Exercício Resolvido 01 - Estruturas de Concreto III - Reservatório Elevado

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CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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• Dimensionamento de reservatório elevado considerando a flexo-tração (lajes isoladas) 
1. Dados iniciais 
a. Aço CA-50 e CA-60; 
b. Classe de agressividade ambiental III; 
c. Cobrimento nominal de 2,50 cm; 
d. fck = 45 MPa. 
 
 
 
2. Cálculo das ações: 
a. Tampa: 
Peso próprio: Pp = γc . h = 25 x 0,10 = 2,50 kN/m2 
Peso revestimento (impermeabilização): Prev = 1,00 kN/m
2 
Ação variável: q = 0,50 kN/m2. Considerando forros sem acesso a pessoas, de acordo com a NBR 6120/1980. 
Total (p + q): P1 = 3,50 + 0,50 = 4,00 kN/m2 
b. Fundo: 
Peso próprio: Pp = γc . h = 25 x 0,15 = 3,75 kN/m2 
Peso revestimento (impermeabilização): Prev = 1,00 kN/m
2 
Pressão hidrostática: Pa = γa . h = 10 x 2,13 = 21,00 kN/m2 
Total: P2 = 4,75 + 21,00 = 25,75 kN/m2 
c. Paredes: 
Carga triangular com ordenada máxima. 
Pressão hidrostática: Pa = γa . h = 10 x 2,13 = 21,00 kN/m2 
Total: P3 = 21,00 kN/m2 
 
 
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3. Vinculação das lajes, determinação dos vãos teóricos e classificação das lajes: 
 
 
• Tampa (L1): lx = 2,45 m; ly = 4,65 m 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,65
2,45
= 1,90 < 2 ⟶ 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 
• Fundo (L2): lx = 2,45 m; ly = 4,65 m 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,65
2,45
= 1,90 < 2 ⟶ 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 
• Paredes (L3 e L4): lx = 2,13 m; ly = 2,45 m 
 
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𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
2,45
2,13
= 1,15 < 2 ⟶ 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 
• Paredes (L5 e L6): lx = 2,13 m; ly = 4,65 m 
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,65
2,13
= 2,20 > 2 ⟶ 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 
Onde: lx = menor vão. 
 
4. Cálculo dos esforços nas lajes: 
a. Reações de apoio: 
As reações de apoio são calculadas conforme: 
𝒓 =
𝝂𝒑𝒍𝒙
𝟏𝟎
 
Onde: 
• r: reação de apoio; 
• ν: coeficiente obtido nas tabelas de PINHEIRO (2007); 
• p: ação atuante na laje; 
• lx: menor vão da laje. 
 
LAJES L1 L2 L3 L4 L5 L6 
Carga total p (kN/m2) 4,00 25,75 10,50 10,50 10,50 10,50 
lx (menor vão)(m) 2,45 2,45 2,13 2,13 2,13 2,13 
Caso/Tabela 1/2.2a 1/2.2c 5A/2.2c 5A/2.2c 5A/2.2c 5A/2.2c 
λ = ly / lx 1,90 1,90 1,15 1,15 2,20 2,20 
 
Coeficiente ν 
νx 3,68 - 1,96 1,96 4,38 4,38 
νx' - 3,68 2,88 2,88 6,25 6,25 
νy 2,50 - - - - - 
νy' - 2,50 3,14 3,14 3,17 3,17 
 
Reações (kN/m) 
 
rx 3,61 - 4,38 4,38 9,79 9,79 
rx' - 23,23 6,44 6,44 13,98 13,98 
ry 2,45 - - - - - 
ry' - 15,77 7,02 7,02 7,09 7,09 
 
Observação: Para o cálculo das reações das cargas triangulares (paredes), foi utilizada a Tabela 2.2c (Caso 
5A) para cargas uniformes, fazendo uma simplificação utilizando a carga média de “p”. 
𝑝 =
21,00 + 0,00
2
= 10,50 𝑘𝑁/𝑚2 
 
b. Momentos fletores das lajes 
Os momentos fletores são calculados conforme: 
𝑚 =
𝜇 𝑝 𝑙𝑥
2
100
 
Onde: 
• m: momento fletor; 
• μ: coeficiente obtido nas tabelas de PINHEIRO (2007); 
• p: ação atuante na laje; 
 
