Lista de exercicios Extremos locais, Máximos e Mínimos Absolutos, Problemas de Otimização COM RESPOSTA (9 de 13)

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9ªLista de Exercícios de Cálculo I - B 
Assuntos: Extremos locais 
 Máximos e Mínimos Absolutos Profª.: Maria Helena Campanelli
 Problemas de Otimização 
 
Exercs. 268 e 269: Determine onde a função dada está crescendo, decrescendo, tem concavidade positiva (voltada para cima) e concavidade negativa (voltada para baixo). Encontre os extremos locais e os pontos de inflexão e esboce o gráfico.
268. f (x) = 1/3x³ - 9x + 2 269. f (x) = 
Exercs. 270 e 271: Use o teste da 2ª derivada para encontra os máximos e mínimos locais da função dada.
 270. f (x) = 
 271. f (x) = 
Exercs. 272 e 273: Encontre o máximo e mínimo absolutos (se houver) das funções dadas nos intervalos especificados.
 272. f (x) = 
 ; -3 ( x ( 1 273. f (t) = 
 ; -2 ( t ( 0
Uma lanchonete constatou que o lucro mensal obtido com a venda de x hambúrgueres é dada por L (x) = 2,44x - 
 - 5000 reais , 0 ( x (50000 . 
 Ache o nível de produção que gera lucro máximo.
 Ache o lucro máximo obtido.
275. Um estudante trabalha de 7 às 11 horas da manhã montando componentes mecânicos. O número N de componentes montados após t horas é dado pela função N (t) = 
 , 0 ( t ( 4 . Determine o instante em que o estudante está fazendo a montagem mais rapidamente.
276. Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 256cm³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material.
277. Um industrial deseja construir uma caixa aberta de base quadrada e área de superfície de 108cm². Que dimensões darão uma caixa com volume máximo ?
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375( cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm² e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm². Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
De uma longa folha retangular de metal de 30cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima.
Deve-se fazer uma caixa aberta com uma peça quadrada de material de 6 polegadas cortando-se quadrados iguais de cada canto e dobrando-se os lados. Ache o volume da maior caixa que pode ser feita desta maneira.
Um pacote retangular, a ser enviado via postal, pode apresentar um total máximo de 108cm para a soma de seu comprimento e o perímetro transverso. Ache as dimensões do pacote de volume máximo ( admita que as dimensões do pacote sejam x por x por y ).
Deve-se construir uma caixa retangular sem tampa de 972cm3 de volume e comprimento da base igual ao dobro da largura. Determine as dimensões que minimizem a área total de sua superfície.
Uma caixa cilíndrica, aberta no topo, deve ter 250( cm3 de volume. O material para a base da caixa custa 4 centavos/cm2 , e o material para a face curva custa 2 centavos/cm2 . Que dimensões minimizarão o custo total da caixa ?
Um fazendeiro tem 500 metros de cerca para envolver um terreno retangular. Um celeiro será usado como parte de um lado do campo. Determine as dimensões de modo que a área cercada seja máxima.
Respostas:
268. cresce: ]-( , -3[ ou ]3 , +( [ ; decresce: ]-3 , 3[
 concavidade positiva: ]0 , +( [ e concavidade negativa: ]-( , 0[
 ponto de máximo: (-3 , 20) ; ponto de mínimo; (3 , -16) ; ponto de inflexão: (0 , 2) 
269. cresce: ]3 , +( [ ; decresce: ]-( , 3[
 concavidade positiva: ]-( , 0[ ou ] 2 , +( [ ; concavidade negativa: ]0 , 2[
 ponto de mínimo; (3 , -17) ; ponto de inflexão: (0 , 10) e (2 , -6) 
270. f ’’ (x) = 6x + 6 ; ponto de máximo em (-2 , 5) e ponto de mínimo em (0 , 1)
271. f ’’ (x) = 12x² - 36 ; ponto de máximo em (0, 81) e ponto de mínimo em (3 , 0) e (-3 , 0)
272. máximo absoluto em (1 , 10) ; mínimo absoluto em (-2 , 1)
273. máximo absoluto em (-1 , 2) ; mínimo absoluto em (-2 , 56)
274. 24400 hambúrgueres e lucro de 24768 reais
 10 horas ( t = 3) 
276. 8 277. base 6 x 6 e alt. 3 278. raio 5 e alt. 15 279. 7,5 280. 16 cm³ 281. 18 x 18 x 36 
282. comp. 9, larg. 18 e alt. 6 283. 
 284. 125 x 125 x 250 
Exercícios para serem entregues 
O produto de dois números é 288. Minimize a soma do segundo número com o dobro do primeiro.
Um fabricante deseja projetar uma caixa sem tampa com base quadrada e uma área superficial de 108cm2. Que dimensões produzirão a caixa de maior volume ?
Deve-se fazer uma lata, fechada, em forma de cilindro circular reto com 16( cm3 de volume. Determine o as dimensões do raio e da altura que minimizem a quantidade de material utilizado.
Uma página retangular contém 24 cm² de área impressa. As margens no topo e na parte inferior da página são de 1,5 cm cada, enquanto que, as margens laterais são de 1 cm cada. Que dimensões a página deve ter para que o consumo de papel seja mínimo ?
Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30m3, teto plano, base retangular cuja largura é ¾ do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R$ 36,00 para o chão, R$204,00 para os lados e R$102,00 para o teto. Que dimensões minimizarão o custo ?
Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular adjacente a um rio. Para proporcionar pastagem suficiente para o gado, o pasto deve ter 180.000 m² . Não haverá cerca margeando o rio. Que dimensões devem ser usadas para minimizar a quantidade de cerca ?
Uma página retangular deve conter 24 cm² de impresssão. As margens superior e inferior têm cada uma 1,5cm de largura. As duas margens laterais têm cada uma 1cm. Quais devem ser as dimensões da página para que seja utilizada a quantidade mínima de papel ?
Ache o ponto do gráfico y = x² + 1 mais próximo do ponto (3 , 1).
Respostas:
1. 12 e 24 2. comp. 6 , larg. 6 e alt. 3 3. raio = 2 e alt. = 4 
4. 9cm e 6 cm 5. comp. 4,31 , larg. 3,13 e alt. 2,15 6. 300 , 300 e 1200 
7. 6 x 9 8. (1 , 2)
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