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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas - ICEB Departamento de Computação - DECOM Cálculo Numérico - BCC 760 Distribuição de Temperatura Assintótica de uma Placa Fina Métodos de Resolução de Sistemas Lineares Discentes: Abdoul Aziz Alexandre Magno Bruno Henrique Lucas Delovo Wagner Ferreira Ouro Preto, 09 de junho de 2016 INTRODUÇÃO O conceito de chapa fina está relacionado a um escoamento de calor bidimensional em uma junta. Isto significa que as isotermas ao longo da espessura da chapa são linhas retas paralelas e perpendiculares à superfície da chapa.[INFOSOLDA]¹ Uma chapa fina é representada na figura 1, abaixo Figura 1 - Chapa fina Para chapas metálicas que apresentam distribuições contínuas, possuindo densidade e condutividade térmica equivalente em todos seus pontos, pode-se aplicar o conceito de chapas finas. Desta maneira, estima-se a temperatura em pontos internos do material, a partir da temperatura conhecida em pontos externos do material. Para tal aplicação, faz-se a utilização da álgebra linear, construindo-se um sistema linear passível de solução pelo métodos numéricos que aproximam a resposta da solução. Este documento aborda a implementação do método direto da Eliminação de Gauss e o método iterativo de Gauss-Seidel para a resolução de um exemplo prático para a determinação de temperaturas em uma chapa fina. METODOLOGIA PROPOSTA O método de Eliminação de Gauss proposto para solucionar o sistema envolve duas fases. Primeiramente, através de operações elementares (como troca de linhas, soma entre linhas e multiplicação de linhas por escalares), realiza-se a etapa de eliminação, de forma a se obter uma matriz triangular superior, equivalente ao sistema inicial. A figura 2 abaixo ilustra as operações realizadas. Figura 2 - Transformação para matriz triangular superior A segunda etapa envolve a substituição retroativa. Ou seja, encontra-se a solução de forma inversa (do último para o primeiro elemento, de xn à x1). O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. Utiliza-se a variante do anterior para acelerar o processo de resolução. Para tanto, aplica-se a aproximação inicial ao cálculo de x1, isto é: x1=f1(0,0...0) e em seguida já se utiliza esse novo valor de x1 no cálculo de x2, isto é: x2=f2(x1,0..0) e assim por diante. Utiliza-se de conceitos iterativos para resolução do problemas, através de aproximações sucessivas, este método utiliza “soluções” anteriores para se aproximar da resposta. O objetivo é obter em cada repetição, ou iteração, um resultado que esteja mais próximo da solução do problema do que aquele obtido na iteração anterior. O método iterativo se encerra quando executa-se o número máximo de repetições estabelecidos ou a precisão mínima ajustada. Se a sucessão convergir para um limite, qualquer que seja x0, então o método iterativo diz-se convergente Se os sistemas de equações A.X = B(método direto) e (I – M).X = C(método iterativo) possuírem a mesma solução, então o método iterativo é dito consistente. O documento anexo ao final do trabalho apresenta os códigos implementados na plataforma SciLab, de forma que ambos são abordado no mesmo arquivo. Nota-se que a abordagem realizada pra resolução iterativa utiliza como solução inicial a solução trivial(zero). A figura 3 exibe o problema proposto para resolução. Figura 3 - Problema proposto RESULTADOS COMPUTACIONAIS O resultado obtido para o exemplo fornecido, com o método por Eliminação de Gauss, pode ser observado na figura 4 abaixo. Figura 4 - Resultados do Método por Eliminação de Gauss Os resultados obtidos pelo método de Gauss-Seidel são demonstrados pela tabela 1. Vetor solução T (ºC) K Repetições Precisão mínima 18.065 20.807 27.399 21.457 27.763 28.791 10 0.01 18.066 20.807 27.399 21.457 27.764 28.791 10 0.001 18.066 20.807 27.4 21.458 27.764 28.791 20 0.001 18.066 20.807 27.4 21.458 27.764 28.791 30 0.001 18.065 20.807 27.399 21.457 27.763 28.791 10 0.1 18.045 20.789 27.392 21.444 27.753 28.786 5 0.1 Tabela 1 - Resultados obtidos no método de Gauss-Seidel Observa-se pela comparação dos resultados obtidos que o método de Gauss-Seidel depende do número de repetições estabelecidas, bem como a precisão mínima. Enquanto o método por Eliminação de Gauss possui apenas uma solução, embora apresente um resíduo mínimo. Quanto maior a precisão ou quanto mais repetições forem requeridas, maior será o tempo gasto pela máquina para obter a solução. Para aplicações em que resultados aproximados são viáveis, este método é aplicável. CONCLUSÃO Com a realização deste trabalho pode-se observar as diferenças entre um método direto e um método iterativo, com principal destaque para a dificuldade computacional de cada um dos métodos. Métodos iterativos possuem maior complexidade em relação aos métodos diretos, umas vez que utilizam a solução anterior para encontrar a resposta. Pode-se observar com maior clareza, a partir da abordagem, as diferenças apresentadas pelo método de Gauss-Seidel, à medida que se aumenta a precisão ou o número de repetições para a aplicação. REFERÊNCIAS Conceitos de chapa - Livros Senai - Metalurgia. Disponível em: <http://www.infosolda.com.br/biblioteca-digital/livros-senai/metalurgia/121-conceito-de-chapa.html> Acesso em 06 de junho de 2016. Cálculo Numérico - Notas de Aula. José Álvaro Tadeu Ferreira. Disponível em: <http://www.decom.ufop.br/bcc760/material_de_apoio/notas_de_aulas/notas_sistemas.pdf> Acesso em 06 de junho de 2016.
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