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• lx: menor vão da laje. 
LAJES L1 L2 
Carga total p (kN/m2) 4,00 25,75 
lx (menor vão)(m) 2,45 2,45 
Caso/Tabela 1/2.3a 6/2.3c 
λ = ly / lx 1,90 1,90 
 
Coeficiente μ 
μx 9,54 3,99 
μx' - 8,24 
μy 3,29 1,01 
μy' - 5,72 
 
Momento fletor 
(kN.m/m) 
 
mx 2,29 6,17 
mx' - 12,74 
my 0,79 1,56 
my' - 8,84 
 
LAJES L3 L4 L5 L6 
Carga total p (kN/m2) 21,00 21,00 21,00 21,00 
la (menor vão)(m) 2,13 2,13 2,13 2,13 
Caso/Tabela 16/2.4b 16/2.4b 16/2.4b 16/2.4b 
λ = la / lb 0,90 0,90 0,50 0,50 
 
Coeficiente μ 
μx 1,33 1,33 2,59 2,59 
μx' 3,89 3,89 6,14 6,14 
μy 1,23 1,23 0,96 0,96 
μy' 3,06 3,06 3,60 3,60 
 
Momento fletor 
(kN.m/m) 
 
mx 1,27 1,27 2,47 2,47 
mx' 3,71 3,71 5,85 5,85 
my 1,17 1,17 0,91 0,91 
my' 2,91 2,91 3,43 3,43 
 
 
 
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c. Compatibilização dos momentos negativos 
Ligação parede-parede (entre L3/L4 – L5/L6) 
 
𝑋𝑝 =
𝑚𝑦’(𝐿3/𝐿4) + 𝑚𝑦’(𝐿5/𝐿6)
2
=
2,91 + 3,43
2
= 3,17 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Ligação fundo-parede (entre L2 – L3/L4) 
 
𝑌 =
𝑚𝑦′(𝐿2) + 𝑚𝑥′(𝐿3/𝐿4)
2
=
8,84 + 3,71
2
= 6,28 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Ligação fundo-parede (entre L2 – L5/L6) 
 
𝑋 =
𝑚𝑥′(𝐿2) + 𝑚𝑥′(𝐿5/𝐿6)
2
=
12,74 + 5,85
2
= 9,30 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Correção dos momentos positivos do fundo 
As reduções dos momentos negativos na laje de fundo são dadas por: 
 
ΔX = mx’(L2) – X = 12,74 – 9,30 = 3,44 kN.m/m 
ΔY = my’(L2) – Y = 8,84 – 6,28 = 2,56 kN.m/m 
 
Aplicando esses momentos nas bordas da laje de fundo, obtêm-se as alterações nos momentos positivos com 
o emprego da tabela 5.3.1 de José Milton. A relação entre os lados da laje de fundo é dada por: 
 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
2,45
4,65
= 0,53 
 
Da Tabela 5.3.1 do Professor José Milton, obtêm-se os coeficientes através de interpolação: 
Observação: considerando os dados informados na tabela acima: a1 = 0,50; a = 0,53; a2 = 0,60; b1 = 0,300; 
b = ?; b2 = 0,244 
𝑏 = 𝑏1 + [(
𝑎 − 𝑎1
𝑎2 − 𝑎1
) . (𝑏2 − 𝑏1)] = 0,30 + [(
0,53 − 0,50
0,60 − 0,50
) 𝑥 (0,244 − 030)] = 0,283 
 
• Yx1 = 0,283; 
• Yy1 = 0,156; 
• Yx2 = 0,071; 
• Yy2 = -0,009. 
 
Os incrementos dos momentos positivos são: 
ΔMx = 2 Yx1 ΔX + Yx2 ΔY = 2 x 0,283 x 3,44 + 0,071 x 2,56 = 2,12 kN.m/m 
ΔMy = 2 Yy1 ΔX + Yy2 ΔY = 2 x 0,156 x 3,44 +(-0,009) x 2,56 = 1,05 kN.m/m 
 
Os momentos finais na laje de fundo são dados por: 
Mx = mx (L2) + ΔMx = 6,17 + 2,12 = 8,29 kN.m/m 
Mx = mx (L2) + ΔMy = 1,56 + 1,05 = 2,61 kN.m/m 
 
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d. Esforços finais para dimensionamento: 
Tampa: Reação y = 4,38 kN/m = reação da parede (L3/L4); Reação x = 9,79 kN/m = reação da parede 
(L5/L6). 
 
