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Erros de Estado Estacionario - Apostila

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Introdução: Erros Estacionários
Classificaçã dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especificaçõe do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Aula 8
Cristiano Quevedo Andrea1
1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Abril de 2012.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Resumo
1 Introdução: Erros Estacionários
2 Classif cação dos Sistemas de Controle
3 Erros Estacionários
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro
5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
7 Sensibilidade
8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Será analisado o erro estacionário para sistemas com realimentação
unitária,
Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos
fatores,
Alterações na entrada de referência,
Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito
estático, folga e mau funcionamento de amplificadores,
Desgaste ou deterioração do sistema.
Na verdade, vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado
pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de
sinais de entrada,
Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, erros
estacionários na resposta a certos tipos de entradas,
Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada
degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário
não-nulo a uma entrada rampa.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a
habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em
parábola, etc.
Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte
função de transferência de malha aberta G(s):
G(s) = K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (Tms + 1)SN(T1s + 1)(T2s + 1) · · · (Tps + 1)
. (1)
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
A função de transferência da equação (1) contém o termo
sN no denominador,
A classif cação será realizada com base no número de
integrações indicadas pela função de transferência de
malha aberta,
Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,· · · ,se
N = 0, N = 1, N = 2, · · · , respectivamente,
Note que a classif cação é diferente da que ser refere à
ordem do sistema,
Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro
lado agrava a estabilidade do sistema,
É sempre necessária uma conciliação entre precisão em
regime permanente e estabilidade.
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Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Resumo
1 Introdução: Erros Estacionários
2 Classif cação dos Sistemas de Controle
3 Erros Estacionários
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro
5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
7 Sensibilidade
8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Considere a f gura abaixo:
Então, temos:
E(s) = R(s)− C(s), (2)
mas,
C(s) = R(s)T (s). (3)
Logo,
E(s) = R(s)[1− T (s)]. (4)
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Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
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Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Aplicando-se o teorema do valor f nal em (4), tem-se:
e(∞) = lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sE(s), (5)
= lim
s→0
sR(s)[1− T (s)]. (6)
Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o
sistema ilustrado anteriormente se T (s) = 5/(s2 + 7s + 10) e
se a entrada for um degrau unitário.
Neste exercício temos que: R(s) = 1/s e
T (s) = 5/(s2 + 7s + 10). Então, podemos obter o valor do sinal
de erro utilizando-se a equação (6), portanto,
e(∞) = lim
s→0
s
s2 + 7s + 5
s(s2 + 7s + 10)
= 0, 5. (7)
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Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Resumo
1 Introdução: Erros Estacionários
2 Classif cação dos Sistemas de Controle
3 Erros Estacionários
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro
5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
7 Sensibilidade
8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
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Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Considere o sistema ilustrado abaixo da equação (1). A função de
transferênciade malha fechada é:
C(s)
R(s) =
G(s)
1 + G(s) (8)
A função de transferência entre o sinal de erro e(t) e o sinal de entrada r(t)
é:
E(s)
R(s) = 1−
C(s)
R(s) =
1
1 + G(s) (9)
sendo o erro e(t) a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída.
O teorema do valor f nal oferece um modo conveniente de determinar o
desempenho em regime permanente de um sistema estável. Assim, E(s) é:
E(s) = 1
1 + G(s)R(s). (10)
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Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
O erro estacionário será:
ess = lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sE(s) = lim
s→0
sR(s)
1 + G(s) . (11)
Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no
sistema,
A seguir serão def nidas algumas constantes de erro estático
relacionado ao tipo de erro devido a um tipo de entrada,
Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário,
As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: Kp
constante de posição, Kv constante de velocidade e Ka constante de
aceleração.
As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem
ser aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se
verif car a estabilidade do sistema.
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Introdução: Erros Estacionários
Classif cação dos Sistemas de Controle
Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
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Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Constante de Erro Estático de Posição Kp.
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau
é:
ess = lim
s→0
s
1 + G(s)
1
s
.
