Lista Resolvida -2014/1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
Monitoria de MAT 137 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Resoluc¸a˜o da 1a Lista de Exerc´ıcios
1. Considere a matriz B dada por
B =
 1 1 12 3 4
5 8 9
 .
(a) Calcule o determinante de B.
Resoluc¸a˜o:
Pela Regra de Crammer, temos
det(B) =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
2 3 4
5 8 9
∣∣∣∣∣∣
1 1
2 3
5 8
= 3× 9 + 4× 5 + 2× 8− 3× 5− 4× 8− 9× 2 = −2
Portanto, det(B) = −2
(b) Encontre a matriz adjunta adjB.
Resoluc¸a˜o:
Calculando cada cofator separadamente, temos
a11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 3 48 9
∣∣∣∣ = 3× 9− 8× 4 = −5
a12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ 2 45 9
∣∣∣∣ = −1× (3× 9− 8× 4) = 2
a13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ 2 35 8
∣∣∣∣ = 2× 8− 5× 3 = 1
a21 = (−1)2+1
∣∣∣∣ 1 18 9
∣∣∣∣ = −1× (1× 9− 8× 1) = −1
a22 = (−1)2+2
∣∣∣∣ 1 15 9
∣∣∣∣ = 1× 9− 5× 1 = 4
a23 = (−1)2+3
∣∣∣∣ 1 15 8
∣∣∣∣ = −1× (1× 8− 5× 1) = −3
a31 = (−1)3+1
∣∣∣∣ 1 13 4
∣∣∣∣ = 1× 4− 3× 1 = 1
a32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ 1 12 4
∣∣∣∣ = −1× (1× 4− 2× 1) = −2
a33 = (−1)3+3
∣∣∣∣ 1 12 3
∣∣∣∣ = 1× 3− 2× 1 = 1
Portanto,
adj(B) =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
T =
 a11 a21 a31a12 a22 a32
a13 a23 a33
⇒ adj(B) =
 −5 −1 12 4 −2
1 −3 1

(c) Use o item (b) acima para calcular B−1.
Resoluc¸a˜o:
Por Teorema, sabemos que
A× adj(A) = adj(A)× A = det(A)× I
Como det(B) = −2 6= 0, existe a matriz inversa de B, ale´m disso, det(B)−1 = 1
det(B)
.
Assim,
A× adj(A) = det(A)× I ⇒ A−1 × (A× adj(A)) = A−1 × (det(A)× I)
⇒ (A−1 × A)× adj(A) = det(A)× (A−1 × I)
⇒ adj(A) = det(A)× A−1
⇒ A−1 = 1
det(A)
× adj(A)
Desta forma, B−1 =
1
−2 × adj(B) = −
1
2
×
 −5 −1 12 4 −2
1 −3 1

Portanto, B−1 =
 52 12 −12−1 −2 1
−1
2
3
2
−1
2

2. Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:
3y + 2x = z + 1
3x + 2z = 8− 5y
3z − 1 = x− 2y
Resoluc¸a˜o:
Inicialmente organizamos o sistema de forma que cada coluna tenha a mesma inco´gnita,
como feito abaixo: 
2x + 3y − z = 1
3x + 5y + 2z = 8
−x + 2y + 3z = 1
Escrevendo matricialmente,
 2 3 −13 5 2
−1 2 3