 
 
 
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e. Disposições construtivas: 
• Diâmetro máximo das barras: 
Tampa: 
ℎ
8
=
100
8
= 12,5 𝑚𝑚 
Paredes e fundo 
ℎ
8
=
150
8
= 18,75 𝑚𝑚 ≅ 16 𝑚𝑚 
 
• Espaçamento máximo: 
Armadura principal: smáx = 2h ou 20 cm. O menor valor para tampa, fundo e paredes é 20 cm. Logo, o 
espaçamento máximo para todos os elementos é: smáx = 20 cm. 
Armadura secundária: smáx = 33 cm 
 
• Armadura mínima: 
Armadura negativa: ρs > ρsmín => Asmín > ρsmín bw h 
Tampa: Asmín = 0,194% x 100 x 10 = 1,94 cm
2/m 
Paredes e fundo: Asmín = 0,194% x 100 x 15 = 2,91 cm
2/m 
 
Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções: ρs > 0,67 ρsmín => Asmín > 0,67 ρsmín bw h 
Tampa: Asmín = 0,67 x 0,194% x 100 x 10 = 1,30 cm
2/m 
Paredes e fundo: Asmín = 0,67 x 0,194%x 100 x 15 = 1,95 cm
2/m 
 
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: ρs > ρsmín => Asmín > ρsmín bw h 
Tampa: Asmín = 0,194% x 100 x 10 = 1,94 cm
2/m 
Paredes e fundo: Asmín = 0,194% x 100 x 15 = 2,91 cm
2/m 
 
Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção 
As > 20% da armadura principal 
As > 0,90 cm2/m 
ρs > 0,50 ρsmín 
Paredes: Asmín = 0,50 x 0,194% x 100 x 15 = 1,46 cm
2/m 
 
Observação: ρsmín => é a taxa mínima de armadura de flexão, conforme estabelecido na Tabela 17.3 da NBR 
6118/2014. 
 
f. Cálculo das armaduras: 
Armadura positiva – Tampa (L1): 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 10 – 3 = 7 cm 
Direção x: 
Mk = 2,29 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,29 x 100 = 320,60 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 72
320,60
= 15,30 
 
 
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ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 320,60
7
= 1,05 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 1,05 cm
2/m < Asmín = 1,30 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 15 (Ase = 1,31 cm2/m). 
 
Direção y: 
Mk = 0,79 kN.m/m => Md = 1,4 x 0,79 x 100 = 110,60 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 72
110,60
= 44,30 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 110,60
7
= 0,36 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,36 cm
2/m < Asmín = 1,30 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 15 (Ase = 1,31 cm2/m). 
 
Armadura positiva – Fundo (L2): 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
Direção x: 
Mk = 8,29 kN.m/m => Md = 1,4 x 8,29 x 100 = 1.160,60 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
1.160,60
= 12,40 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 1.160,60
12
= 2,22 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é maior que a armadura mínima Asmín (As = 2,22 cm
2/m > Asmín = 1,95 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a calculada. 
 
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O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 6.3 mm c/ 14 (Ase = 2,23 cm2/m). 
 
Direção y: 
Mk = 2,61 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,61 x 100 = 365,40 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
365,40
= 39,40 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 365,40
12
= 0,70 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,70 cm
2/m < Asmín = 1,95 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 10 (Ase = 1,96 cm2/m). 
 
Armadura positiva – Paredes (L3 = L4): 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
Direção x: 
Mk = 1,27 kN.m/m => Md = 1,4 x 1,27 x 100 = 177,80 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
177,80
= 81,00 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 177,80
12
= 0,34 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,34 cm
2/m < Asmín = 1,95 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 10 (Ase = 1,96 cm2/m). 
 
Direção y: 
Mk = 1,17 kN.m/m => Md = 1,4 x 1,17 x 100 = 163,80 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
163,80
= 87,90 
 
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ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 163,80
12
= 0,31 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,31 cm
2/m < Asmín = 1,95 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 10 (Ase = 1,96 cm2/m). 
 
