9.2 Capítulo 9 colisões

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MECÂNICA BÁSICA 
Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Colisões 
COLISÕES 
1 – O que é colisão? 
 
Definição: Uma colisão é um evento isolado no 
qual dois ou mais corpos (corpos que colidem) 
exercem uns sobre os outros forças relativamente 
elevadas por um tempo relativamente curto. 
 
2 – Impulso e Momento Linear 
 
Colisão simples 
 
Consideremos uma colisão frontal simples entre 
dois corpos que podem ser considerados como 
partículas E e D, conforme Figura abaixo: 
 
 
 
 
Aplicando a segunda Lei de Newton ao corpo D, 
por exemplo, temos: 
 
d p
F d p Fdt
dt
  
 (1) 
 
Integrando a equação (1) entre ti (instante 
imediatamente antes da colisão) e tf (instante 
imediatamente após a colisão), obtemos: 
 
( ) ( )
f f f
i ii
p t t
t tp
d p F t dt p F t dt     
 
 
Ou ainda 
p J 
 (2) 
 
Onde 
J
, é denominado impulso, que é dado por: 
 
( )
f
i
t
t
J F t dt 
 (3) 
 
Observações: 
 
1) Os impulsos das forças que atuam sobre 
os corpos E e D possuem as mesmas 
intensidades, as mesmas direções, mas 
sentidos contrários. 
2) Em termos de componentes podemos 
escrever: 
  xfx ixp p J
, 
  yfy iyp p J
 e 
  zfz izp p J
 
 
3) Podemos mostrar que a intensidade do 
impulso é dada por: 
 
M
J F t 
 (4) 
Onde: FM é a intensidade média da força e 
t
 é a 
duração da colisão. 
 
Séries de Colisões 
 
Consideremos N projéteis de massa m e 
velocidade 
v
, que se movem ao longo do 
eixo x e colidem com um corpo alvo que está 
em uma posição fixa. 
 
 
 
 
 
(Os projéteis colidem em um intervalo de tempo 
t
) 
 
Em termos de componentes, a variação do 
momento linear dos projéteis, por causa da colisão 
é: 
 
1 2
... n
T T
p p p p
p n p p nm v
       
       
 (5) 
 
Assim, o impulso sobre os projéteis é: 
 
p
J nm v 
 (6) 
 
Dessa forma, o impulso resultante sobre o alvo é: 
 
A
J nm v  
 (7) 
 
Substituindo (7) em (4), temos que a força que age 
sobre o alvo durante as colisões é: 
 
A
M M
J nm v
F F
t t
 
  
 
 (8) 
 
Exemplo 1: Uma bola de beisebol de 140 g, 
arremessada em voo horizontal com uma 
velocidade escalar vi, de 39 m/s, é acertada por 
um bastão. Após deixar o bastão, a bola viaja na 
direção contrária com velocidade vf, também de 39 
m/s. 
 
a) Que impulso age sobre a bola enquanto 
ela está em contato com o bastão durante 
a colisão? 
b) O tempo de impacto para a colisão da bola 
de beisebol com o bastão é de 1,2 ms. 
F
F
v
ALVO
 
 
 
 
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Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Colisões 
Qual a força média que age na bola de 
beisebol? 
 
c) Suponhamos agora que a colisão é de 
frente e que a bola deixa o bastão com 
uma velocidade escalar vf de 45 m/s, 
fazendo um ângulo para cima de 30°. Qual 
é o impulso sobre a bola neste caso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Tipos de Colisões 
 
A nossa discussão estará limitada a colisão em 
sistemas fechados (não há massa entrando nem 
saindo) e isolados (não há forças externas 
atuando sobre os corpos dentro do sistema). 
 
 
 Colisão Elástica: A colisão em que a 
energia cinética e o momento linear do 
sistema são conservados. 
 Colisão Inelástica: A energia total e o 
momento linear do sistema são 
conservados. 
 
3.1 – Colisões Inelásticas em 1D 
 
Consideremos a seguinte colisão unidimensional 
 
 
Admitindo que os dois corpos formem um sistema 
fechado e isolado, podemos aplicar as leis de 
conservação do momento linear e energia. 
Fazendo isto, temos: 
 
1 2 1 2i i f fp p p p  
 (9) 
e 
 
'
1 2 1 2i f i i f fE E K K E K K     
 (10) 
 
Onde E’ é a parte da energia cinética do sistema 
que foi convertida em outras formas de energia, 
como por exemplo: energia térmica ou sonora. 
 