=
1
1 + G(0) (12)
A constante de erro estático de posição Kp é def nida como:
Kp = lim
s→0
G(s) = G(0). (13)
Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro
estático de posição Kp é dado como:
ess =
1
1 + Kp
. (14)
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Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
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Erro Estacionário em Termos de T (s)
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Para um sistema do Tipo 0,
Kp = lim
s→0
K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·
= K . (15)
Para um sistema do tipo 1 ou maior,
Kp = lim
s→0
K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
sN(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·
=∞, para N ≥ 1. (16)
Conclusão
Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição Kp é
f nita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior Kp é inf nita, então:
ess =
1
1 + K , para sistema do Tipo 0,
ess = 0, para sistema do Tipo 1 ou maior. (17)
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
Constante de Erro Estático de Velocidade Kv
O erro de estado estacionário do sistema com uma entrada em rampa
unitária é:
ess = lim
s→0
s
1 + G(s)
1
s2
,
= lim
s→0
1
sG(s) . (18)
A constante de erro estático de velocidade Kv é def nida como:
Kv = lim
s→0
sG(s). (19)
Assim, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro
estático de velocidade Kv é dado por:
ess =
1
Kv
. (20)
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro
estacionário para uma entrada em rampa. A dimensão do erro de velocidade
é mesmo do erro do sistema.
Então, o erro de velocidade não é um erro na velocidade, mas um erro
devido a uma entrada rampa. Para um sistema do Tipo 0,
Kv = lim
s→0
sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
= 0. (21)
Para um sistema do Tipo 1,
Kv = lim
s→0
sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
s(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
= K . (22)
Para um sistema do Tipo 2,
Kv = lim
s→0
sK (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
s2(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
=∞, para N ≥ 2. (23)
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Especif cações do Estado Estacionário de Erro
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
Em resumo, o erro estacionário ess para uma entrada rampa unitária pode
ser descrito da seguinte maneira:
ess =
1
Kv
=∞, para sistemas Tipo 0, (24)
ess =
1
Kv
=
1
K , para sistemas Tipo 1, (25)
ess =
1
Kv
= 0, para sistemas Tipo 2 ou ordem maior. (26)
(27)
Constante de Erro Estático de Aceleração
O erro de estado estacionário para um sistema considerando uma
entrada do tipo parábola, o qual é def nido por:
r(t) = t
2
2
, para t ≥ 0,
r(t) = 0, para t < 0. (28)
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
é dado por:
ess = lim
s→0
s
1 + G(s)
1
s3
,
=
1
lims→0 s2G(s)
. (29)
A constante de erro estático de aceleração Ka é def nida pela seguinte
equação:
Ka = lim
s→0
s2G(s). (30)
Então o erro de estado estacionário é dado por:
ess =
1
Ka
. (31)
Os valores de Ka podem ser obtidos da seguinte maneira:
Para um sistema do Tipo 0,
Ka = lim
s→0
s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
= 0. (32)
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
Para um sistema do Tipo 1,
Ka = lim
s→0
s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
s(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
= 0. (33)
Para um sistema do Tipo 2,
Ka = lim
s→0
s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
s2(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
= K . (34)
Para um sistemado Tipo 3 ou ordem maior,
Ka = lim
s→0
s2K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·
sN(T1s + 1)(T2s + 2) · · ·
=∞, para N ≥ 3. (35)
Assim o erro em regime para uma entrada do tipo parábola pode ser
resumido da seguinte forma:
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Erro Estacionário em Termos de G(s)
ess =
1
Ka
=∞, para sistemas Tipo 0, (36)
ess =
1
Ka
=∞, para sistemas Tipo 1, (37)
ess =
1
Ka
=
1
K , para sistemas Tipo 2, (38)
ess =
1
Ka
= 0, para sistemas Tipo 3 ou ordem maior. (39)
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A constante de erro estático pode ser utilizada como especif cações em
projeto de sistemas de controle,
Então, Kp, Kv e Ka são especif cações para desempenho de sistema de
controle em malha fechada,
Por exemplo, se considerarmos Kv = 100 nós podemos realizar várias
conclusões:
1 O sistema é estável,
2 O sistema é do Tipo 1, pois somente estes sistemas
possuem Kv como constantes f nitas,
3 A entrada rampa é o sinal de teste. Desde que Kv é
especif cado como uma constante f nita, e o erro de estado
estacionário é inversamente proporcional a Kv , nós
podemos concluir que a entrada de teste é uma rampa,
4 O erro estacionário para esta entrada rampa é 1/Kv .
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Erros Estacionários
Especif cações do Estado Estacionário de Erro
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Exemplo
Encontre os erros de estado estacionário para as seguintes entradas: 5u(t),
5tu(t) e 5t2u(t), aplicadas no sistema ilustrado abaixo:
Os pólos deste sistema em malha fechada tem parte real negativa, logo
é estável. Portanto podemos analisar os erros estacionários.
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Para a entrada 5u(t)
Kp = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
100(s + 2)(s + 6)
s(s + 3)(s + 4)
=∞ (40)
Então o erro de estado estacionário é dado por,
e(∞) =
5
1 +∞
= 0 (41)
Para a entrada 5tu(t)
Kv = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
s
100(s + 2)(s + 6)
s(s + 3)(s + 4)
= 100 (42)
Então o erro de estado estacionário é dado por,
e(∞) =
5
100
= 0, 05 (43)
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Para a entrada 5t2u(t)
Ka = lim
s→0
s2G(s) = lim
s→0
s2
100(s + 2)(s + 6)
s(s + 3)(s + 4)
= 0 (44)
Então o erro de estado estacionário é dado por,
e(∞) =
5
0
=∞ (45)
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Em geral utiliza-se sistema de controle com realimentação para atenuar o
efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema.
Para a f gura acima, C(s) pode ser descrito como:
C(s) = E(s)G1(s)G2(s) + D(s)G2(s), (46)
mas,
C(s) = R(s)− E(s). (47)
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Substituindo-se (47) em (46), obtemos a relação entre o sinal de erro e o
sinal de entrada.
E(s) = 1
1 + G1(s)G2(s)
R(s)− G2(s)
1 + G1(s)G2(s)
D(s). (48)
Assim podemos determinar o erro de estado estacionário da seguinte
maneira:
ess = lim
s→0
sE(s) = lim
s→0
s
1 + G1(s)G2(s)
R(s)− lim
s→0
sG2(s)
1 + G1(s)G2(s)
D(s).
Deste modo, denominando-se,
eR = lim
s→0
s
1 + G1(s)G2(s)
R(s), eD = − lim
s→0
sG2(s)
1 + G1(s)G2(s)
D(s). (49)
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Analisando-se o erro devido ao sinal de distúrbio, podemos escrever,
eD = −
1
lims→0 1G2(s) + lims→0 G1(s)
. (50)
neste contexto foi considerado uma entrada de distúrbio como uma entrada
degrau, isto é, D(s) = 1/s.
Então, o erro estacionário pode ser reduzido pela diminuição da magnitude
de G2(s) e pelo aumento da magnitude de G1(s). Uma sugestão é utilizar o
seguinte sistema de controle.
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Especif cações do Estado Estacionário de Erro
Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
Sensibilidade
Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Exemplo
Encontre o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado a seguir.
Neste caso é considerado um sinal de distúrbio como um degrau:
eD = −
1
lims→0 1G2(s) + lims→0 G1(s)
= −
1
0 + 1000
= −
1
1000
. (51)
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Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações
que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle
generalizado é ilustrado a seguir.
Deslocando G1(s) para o lado direito do somatório, temos:
G(s) = G1(s)G2(s),H(s) =
H1(s)
G1(s)
. (52)
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Na f gura anterior podemos facilmente verif car que a realimentação não é
unitária, pois existeum H(s) no ramo de retroação. O procedimento para
reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se que o sistema tenha
realimentação unitária é descrito a seguir:
1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema conforme
abaixo:
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2) Simplif ca-se H(s) com a realimentação negativa conforme descrito a
seguir:
3) Simplif ca-se H(s)− 1 com G(s) de acordo com a ilustração abaixo:
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Exemplo
Considere o sistema ilustrado abaixo, determine o tipo do sistema, a
constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para
uma entrada degrau unitário.