Armadura positiva – Paredes (L5 = L6): 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
Direção x: 
Mk = 2,47 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,47 x 100 = 345,80 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
345,80
= 41,60 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 345,80
12
= 0,66 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,66 cm
2/m < Asmín = 2,91 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 8 mm c/ 17 (Ase = 2,96 cm2/m). 
 
Direção y: 
As = 20% da armadura principal = 20% x 2,91 cm
2/m = 0,58 cm2/m 
As = 0,90 cm
2/m 
As = 0,50 x 0,194% x 100 x 15 = 1,46 cm
2/m 
 
A armadura adotada será o maior valor entre as equações acima, logo: As = 1,46 cm
2/m. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 5 mm c/ 13 (Ase = 1,51 cm2/m). 
 
Armadura negativa – ligação entre parede-parede (entre L3/L4 – L5/L6): 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
 
Mk = 3,17 kN.m/m => Md = 1,4 x 3,17 x 100 = 443,80 kN.cm/m 
 
 
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𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
443,80
= 32,44 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 443,80
12
= 0,85 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 0,85 cm
2/m < Asmín = 2,91 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 8 mm c/ 17 (Ase = 2,96 cm2/m). 
 
Armadura negativa – ligação entre fundo-parede (entre L2 – L3/L4) 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d =h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
 
Mk = 6,28 kN.m/m => Md = 1,4 x 6,28 x 100 = 879,20 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
879,20
= 16,40 
 
ks = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 879,20
12
= 1,69 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 1,69 cm
2/m < Asmín = 2,91 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 8 mm c/ 17 (Ase = 2,96 cm2/m). 
 
Armadura negativa – ligação entre fundo-parede (entre L2 – L5/L6) 
A área das armaduras será determinada através da Tabela 1.1, dessa forma: 
Admitindo d’= 3 cm, temos: d = h – d’= 15 – 3 = 12 cm 
 
Mk = 9,30 kN.m/m => Md = 1,4 x 9,30 x 100 = 1.302,00 kN.cm/m 
 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
=
100 𝑥 122
1.302,00
= 11,10 
 
ks = 0,023 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 𝑥 1.302,00
12
= 2,50 𝑐𝑚2/𝑚 
 
A armadura calculada As é menor que a armadura mínima Asmín (As = 2,50 cm
2/m < Asmín = 2,91 cm
2/m), logo 
a armadura adotada será a mínima. 
O diâmetro da barra poderá ser definido com o auxílio da Tabela 1.4a, entretanto, deve-se observar os limites 
estabelecidos nas disposições construtivas (item e), como por exemplo, diâmetro máximo. Logo, adotaremos 
ϕ 8 mm c/ 17 (Ase = 2,96 cm2/m). 
 
g. Verificação de abertura de fissuras (wk): 
Abaixo segue valores limites para abertura de fissuras para reservatórios: 
 
 
Se σs < σs0 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
Se σs > σs0 
𝑤𝑘 =
∅
3,6 𝜌𝑠𝑒
(𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
Para todos os elementos: fck = 45 MPa 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 𝑥 5600 𝑥 √𝑓𝑐𝑘 = 0,85 𝑥 5600 𝑥 √45 = 31.931,05 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑛 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210.000
31.931,05
= 6,58 
 
𝑓𝑐𝑡 = 0,3√𝑓𝑐𝑘
23 = 0,3 𝑥 √452
3
= 3,80 𝑀𝑃𝑎 
 
Na tabela abaixo, encontraremos os valores de β e τbm: 
 
 
β = 0,6 
τbm = 1,35 fct = 1,35 x 0,38 = 0,513 kN/cm2 
 
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• Tampa 
h = 10 cm; b = 100 cm; d = 7 cm; d’= 3 cm. 
As = 1,30 cm
2/m para Direção x e Direção y. 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
1,30
100 𝑥 7
= 0,0018 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0018 + √(6,58 𝑥 0,0018)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0018 = 0,1425 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,14252 𝑥 (3 − 0,1425) = 0,0097 
 
