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9 Capítulo 9 Centro de Massa e Momento linear

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL - AULA 01 
Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Centro de Massa e Quantidade de Movimento. 
dm
M
corposólido
1. O CENTRO DE MASSA 
 
1.1 Conceito 
 
O centro de massa de um CORPO ou de um SISTEMA DE 
CORPOS é o ponto que se move como se toda a massa 
estivesse concentrada nele e como se todas as forças externas 
fossem aplicadas nesse ponto. 
 
1.2 Sistemas de partículas 
 
Consideremos um sistema formado por duas partículas de 
massas m1 e m2 conforme a figura a seguir: 
 
Veremos que, para o conceito de centro de massa seja 
satisfeito, devemos definir a posição do centro de massa por: 
1 1 2 2
1 2
CM
m x m x
x
m m



 (1) 
Para uma situação na qual N partículas são dispostas 
ao longo do eixo x, podemos escrever: 
 
1 1 2 2 ... n n
CM
m x m x m x
x
M
  

 (2) 
 
Onde: M = m1+m2+...+mn (massa total), ou ainda: 
 
 
1
1 n
CM i i
i
x m x
M 
 
 (3) 
 
Se as partículas estiverem distribuídas em três 
dimensões, as coordenadas do centro de massa serão das por: 
 
1 1 1
1 1 1
, ,
n n n
CM i i CM i i CM i i
i i i
x m x y m y z m z
M M M  
    
 (4) 
 
Ou ainda: 
1
1 n
CM ii
i
r m r
M 
 
 
 
Sendo: 
. . .i i i ir x i y j z k  
 (Vetor posição da i-ésima 
partícula). 
 
e 
. . .CM CM CM
CM
x i y j z kr   
 (Vetor posição do centro de 
massa). 
 
1.3 Corpos Sólidos 
 
Um corpo sólido contém tantas partículas (átomos) que o 
melhor tratamento é considera-lo como uma distribuição 
contínua de matéria. 
 
Nesse caso, as “PARTÍCULAS” tornam-se elementos de 
massa diferenciais dm e os somatórios da Eq. (4) tornam-se 
integrais. 
 
Sendo assim, as coordenadas do centro de massa são 
dadas por: 
 
1 1 1
, ,CM CM CMx xdm y ydm z zdm
M M M
    
 (5) 
 
 
(x, y, e z são as coordenadas do elemento diferencial dm) 
 
 
Considerando um corpo uniforme (densidade constante), 
temos que: 
 
 
M dm
V dv
  
 (6) 
 
Onde: dV é o volume ocupado pela massa dm. 
 
Da relação acima, temos: 
 
 
M dm M
dm dv
V dv V
  
 (7) 
 
Então, substituindo a Eq. (7) em (5) encontramos: 
 
 
1 1 1
, ,CM CM CMx xdv y ydv z zdv
V V V
    
 (8) 
 
Observações: 
 
1) Para uma distribuição de massa SUPERFICIAL, 
temos que: 
 
1 1
CM CMx xda e y yda
A A
  
 
 
Onde: A é a área ocupada pela massa. 
 
2) Para uma distribuição LINEAR de massa, temos que: 
 
1
CMx xdl
L
 
 
 
Onde: L é o comprimento da distribuição. 
 
Exemplo 1: Três partículas de massas m1= 1,2 kg, m2= 2,5 
kg e m3= 3,4 kg formam um triângulo equilátero cujos lados 
medem a = 140 cm. Onde está o centro de massa desse 
sistema de três partículas? 
 
 a
a
a
1m
2m
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL - AULA 01 
Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Centro de Massa e Quantidade de Movimento. 
2. SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA UM SISTEMA DE 
PARTÍCULAS. 
 
 
Podemos mostrar que a segunda Lei de Newton aplicada a 
um sistema de partículas, toma a seguinte forma: 
 
.
CM
res
M aF 
 (9) 
 
Onde: 1) 
resF
 é a força resultante de todas as forças 
externas que agem sobre o sistema; 
 
2) M é a massa total do sistema; 
 
3) 
CM
a
é a aceleração do centro de massa; 
 
Observação: Esta equação confirma a definição de 
CENTRO DE MASSA. 
 
 PROVA DA EQUAÇÃO (9) 
Da equação que define o centro de massa, temos para um 
sistema de n partículas: 
1 2
1 2
...
CM nnMr m r m r m r   
 (10) 
Derivando a Equação (10) com relação ao tempo, temos: 
1 2
1 2
...
CM nnMv m v m v m v   
 (11) 
Derivando a Equação (11) com relação ao tempo, obtemos: 
1 2
1 2
...
CM nnMa m a m a m a   
 (12) 
Da segunda Lei de Newton, temos que: 
.i i iF m a
 (13) 
 Então, substituindo a Equação (13) em (12), encontramos: 
 
1 2
...
CM nMa F F F   
 (14) 
 Daí, temos: 
resCM
Ma F
 
Onde: 
res
F
é a força resultante das forças externas. 
 
Observação: Usando a terceira Lei de Newton, podemos 
mostrar que as forças internas se cancelam na soma 
1 2
... nF F F  
. Sendo assim, esta soma representa a 
resultante das forças externas. 
 
Exemplo 2: As três partículas mostradas na figura a seguir, 
estão inicialmente em repouso. Cada uma sofre a ação de uma 
força externa devido a corpos fora deste sistema de três 
partículas. As direções e sentidos estão indicados e os 
módulos são: F1 = 60 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N. Qual é a 
aceleração do centro de massa e em que direção se move? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )y cm
( )x cm
45o
1F
2F
4,0kg
8,0kg
3F
4,0kg

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