Obs: Estando o corpo de massa m2 inicialmente 
em repouso (v2i=0), dessa forma, temos: 
 
 
2 1f i ifp p p 
 (11) 
e 
 
'
1 1 2
2 2 2
' 1 1 2
1 1 22 2 2
i f f
i f f
E K K K
p p p
E
m m m
   
  
 (12) 
 
Então, substituindo (11) em (12), encontramos: 
 
 
22 2
1 1' 1 1
1 1 22 2 2
i fi f
p pp p
E
m m m

  
 (13) 
 
Portanto, neste caso, conhecendo m1, m2, v1i e v1f 
podemos determinar E’. 
 
 
3.2 – Colisão Completamente Inelástica 
 
Consideremos a seguinte colisão: 
 
 
Aplicando as conservações do momento linear e 
energia, obtemos: 
 
 1 1 2m v m m v 
 (14) 
e 
 
 ' 2 21 1 2
1 1
'
2 2
i fK E K mv E m m v     
 (15) 
 
Então, substituindo (14) em (15), temos: 
 
 
 
2 2
2 '1
1 1 2 2
1 2
1 1
2 2
m v
mv m m E
m m
  

 
30o
x
y
 
 
 
 
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Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Colisões 
 
 
2
' 2 21
1 2
1 2
2
1 1 2 1 2
1 2
1 1
2 2
1
2
m
E mv v
m m
m m m m
v
m m
 

  
  
  
 
 
' 2 2
1
1 2
1
2
m
E mv
m m
 
  
 
 (16) 
 
Exemplo 2: Um vagão de carga de uma ferrovia 
de massa igual a 3,18 x 104 kg colide com o último 
vagão de carga em repouso. Eles ficam acoplados 
e 27% da energia inicial são transformados para 
energia térmica, som, vibrações etc. Ache a 
massa do último vagão. 
 
 
3.3 – Colisões Elásticas em 1D 
 
 Alvo Estacionário (repouso) 
 
Considere a seguinte colisão: 
 
 
Como vimos neste tipo de colisão a energia 
cinética e o momento linear do sistema se 
conserva. Então, 
 
1 1 2
1 1 2
i f fm v m v m v 
 
 1 1 21 2i f fm v v m v 
 (17) 
2 2 2
1 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
i f f
mv mv m v 
 
 2 2 2
1 1 1 2 2i f f
m v v m v 
 
   2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2i f i f fm v v v v m v  
 (18) 
 
Das equações (17) e (18), obtemos: 
 
1 2
1
1 2
if i
m m
v v
m m



 (19) 
 
1
2 1
1 2
2
f i
m
v v
m m


 (20) 
PROVA DAS EQUAÇÕES (19) E (20) 
 
Dividindo (18) por (17), temos: 
 
1 1 2i f f
v v v 
 (21) 
 
Assim, substituindo (21) em (17), encontramos: 
 
   
1 1 1 2 1 1i f i fm v v m v v  
 
 
   
1 2 1 1 2 1i fm m v m m v  
 
 
1 2
1
1 2
if i
m m
v v
m m



 
 
Logo, 
 
 
1 2
2 1 1
1 2
f i i
m m
v v v
m m

 

 
 
1
2 1
1 2
2
f i
m
v v
m m


 
 
 
 
ANÁLISE DAS EQUAÇÕES (19) E (20) 
 
1) Massas iguais: sendo 
1 2
m m
 as 
equações (19) e (20) torna-se: 
 
1 2 1
0f f iv e v v 
 
 
2) Um alvo maciço: Um alvo maciço significa 
2 1
m m
. Para este caso, temos: 
 
1
1 2 1
2
2
if i f i
m
v v e v v
m

 
 
2f
v
 (velocidade muito pequena, pois 
1 2
m m
. 
 