Direção x: 
Mk = 2,29 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,29 x 100 = 320,60 kN.cm/m 
Nk = 9,79 kN/m => Nd = 1,4 x 9,79 = 13,71 kN/m 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 320,60 − 13,71 𝑥 (
7 − 3
2
) = 293,18 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1425)
0,0097
 𝑥 
293,18
100 𝑥 72
 + 
13,71
1,30
= 45,35 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Direção y: 
Mk = 0,79 kN.m/m => Md = 1,4 x 0,79 x 100 = 110,60 kN.cm/m 
Nk = 4,38 kN/m => Nd = 1,4 x 4,38 = 6,13 kN/m 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 110,60 − 6,13 𝑥 (
7 − 3
2
) = 98,34 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1425)
0,0097
 𝑥 
98,34
100 𝑥 72
 + 
6,13
1,30
= 16,40 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Direção x e Direção y: 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0043
0,0043
) 𝑥 0,38 = 90,87 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, nas duas direções, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
ϕ = 5 mm 
 
x = ξ d = 0,1425 x 7 = 1,00 cm 
 
 
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h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (10 – 7) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
10 − 1
3
= 3 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 3 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 3 = 300 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
1,30
300
= 0,0043 
 
Direção x: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
45,35
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0043𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0043) = − 0,0004 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
45,35
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0043
) 𝑥 (−0,0004) = − 0,086 𝑚𝑚 
 
Direção y: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
16,40
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0043𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0043) = − 0,0018 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
16,40
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0043
) 𝑥 (−0,0018) = − 0,14 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim para as duas direções. 
 
• Fundo 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
 
Direção x: 
Mk = 8,29 kN.m/m => Md = 1,4 x 8,29 x 100 = 1.160,60 kN.cm/m => As = 2,22 cm
2/m 
Nk = 13,98 kN/m => Nd = 1,4 x 13,98 = 19,57 kN/m 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
2,22
100 𝑥 12
= 0,0018 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0018 + √(6,58 𝑥 0,0018)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0018 = 0,1425 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,14252 𝑥 (3 − 0,1425) = 0,0097 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 1.160,60 − 19,57 𝑥 (
12 − 3
2
) = 1.099,53 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
 
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UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1425)
0,0097
 𝑥 
1.099,53
100 𝑥 122
 + 
19,57
2,22
= 53,23 𝑘𝑁/𝑚2 
 
ϕ = 6.3 mm 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
2,22
664
= 0,0033 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0033
0,0033
) 𝑥 0,38 = 117,65 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Direção y: 
Mk = 2,61 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,61 x 100 = 365,40 kN.cm/m => As = 1,95 cm
2/m 
Nk = 6,44 kN/m => Nd = 1,4 x 6,44 = 9,02 kN/m 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
1,95
100 𝑥 12
= 0,0016 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0016 + √(6,58 𝑥 0,0016)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0016 = 0,1350 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,13502 𝑥 (3 − 0,1350) = 0,0087 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 365,40 − 9,02 𝑥 (
12 − 3
2
) = 324,81 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1350)
0,0087
 𝑥 
324,81
100 𝑥 122
 + 
9,02
1,95
 = 19,38 𝑘𝑁/𝑚2 
 
ϕ = 5 mm 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
1,95
664
= 0,0029 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0029
0,0029
) 𝑥 0,38 = 133,53 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, nas duas direções, temos: σs < σs0. Dessa forma,a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
Direção x: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
53,23
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0033𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0033) = − 0,0008 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
53,23
2𝑥0,513
 𝑥 6,3 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0033
) 𝑥 (− 0,0008) = − 0,26 𝑚𝑚 
 
Direção y: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
19,38
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0029𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0029) = − 0,0029 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
19,38
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0029
) 𝑥 (−0,0029) = − 0,27 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim para as duas direções. 
 
• Paredes L3/L4 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
1,95
100 𝑥 12
= 0,0016 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0016 + √(6,58 𝑥 0,0016)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0016 = 0,1350 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,13502 𝑥 (3 − 0,1350) = 0,0087 
 
