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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI CENTRO DE CIEˆNCIAS DA NATUREZA - CCN DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I Professora: Renata Batista 2a Lista de Exerc´ıcio 1. Prove, pela definic¸a˜o,que as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas nos pontos dados. a) f(x) = 4x− 3 em p = 2; b) f(x) = x4 em p = 1; c) f(x) = √ x em p = 0; d) f(x) = x2 − 9 x+ 3 em p = 3; e) f(x) = 3 √ x em p = 1. 2. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique. a) f(x) = x 2 − 4 x− 2 , se x 6= 2, L, se x = 2 b) f(x) = x 2 − x x , se x 6= 0, L, se x = 0 c) f(x) = senx− sen ( pi 2 ) 2x− pi , se x 6= pi 2 , L, se x = pi2 . 3. Verifique se a func¸a˜o dada e´ cont´ınua ou na˜o no ponto dado. Justifique. a) f(x) = 4x+ 6 2x+ 3 , se x > −32 , x2 − 2x− 13 4 , se x ≤ −32 . b) f(x) = { 1 x , se x > 1, x, se x ≤ 1. 1 c) f(x) = √ x− 1 x− 1 , se x > 1, x3 − 5x2 + 8x− 2, se x ≤ 1. 4. Suponha que |f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2 para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em 1. 5. Mostre que as func¸o˜es abaixo possuem pelo menos uma raiz real: a) f(x) = cosx+ x; b) f(x) = 34x − 81; c) f(x) = x3 + 1. 6. Mostre que a func¸a˜o: a) f(x) = x5 − 2x3 + 7x2 − 2 assume o valor 21 no intervalo [−1, 2]; b) f(x) = x2 − senx assume o valor 1 8 no intervalo [ 0, pi 2 ] ; c) f(x) = 2x − x assume o valor 3 2 no intervalo [1, 2]. 2
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