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Introdução: Erros Estacionários Classificaçã dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especificaçõe do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Aula 8 Cristiano Quevedo Andrea1 1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Abril de 2012. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Resumo 1 Introdução: Erros Estacionários 2 Classif cação dos Sistemas de Controle 3 Erros Estacionários Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) 4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro 5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio 6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária 7 Sensibilidade 8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Será analisado o erro estacionário para sistemas com realimentação unitária, Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores, Alterações na entrada de referência, Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático, folga e mau funcionamento de amplificadores, Desgaste ou deterioração do sistema. Na verdade, vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entrada, Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas, Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não-nulo a uma entrada rampa. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc. Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de transferência de malha aberta G(s): G(s) = K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (Tms + 1)SN(T1s + 1)(T2s + 1) · · · (Tps + 1) . (1) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado A função de transferência da equação (1) contém o termo sN no denominador, A classif cação será realizada com base no número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta, Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,· · · ,se N = 0, N = 1, N = 2, · · · , respectivamente, Note que a classif cação é diferente da que ser refere à ordem do sistema, Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a estabilidade do sistema, É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Resumo 1 Introdução: Erros Estacionários 2 Classif cação dos Sistemas de Controle 3 Erros Estacionários Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) 4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro 5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio 6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária 7 Sensibilidade 8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Considere a f gura abaixo: Então, temos: E(s) = R(s)− C(s), (2) mas, C(s) = R(s)T (s). (3) Logo, E(s) = R(s)[1− T (s)]. (4) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Aplicando-se o teorema do valor f nal em (4), tem-se: e(∞) = lim t→∞ e(t) = lim s→0 sE(s), (5) = lim s→0 sR(s)[1− T (s)]. (6) Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado anteriormente se T (s) = 5/(s2 + 7s + 10) e se a entrada for um degrau unitário. Neste exercício temos que: R(s) = 1/s e T (s) = 5/(s2 + 7s + 10). Então, podemos obter o valor do sinal de erro utilizando-se a equação (6), portanto, e(∞) = lim s→0 s s2 + 7s + 5 s(s2 + 7s + 10) = 0, 5. (7) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Resumo 1 Introdução: Erros Estacionários 2 Classif cação dos Sistemas de Controle 3 Erros Estacionários Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) 4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro 5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio 6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária 7 Sensibilidade 8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Considere o sistema ilustrado abaixo da equação (1). A função de transferênciade malha fechada é: C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) (8) A função de transferência entre o sinal de erro e(t) e o sinal de entrada r(t) é: E(s) R(s) = 1− C(s) R(s) = 1 1 + G(s) (9) sendo o erro e(t) a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. O teorema do valor f nal oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável. Assim, E(s) é: E(s) = 1 1 + G(s)R(s). (10) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) O erro estacionário será: ess = lim t→∞ e(t) = lim s→0 sE(s) = lim s→0 sR(s) 1 + G(s) . (11) Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no sistema, A seguir serão def nidas algumas constantes de erro estático relacionado ao tipo de erro devido a um tipo de entrada, Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário, As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: Kp constante de posição, Kv constante de velocidade e Ka constante de aceleração. As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem ser aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se verif car a estabilidade do sistema. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Constante de Erro Estático de Posição Kp. O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau é: ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s . = 1 1 + G(0) (12) A constante de erro estático de posição Kp é def nida como: Kp = lim s→0 G(s) = G(0). (13) Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de posição Kp é dado como: ess = 1 1 + Kp . (14) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Para um sistema do Tipo 0, Kp = lim s→0 K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (T1s + 1)(T2s + 1) · · · = K . (15) Para um sistema do tipo 1 ou maior, Kp = lim s→0 K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · sN(T1s + 1)(T2s + 1) · · · =∞, para N ≥ 1. (16) Conclusão Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição Kp é f nita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior Kp é inf nita, então: ess = 1 1 + K , para sistema do Tipo 0, ess = 0, para sistema do Tipo 1 ou maior. (17) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Constante de Erro Estático de Velocidade Kv O erro de estado estacionário do sistema com uma entrada em rampa unitária é: ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s2 , = lim s→0 1 sG(s) . (18) A constante de erro estático de velocidade Kv é def nida como: Kv = lim s→0 sG(s). (19) Assim, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade Kv é dado por: ess = 1 Kv . (20) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro estacionário para uma entrada em rampa. A dimensão do erro de velocidade é mesmo do erro do sistema. Então, o erro de velocidade não é um erro na velocidade, mas um erro devido a uma entrada rampa. Para um sistema do Tipo 0, Kv = lim s→0 sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (T1s + 1)(T2s + 2) · · · = 0. (21) Para um sistema do Tipo 1, Kv = lim s→0 sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · s(T1s + 1)(T2s + 2) · · · = K . (22) Para um sistema do Tipo 2, Kv = lim s→0 sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · s2(T1s + 1)(T2s + 2) · · · =∞, para N ≥ 2. (23) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Em resumo, o erro estacionário ess para uma entrada rampa unitária pode ser descrito da seguinte maneira: ess = 1 Kv =∞, para sistemas Tipo 0, (24) ess = 1 Kv = 1 K , para sistemas Tipo 1, (25) ess = 1 Kv = 0, para sistemas Tipo 2 ou ordem maior. (26) (27) Constante de Erro Estático de Aceleração O erro de estado estacionário para um sistema considerando uma entrada do tipo parábola, o qual é def nido por: r(t) = t 2 2 , para t ≥ 0, r(t) = 0, para t < 0. (28) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) é dado por: ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s3 , = 1 lims→0 s2G(s) . (29) A constante de erro estático de aceleração Ka é def nida pela seguinte equação: Ka = lim s→0 s2G(s). (30) Então o erro de estado estacionário é dado por: ess = 1 Ka . (31) Os valores de Ka podem ser obtidos da seguinte maneira: Para um sistema do Tipo 0, Ka = lim s→0 s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (T1s + 1)(T2s + 2) · · · = 0. (32) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Para um sistema do Tipo 1, Ka = lim s→0 s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · s(T1s + 1)(T2s + 2) · · · = 0. (33) Para um sistema do Tipo 2, Ka = lim s→0 s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · s2(T1s + 1)(T2s + 2) · · · = K . (34) Para um sistemado Tipo 3 ou ordem maior, Ka = lim s→0 s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · sN(T1s + 1)(T2s + 2) · · · =∞, para N ≥ 3. (35) Assim o erro em regime para uma entrada do tipo parábola pode ser resumido da seguinte forma: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Erro Estacionário em Termos de T (s) Erro Estacionário em Termos de G(s) ess = 1 Ka =∞, para sistemas Tipo 0, (36) ess = 1 Ka =∞, para sistemas Tipo 1, (37) ess = 1 Ka = 1 K , para sistemas Tipo 2, (38) ess = 1 Ka = 0, para sistemas Tipo 3 ou ordem maior. (39) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado A constante de erro estático pode ser utilizada como especif cações em projeto de sistemas de controle, Então, Kp, Kv e Ka são especif cações para desempenho de sistema de controle em malha fechada, Por exemplo, se considerarmos Kv = 100 nós podemos realizar várias conclusões: 1 O sistema é estável, 2 O sistema é do Tipo 1, pois somente estes sistemas possuem Kv como constantes f nitas, 3 A entrada rampa é o sinal de teste. Desde que Kv é especif cado como uma constante f nita, e o erro de estado estacionário é inversamente proporcional a Kv , nós podemos concluir que a entrada de teste é uma rampa, 4 O erro estacionário para esta entrada rampa é 1/Kv . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Exemplo Encontre os erros de estado estacionário para as seguintes entradas: 5u(t), 5tu(t) e 5t2u(t), aplicadas no sistema ilustrado abaixo: Os pólos deste sistema em malha fechada tem parte real negativa, logo é estável. Portanto podemos analisar os erros estacionários. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Para a entrada 5u(t) Kp = lim s→0 G(s) = lim s→0 100(s + 2)(s + 6) s(s + 3)(s + 4) =∞ (40) Então o erro de estado estacionário é dado por, e(∞) = 5 1 +∞ = 0 (41) Para a entrada 5tu(t) Kv = lim s→0 sG(s) = lim s→0 s 100(s + 2)(s + 6) s(s + 3)(s + 4) = 100 (42) Então o erro de estado estacionário é dado por, e(∞) = 5 100 = 0, 05 (43) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Para a entrada 5t2u(t) Ka = lim s→0 s2G(s) = lim s→0 s2 100(s + 2)(s + 6) s(s + 3)(s + 4) = 0 (44) Então o erro de estado estacionário é dado por, e(∞) = 5 0 =∞ (45) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Em geral utiliza-se sistema de controle com realimentação para atenuar o efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema. Para a f gura acima, C(s) pode ser descrito como: C(s) = E(s)G1(s)G2(s) + D(s)G2(s), (46) mas, C(s) = R(s)− E(s). (47) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Substituindo-se (47) em (46), obtemos a relação entre o sinal de erro e o sinal de entrada. E(s) = 1 1 + G1(s)G2(s) R(s)− G2(s) 1 + G1(s)G2(s) D(s). (48) Assim podemos determinar o erro de estado estacionário da seguinte maneira: ess = lim s→0 sE(s) = lim s→0 s 1 + G1(s)G2(s) R(s)− lim s→0 sG2(s) 1 + G1(s)G2(s) D(s). Deste modo, denominando-se, eR = lim s→0 s 1 + G1(s)G2(s) R(s), eD = − lim s→0 sG2(s) 1 + G1(s)G2(s) D(s). (49) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Analisando-se o erro devido ao sinal de distúrbio, podemos escrever, eD = − 1 lims→0 1G2(s) + lims→0 G1(s) . (50) neste contexto foi considerado uma entrada de distúrbio como uma entrada degrau, isto é, D(s) = 1/s. Então, o erro estacionário pode ser reduzido pela diminuição da magnitude de G2(s) e pelo aumento da magnitude de G1(s). Uma sugestão é utilizar o seguinte sistema de controle. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Exemplo Encontre o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado a seguir. Neste caso é considerado um sinal de distúrbio como um degrau: eD = − 1 lims→0 1G2(s) + lims→0 G1(s) = − 1 0 + 1000 = − 1 1000 . (51) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle generalizado é ilustrado a seguir. Deslocando G1(s) para o lado direito do somatório, temos: G(s) = G1(s)G2(s),H(s) = H1(s) G1(s) . (52) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Na f gura anterior podemos facilmente verif car que a realimentação não é unitária, pois existeum H(s) no ramo de retroação. O procedimento para reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se que o sistema tenha realimentação unitária é descrito a seguir: 1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema conforme abaixo: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado 2) Simplif ca-se H(s) com a realimentação negativa conforme descrito a seguir: 3) Simplif ca-se H(s)− 1 com G(s) de acordo com a ilustração abaixo: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Exemplo Considere o sistema ilustrado abaixo, determine o tipo do sistema, a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para uma entrada degrau unitário. Para este exemplo temos: G(s) = 100 s(s + 10) ,H(s) = 1 (s + 5) . (53) Assim, convertendo este sistema para um equivalente de retroação unitária, temos, Ge(s) = G(s) 1 + G(s)H(s)−G(s) = 100(s + 5) s3 + 15s2 − 50s − 400 . (54) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Portanto, o sistema é Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na malha direta. Deste modo, a constante de erro estático apropriada é, então, Kp, cujo valor é: Kp = lim s→0 Ge(s) = 100.5 −400 = − 5 4 . (55) Logo o erro de estado estacionário vale, ess = 1 1 + Kp = 1 1− 54 = −4. (56) O valor negativo do erro de estado estacionário implica que o degrau de saída é maior que o degrau de entrada. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado É sempre interessante o engenheiro avaliar em que extensão a variação de parâmetros afeta o comportamento do sistema, Idealmente, a variação de valores dos parâmetros devida à temperatura ou a outras causas não deve afetar sensivelmente o desempenho, O grau segundo o qual alterações nos parâmetros do sistema afetam as funções de transferência e, portanto, o desempenho, é chamado de sensibilidade, Considere: F = KK + a . (57) Se K = 10 e a = 100, então F = 0, 091. Se o parâmetro a triplicar de valor para 300, então F = 0, 032. Vemos que uma mudança relativa em a de (300− 100)/100 = 2, isto é 200 % de alteração no valor de a, resulta em uma mudança na função F de (0, 032− 0, 091)/0, 091 = −0, 65. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Na análise anterior, a função F possui um sensibilidade reduzida a mudanças de valores do parâmetro a. A sensibilidade pode ser calculada por: SF :P = P F δF δP . (58) Exemplo Qual a maneira de reduzir a sensibilidade do sistema ilustrado a seguir: A função de malha fechada é T (s) = K s2+as+K , assim, ST :a = a T δT δa = a( K s2+as+K ) −Ks (s2 + as + K )2 = − as s2 + as + K . (59) Logo, ↑↑ K para reduzir a sensibilidade de T(s) em relação a “a”. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Considere o seguinte sistema descrito na forma de espaço de estado: x˙(t) = Ax(t) + Bu(t), y = Cx(t). (60) A transformada de Laplace do erro é: E(s) = R(s)− Y (s), (61) mas Y (s) = R(s)T (s). (62) sendo T(s) a função de transferência a malha fechada. Então, E(s) = R(s)[1− T (s)], = R(s)[1− C(sI − A)−1B]. (63) Logo, aplicando-se o teorema do valor f nal temos, ess = lim s→0 sE(s) = lim s→0 sR(s)[1− (sI − A)−1B]. (64) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado Exemplo Considere o sistema descrito na forma de espaço de estado abaixo: x˙(t) = −5 1 00 −2 1 20 −10 1 x(t) + 00 1 u(t), y(t) = [ −1 1 0 ] . (65) determine o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário; ess = lim s→0 sR(s) ( 1− s + 4 s3 + 6s2 + 13s + 20 ) , ess = lim s→0 s 1 s ( 1− s + 4 s3 + 6s2 + 13s + 20 ) , ess = 4 5 . (66) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução: Erros Estacionários Classificação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Especificações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
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