ϕ = 5 mm 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
Página 20 de 26 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
1,95
664
= 0,0029 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0029
0,0029
) 𝑥 0,38 = 133,53 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Direção x: 
Mk = 1,27 kN.m/m => Md = 1,4 x 1,27 x 100 = 177,80 kN.cm/m => As = 1,95 cm
2/m 
Nk = 7,09 kN/m => Nd = 1,4 x 7,09 = 9,93 kN/m 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 177,80 − 9,93 𝑥 (
12 − 3
2
) = 133,11 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1350)
0,0087
 𝑥 
133,11
100 𝑥 122
 + 
9,93
1,95
= 11,14 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Direção y: 
Mk = 1,17 kN.m/m => Md = 1,4 x 1,17 x 100 = 163,80 kN.cm/m => As = 1,95 cm
2/m 
Nk = 15,77 kN/m => Nd = 1,4 x 15,77 = 22,08 kN/m 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 163,80 − 22,08 𝑥 (
12 − 3
2
) = 64,44 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1350)
0,0087
 𝑥 
64,44
100 𝑥 122
 + 
22,08
1,95
 = 14,25 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Logo, nas duas direções, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
Direção x: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
11,14
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0029𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0029) = − 0,0033 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
Página 21 de 26 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
11,14
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0029
) 𝑥 (− 0,0033) = − 0,17 𝑚𝑚 
 
Direção y: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
14,25
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0029𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0029) = − 0,0031 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
14,25
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0029
) 𝑥 (−0,0031) = − 0,21 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim para as duas direções. 
 
• Paredes L5/L6 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
 
Direção x: 
Mk = 2,47 kN.m/m => Md = 1,4 x 2,47 x 100 = 345,80 kN.cm/m => As = 2,91 cm
2/m 
Nk = 23,23 kN/m => Nd = 1,4 x 23,23 = 32,52 kN/m 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
2,91
100 𝑥 12
= 0,0024 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0024 + √(6,58 𝑥 0,0024)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0024 = 0,1626 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,16262 𝑥 (3 − 0,1626) = 0,0125 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 345,80 − 32,52 𝑥 (
12 − 3
2
) = 199,46 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1626)
0,0125
 𝑥 
199,46
100 𝑥 122
 + 
32,52
2,91
= 17,28 𝑘𝑁/𝑚2 
 
ϕ = 8 mm 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
2,91
664
= 0,0044 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0044
0,0044
) 𝑥 0,38 = 88,86 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Direção y: 
Mk = 0,91 kN.m/m => Md = 1,4 x 0,91 x 100 = 127,40 kN.cm/m => As = 1,46 cm
2/m 
Nk = 7,02 kN/m => Nd = 1,4 x 7,02 = 9,83 kN/m 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
1,46
100 𝑥 12
= 0,0012 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0012 + √(6,58 𝑥 0,0012)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0012 = 0,1180 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,11802 𝑥 (3 − 0,1180) = 0,0067 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 127,40 − 9,83 𝑥 (
12 − 3
2
) = 83,16 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1180)
0,0067
 𝑥 
83,16
100 𝑥 122
 + 
9,83
1,46
= 11,73 𝑘𝑁/𝑚2 
 
ϕ = 5 mm 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
1,46
664
= 0,0022 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0022
0,0022
) 𝑥 0,38 = 175,23 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, nas duas direções, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
Direção x: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
17,28
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0044𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0044) = − 0,0017 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
17,28
2𝑥0,513
 𝑥 8 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0044
) 𝑥 (− 0,0017) = − 0,22 𝑚𝑚 
 
Direção y: 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
11,73
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0022𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0022) = − 0,0044 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
11,73
2𝑥0,513
 𝑥 5 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0022
) 𝑥 (−0,0044) = − 0,25 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim para as duas direções. 
 
• Ligação entre parede-parede (entre L3/L4 – L5/L6): 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
Mk = 3,17 kN.m/m => Md = 1,4 x 3,17 x 100 = 443,80 kN.cm/m => As = 2,91 cm
2/m; ϕ = 8 mm 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
2,91
100 𝑥 12
= 0,0024 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0024 + √(6,58 𝑥 0,0024)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0024 = 0,1626 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,16262 𝑥 (3 − 0,1626) = 0,0125 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
)= 443,80 − 0,00 𝑥 (
12 − 3
2
) = 443,80 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1626)
0,0125
 𝑥 
443,80
100 𝑥 122
 + 
0,00
2,91
= 13,58 𝑘𝑁/𝑚2 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
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Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
2,91
664
= 0,0044 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0044
0,0044
) 𝑥 0,38 = 88,86 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
13,58
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0044𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0044) = − 0,0019 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
13,58
2𝑥0,513
 𝑥 8 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0044
) 𝑥 (− 0,0019) = − 0,20 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim. 
 