3) Um projétil maciço: Este é o caso em que 
1 2
m m
. Para esta situação, temos 
que: 
 
1 1 2 1
2f i f iv v e v v
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA BÁSICA 
Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Colisões 
 Alvo em Movimento 
 
Considere a seguinte colisão elástica: 
 
 
 
Aplicando as conservações do momento linear e 
da energia cinética, obtemos: 
 
1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v  
 (22) 
 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
i i f fmv m v mv m v   
 
 
   2 2 2 2
1 1 1 2 2 2i f i fm v v m v v   
 
 
       
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2i f i f i f i fm v v v v m v v v v     
 (23) 
 
 
Das equações (24) e (25) 
 
1 2 2
1 1 2
1 2 1 2
2
f i i
m m m
v v v
m m m m

 
 
 (24) 
 
1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
2
f i i
m m m
v v v
m m m m

 
 
 (25) 
 
 
PROVA DAS EQUAÇÕES (24) E (25) 
 
Podemos escrever a equação (22), como: 
 
   
1 1 1 2 2 2i f i fm v v m v v   
 (26) 
 
Então, dividindo (23) por (26), obtemos: 
 
1 1 2 2i f i f
v v v v  
 
 
2 1 1 2f i f i
v v v v  
 (27) 
 
Substituindo (27) em (22), temos: 
 
 
1 1 2 2 1 1 2 1 1 2i i f i f imv m v mv m v v v    
 
 
 
1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2i i i i fmv m v m v m v v m m    
 
 
 
1 2 2
1 1 2
1 2 1 2
2
f i i
m m m
v v v
m m m m

 
 
 (28) 
 
Logo, 
 
1 2 2
2 1 1 2 2
1 2 1 2
2
f i i i i
m m m
v v v v v
m m m m

   
 
 
 
 
 
2 11
2 1 2
1 2 1 2
2
f i i
m mm
v v v
m m m m

 
 
 (29) 
 
 
 
Exemplo 2: Duas esferas metálicas, suspensas 
por fios verticais, inicialmente apenas se tocam, 
como mostrado na Figura abaixo. A esfera 1, com 
massa 30 g, é puxada para esquerda até uma 
altura de 80 cm e depois é solta do repouso. 
Depois de descer girando em torno do ponto fixo, 
ela sofre uma colisão elástica com a esfera 2, cuja 
masas é de 75 g. Qual a velocidade 
1f
v
 da esfera 
1 imediatamente após a colisão? 
 
 
 
3.4 – Colisões em 2D 
 
Considere uma colisão elástica entre dois corpos 
na qual os corpos não batem de frente. 
 
 
 
(O corpo de massa m1 está inicialmente em 
repouso). 
 
 
 
 
 
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Professor: Fabrício Borges 
Assunto: Colisões 
Considerando o sistema fechado e isolado, temos: 
 
1 2 1 2i i f fp p p p  
 (30) 
 
No eixo x: 
 
 
1 1 1 1 1 2 2 2
cos cosi f fm v m v m v  
 (31) 
 
No eixo y: 
 
1 1 1 2 2 2
0 f fm v sen m v sen   
 (32) 
 
 
1 2 1 2i i f f
k k k k  
 (33) 
 
 
2 2 2
1 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
i f f
mv mv m v 
 (34) 
 
 
Obs: As equações (31), (32) e (34) contém sete 
variáveis: 
1 2 1 1 2 1 2
, , , , ,i f fm m v v v e 
. Se 
conhecermos quaisquer quatro destas grandezas, 
poderemos resolver as três equações para as três 
grandezas restantes. 
 
 
Exemplos 3: Dois patinadores colidem e se 
abraçam, em uma colisão totalmente inelástica. 
Assim, eles ficam juntos após o impacto, como 
sugerido pela figura, na qual a origem foi colocada 
no ponto de colisão. Alfredo cuja massa é 83 kg, 
está se movendo originalmente para leste com 
velocidade de 6,2 km/h. Bárbara, cuja massa é de 
55 kg, está se movendo originalmente para o norte 
com velocidade de 7,8 km/h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual a velocidade V do casal após sua 
colisão? 
 
 
 
 
 
b) Qual é a velocidade 
CMv
 do centro de 
massa dos dois patinadores antes e após 
a colisão? 
 

x
y
A B
m m
B
m
A
m
L
N
Bv
Av
S
O
v