do ajuste linear (3,292 ± 9,77x10-4) corresponde a duas vezes o valor de L, concordando com a equação (12). A Figura 4 indica o gráfico plotado.
Figura 4: Comprimento de onda em função do inverso do modo de vibração.
Determinação da velocidade de propagação.
	Com os valores de densidade linear e da tensão do fio, determinou-se a velocidade de propagação da onda a partir da equação (7). As incertezas associadas foram determinadas pela equação (C) do Anexo I. Montou-se, então, a Tabela 3, que expõe os valores determinados.
Tabela 3: Velocidade de propagação da onda para cada modo de vibração e cada fio.
	Fio
	Densidade linear (x10-4 kg/m)
	Modo de vibração
	Tensão (± 0,05 N)
	Velocidade (m/s)
	20 lb
	7,701 ± 0,028
	2
	5,8
	86,8 ± 0,40
	
	
	3
	3,2
	64,5 ± 0,51
	
	
	4
	1,6
	45,6 ± 0,71
	
	
	5
	1,1
	37,8 ± 0,86
	30 lb
	9,218 ± 0,028
	2
	7,0
	87,1 ± 0,33
	
	
	3
	3,3
	59,8 ± 0,46
	
	
	4
	1,9
	45,4 ± 0,60
	
	
	5
	1,1
	34,5 ± 0,78
	40 lb
	11,198 ± 0,028
	2
	9,2
	90,6 ± 0,27
	
	
	3
	4,6
	64,1 ± 0,36
	
	
	4
	2,1
	43,3 ± 0,52
	
	
	5
	1,3
	34,1 ± 0,66
	50 lb
	11,785 ± 0,028
	2
	10,0
	92,1 ± 1,12
	
	
	3
	4,7
	63,2 ± 0,82
	
	
	4
	2,7
	47,9 ± 0,72
	
	
	5
	1,3
	33,2 ± 0,75
	60 lb
	15,116 ± 0,027
	2
	12,3
	90,2 ± 0,86
	
	
	3
	5,0
	57,5 ± 0,61
	
	
	4
	3,2
	46,0 ± 0,56
	
	
	5
	2,1
	37,3 ± 0,56
	Com os dados da Tabela 3, plotou-se gráficos de quadrado da velocidade em função da tensão no fio, representados nas Figuras 5-9.
Figura 5: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 20 lb.
Figura 6: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 30 lb.
Figura 7: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 40 lb.
Figura 8: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 50 lb.
Figura 9: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 60 lb.
	Pode-se perceber, a partir do ajuste linear, que o valor do coeficiente angular das retas é o inverso da densidade linear de cada fio. A Tabela 4 compara os valores do inverso do coeficiente angular da reta e das densidades lineares determinadas anteriormente. Tal relação concorda com a equação (7) empregada na determinação da velocidade de propagação.
Tabela 4: Comparação entre o inverso do coeficiente angular da reta e a densidade linear para os fios utilizados.
	Fio
	Coeficiente angular da reta (m/kg)
	Inverso do coeficiente angular (x10-4 kg/m)
	Densidade linear do fio (x10-4 kg/m)
	20 lb
	1298,54 ± 9,66x10-13
	7,701
	7,701 ± 0,028
	30 lb
	1084,84 ± 6,64x10-13
	9,218
	9,218 ± 0,028
	40 lb
	893,03 ± 6,27x10-13
	11,198
	11,198 ± 0,028
	50 lb
	848,57 ± 5,54x10-13
	11,785
	11,785 ± 0,028
	60 lb
	661,48 ± 3,75x10-13
	15,118
	15,116 ± 0,027
Determinação da frequência de vibração da onda.
	A partir dos dados expostos nas Tabelas 2 e 3, plotou-se gráficos de velocidade de propagação em função do comprimento de onda para cada modo de vibração e para cada fio. Os gráficos estão representados nas Figuras 10-14.
Figura 10: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para o fio de 20 lb.
Figura 11: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para o fio de 30 lb.
Figura 12: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para o fio de 40 lb.
Figura 13: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para o fio de 50 lb.
Figura 14: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para o fio de 60 lb.
	A Tabela 5 expõe os valores do coeficiente angular da reta determinados, de modo a compará-los.
Tabela 5: Valores do coeficiente angular dos gráficos de velocidade x comprimento de onda.
	Fio
	Coeficienteangular (s-1)
	20 lb
	49,824 ± 0,284
	30 lb
	51,543 ± 1,374
	40 lb
	57,400 ± 0,142
	50 lb
	53,813 ± 0,847
	60 lb
	53,616 ± 0,116
	Média
	53,239 ± 2,543
	A partir da equação (4), pode-se inferir que os coeficientes angulares dos gráficos de velocidade de propagação em função do comprimento de onda correspondem à frequência de vibração das ondas.
	Sabendo-se que a fonte de tensão do laboratório tem 60 Hz de frequência, pode-se perceber que as ondas vibravam em uma frequência menor do que a fornecida pela fonte, com discrepância de aproximadamente 11%. Isso pode ser devido à incerteza propagada na medida da tensão aplicada no fio, somando-se ainda o atrito entre o fio e a roldana, que influenciam na determinação da tensão necessária para o aparecimento de ondas estacionárias.
	Entretanto, a frequência da fonte de tensão do laboratório pode estar sujeita à variações na rede elétrica do local, o que pode ter reduzido a frequência fornecida durante o experimento.
CONCLUSÃO.
	A partir do experimento realizado, pode-se concluir que a prática atingiu o seu objetivo de forma satisfatória, servido de grande exemplo para ilustrar o conteúdo aprendido em sala de aula. Pode-se criar ondas estacionárias nos fios de aço empregados, conseguindo-se identificar com facilidade o número de nós, ventres e meia-ondas para cada modo de vibração utilizado, apesar da dificuldade de se encontrar a tensão necessária para o aparecimento das ondas.
	Conseguiu-se, também, determinar o comprimento de onda, a velocidade de propagação de forma satisfatória, determinando-se então a frequência de vibração das ondas, cujo valor encontrado foi menor do que o da fonte de tensão do laboratório, com discrepância de aproximadamente 11%. Tal discrepância pode estar associada à propagação de incerteza ou à falhas na rede elétrica do laboratório.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas – Ondas Estacionárias, Toledo, 2014.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física 2. Quinta edição. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2003.
KNIGHT, R. D. Física, Uma abordagem estratégica. Vol.2, 2a edição. Porto Alegre: Editora Bookman, 2009.
ANEXOS
Anexo I – Equações para determinação de incertezas.
	
	(A)
	
	(B)
	
	(C)