• Ligação entre fundo-parede (entre L2 – L3/L4) 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
Mk = 6,28 kN.m/m => Md = 1,4 x 6,28 x 100 = 879,20 kN.cm/m => As = 2,91 cm
2/m; ϕ 8 mm. 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
2,91
100 𝑥 12
= 0,0024 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0024 + √(6,58 𝑥 0,0024)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0024 = 0,1626 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,16262 𝑥 (3 − 0,1626) = 0,0125 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 879,20 − 0,00 𝑥 (
12 − 3
2
) = 879,20 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1626)
0,0125
 𝑥 
879,20
100 𝑥 122
 + 
0,00
2,91
= 26,91 𝑘𝑁/𝑚2 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
Página 25 de 26 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
2,91
664
= 0,0044 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0044
0,0044
) 𝑥 0,38 = 88,86 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
26,91
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0044𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0044) = − 0,0012 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
26,91
2𝑥0,513
 𝑥 8 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0044
) 𝑥 (− 0,0012) = − 0,24 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim. 
 
• Ligação entre fundo-parede (entre L2 – L5/L6) 
h = 15 cm; b = 100 cm; d = 12 cm; d’= 3 cm. 
Mk = 9,30 kN.m/m => Md = 1,4 x 9,30 x 100 = 1.302,00 kN.cm/m => As = 2,91 cm
2/m; ϕ 8 mm. 
 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝑏𝑑
=
2,91
100 𝑥 12
= 0,0024 
 
𝜉 = −𝑛𝜌 + √(𝑛𝜌)2 + 2𝑛𝜌 = −6,58 𝑥 0,0024 + √(6,58 𝑥 0,0024)2 + 2 𝑥 6,58 𝑥 0,0024 = 0,1626 
 
𝑘2 =
1
6
𝜉2(3 − 𝜉) =
1
6
 𝑥 0,16262 𝑥 (3 − 0,1626) = 0,0125 
 
𝑀𝑠 = 𝑀 − 𝑁 (
𝑑 − 𝑑′
2
) = 1.302,00 − 0,00 𝑥 (
12 − 3
2
) = 1.302,00 𝑘𝑁. 𝑐𝑚/𝑚 
 
𝜎𝑠 =
𝑛(1 − 𝜉)
𝑘2
𝑀𝑠
𝑏𝑑2
 + 
𝑁
𝐴𝑠
= 
6,58 𝑥 (1 − 0,1626)
0,0125
 𝑥 
1.302,00
100 𝑥 122
 + 
0,00
2,91
= 39,86 𝑘𝑁/𝑚2 
 
x = ξ d = 0,1425 x 12 = 1,71 cm 
 
h0 = 2,5 (h – d) = 2,5 x (15 – 12) = 7,5 cm 
 
ℎ0 =
ℎ − 𝑥
3
=
15 − 1,71
3
= 6,64 𝑐𝑚 
 
h0 é o menor valor entre as duas expressões acima: h0 = 6,64 cm 
 
CCE0185 – ESTRUTURAS DE CONCRETO III – LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
UNIDADE 2 – RESERVATÓRIO ELEVADO 
 
Página 26 de 26 
 
Ace = b h0 = 100 x 6,64 = 664 cm
2 
 
𝜌𝑠𝑒 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
=
2,91
664
= 0,0044 
 
𝜎𝑠0 = (
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
𝜌𝑠𝑒
) 𝑓𝑐𝑡 = (
1 + 6,58 𝑥 0,0044
0,0044
) 𝑥 0,38 = 88,86 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
Logo, temos: σs < σs0. Dessa forma, a verificação da abertura de fissuras será obtida por: 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) 
 
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =
𝜎𝑠
𝐸𝑠
− 𝛽
𝑓𝑐𝑡
𝜌𝑠𝑒 𝐸𝑠
 (1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒) =
39,86
21.000
− 0,6𝑥
0,38
0,0044𝑥21.000
𝑥(1 + 6,58𝑥0,0044) = − 0,0006 
 
𝑤𝑘 =
𝜎𝑠
2𝜏𝑏𝑚
𝜙 (
1
1 + 𝑛 𝜌𝑠𝑒
) (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) =
39,86
2𝑥0,513
 𝑥 8 𝑥 (
1
1 + 6,58 𝑥 0,0044
) 𝑥 (− 0,0006) = − 0,18 𝑚𝑚 
 
Logo: wk < wlim.