Para este exemplo temos:
G(s) = 100
s(s + 10)
,H(s) = 1
(s + 5)
. (53)
Assim, convertendo este sistema para um equivalente de retroação unitária,
temos,
Ge(s) =
G(s)
1 + G(s)H(s)−G(s) =
100(s + 5)
s3 + 15s2 − 50s − 400
. (54)
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Portanto, o sistema é Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na
malha direta. Deste modo, a constante de erro estático apropriada é, então,
Kp, cujo valor é:
Kp = lim
s→0
Ge(s) =
100.5
−400
= −
5
4
. (55)
Logo o erro de estado estacionário vale,
ess =
1
1 + Kp
=
1
1− 54
= −4. (56)
O valor negativo do erro de estado estacionário implica que o degrau de
saída é maior que o degrau de entrada.
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É sempre interessante o engenheiro avaliar em que extensão a
variação de parâmetros afeta o comportamento do sistema,
Idealmente, a variação de valores dos parâmetros devida à temperatura
ou a outras causas não deve afetar sensivelmente o desempenho,
O grau segundo o qual alterações nos parâmetros do sistema afetam
as funções de transferência e, portanto, o desempenho, é chamado de
sensibilidade,
Considere:
F = KK + a . (57)
Se K = 10 e a = 100, então F = 0, 091. Se o parâmetro a triplicar de
valor para 300, então F = 0, 032. Vemos que uma mudança relativa em
a de (300− 100)/100 = 2, isto é 200 % de alteração no valor de a,
resulta em uma mudança na função F de
(0, 032− 0, 091)/0, 091 = −0, 65.
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Na análise anterior, a função F possui um sensibilidade reduzida a mudanças
de valores do parâmetro a.
A sensibilidade pode ser calculada por:
SF :P =
P
F
δF
δP
. (58)
Exemplo
Qual a maneira de reduzir a sensibilidade do sistema ilustrado a seguir:
A função de malha fechada é T (s) = K
s2+as+K , assim,
ST :a =
a
T
δT
δa
=
a(
K
s2+as+K
) −Ks
(s2 + as + K )2 = −
as
s2 + as + K . (59)
Logo, ↑↑ K para reduzir a sensibilidade de T(s) em relação a “a”.
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Considere o seguinte sistema descrito na forma de espaço de estado:
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t),
y = Cx(t). (60)
A transformada de Laplace do erro é:
E(s) = R(s)− Y (s), (61)
mas
Y (s) = R(s)T (s). (62)
sendo T(s) a função de transferência a malha fechada. Então,
E(s) = R(s)[1− T (s)],
= R(s)[1− C(sI − A)−1B]. (63)
Logo, aplicando-se o teorema do valor f nal temos,
ess = lim
s→0
sE(s) = lim
s→0
sR(s)[1− (sI − A)−1B]. (64)
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Exemplo
Considere o sistema descrito na forma de espaço de estado abaixo:
x˙(t) =

 −5 1 00 −2 1
20 −10 1

 x(t) +

 00
1

 u(t),
y(t) =
[
−1 1 0
]
. (65)
determine o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário;
ess = lim
s→0
sR(s)
(
1−
s + 4
s3 + 6s2 + 13s + 20
)
,
ess = lim
s→0
s
1
s
(
1−
s + 4
s3 + 6s2 + 13s + 20
)
,
ess =
4
5
. (66)
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	Introdução: Erros Estacionários
	Classificação dos Sistemas de Controle
	Erros Estacionários
	Erro Estacionário em Termos de T(s)
	Erro Estacionário em Termos de G(s)
	Especificações do Estado Estacionário de Erro
	Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
	Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
	Sensibilidade
	Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado

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