︸ ︷︷ ︸
A
 xy
z

︸ ︷︷ ︸
X
=
 18
1

︸ ︷︷ ︸
B
Assim, temos det(A) =
∣∣∣∣∣∣
2 3 −1
3 5 2
−1 2 3
∣∣∣∣∣∣ = −22
det(Ax) =
∣∣∣∣∣∣
1 3 −1
8 5 2
1 2 3
∣∣∣∣∣∣ = −66, det(Ay) =
∣∣∣∣∣∣
2 1 −1
3 8 2
−1 1 3
∣∣∣∣∣∣ = 22,
det(Az) =
∣∣∣∣∣∣
2 3 1
3 5 8
−1 2 1
∣∣∣∣∣∣ = −44
Logo, pela Regra de Crammer:
x =
det(Ax)
det(A)
=
−66
−22 ⇒ x = 3, y =
det(Ay)
det(A)
=
22
−22 ⇒ y = −1 e
z =
det(Az)
det(A)
=
−44
−22 ⇒ z = 2.
3. Suponha P uma matriz invers´ıvel. Mostre que det(P−1) = (det(P ))−1.
Resoluc¸a˜o:
Sabemos que PP−1 = P−1P = I. Desta forma, aplicando o determinante a`s matrizes
temos
det(PP−1) = det(I)⇔ det(P )det(P−1) = 1⇔ det(P−1) = 1
det(P )
.
Portanto, det(P−1) = [det(P )]−1, desde que det(P ) 6= 0.
4. Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmac¸a˜o dada e´ (sempre) verdadeira ou
(a`s vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lo´gico matema´tico (se
verdadeira) ou um contra-exemplo (se falsa).
(a) (F) det(AB) = det(BA)
Resoluc¸a˜o:
Considere as matrizes A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[ −1 3
5 7
]
.
Temos
AB =
[
9 17
17 28
]
⇒ det(AB) = −37.
BA =
[
8 10
26 38
]
⇒ det(BA) = 44.
Portanto, det(AB) 6= det(BA)
(b) (F) det(2A) = 2detA
Resoluc¸a˜o:
Tome a matriz A dada por A =
[
1 2
3 4
]
. Note que
det(A) = −2; 2A =
[
2 4
6 8
]
⇒ det(2A) = −8.
Logo, det(2A) = −8 6= 2× (−2) = 2det(A).
(c) (F) det(I + A) = 1 + det(A)
Resoluc¸a˜o:
Tome a matriz A dada por A =
[
1 2
3 4
]
. Note que
I + A =
[
2 2
3 5
]
⇒ det(I + A) = 4 6= 1 + (−2) = det(A).
Portanto, det(I + A) 6= 1 + det(A).
(d) (F)det(A + B) = det(A) + det(B)
Resoluc¸a˜o:
Considere as matrizes A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[ −1 3
5 7
]
.
Veja que det(A) = −2 e det(B) = −22.
A + B =
[
0 5
8 11
]
⇒ det(A + B) = −40.
Logo, det(A + B) 6= det(A) + det(B).
(e) (V)Se AB = 0 e B e´ invers´ıvel, enta˜o A = 0
Resoluc¸a˜o:
Como B e´ invers´ıvel podemos aplicar B−1 em ambos os lados da igualdade, assim,
AB = 0⇔ (AB)B−1 = 0B−1 ⇔ A(BB−1) = 0⇔ AI = 0⇔ A = 0.
(f) (F)det(−A) = det(A).
Resoluc¸a˜o:
Consideremos a matriz A dada por A =
 1 2 3−1 0 4
3 2 1
, onde det(A) = 12.
Temos que −A =
 −1 −2 −31 0 −4
−3 −2 −1
, ale´m disso, det(−A) = −12 = (−1)3det(A).
Portanto,det(−A) = det(A) apenas quando a ordem da matriz A e´ par.
(g) (V)A soma de duas matrizes sime´tricas de mesma ordem e´ uma matriz sime´trica.
Resoluc¸a˜o:
Se A e B sa˜o duas matrizes sime´tricas, enta˜o, da definic¸a˜o, temos que A = AT e
B = BT . Desta forma,
A + B = AT + BT = (A + B)T
Portanto, A + B tambe´m e´ sime´trica.
(h) (V)Se AB = C e duas das matrizes sa˜o invers´ıveis, enta˜o a terceira tambe´m o e´.
Resoluc¸a˜o:
1o Caso: Sejam A,B duas matrizes invers´ıveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0.
Assim,
A · B = C ⇒ det(AB) = det(C) ⇒ det(A)det(B) = det(C), como, por hipo´teses,
det(A) 6= 0 e det(B) 6= 0, segue que det(C) 6= 0. Logo, C e´ invers´ıvel.
2o Caso:Sejam A,C duas matrizes invers´ıveis. Logo, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0.
Assim,
det(A)det(B) = det(C) e como, por hipo´tese, det(A) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que
det(B) 6= 0. Portanto, B e´ invers´ıvel.
3o Caso:Se B,C sa˜o invers´ıveis, temos det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0. Logo,
det(A)det(B) = det(C) e como det(B) 6= 0 e det(C) 6= 0, segue que det(A) 6= 0.
Portanto, A e´ invers´ıvel.
5. Considere a matriz A abaixo:
A =

2 1 5 1
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3
 .
(a) Calcule o determinante da matriz A. Resoluc¸a˜o:
Inicialmente vamos fazer operac¸o˜es nas linhas da matriz A, de modo que facilite o
ca´lculo do determinante, posteriormente.
A =

2 1 5 1
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3
 L1→L1−L4∼

0 −1 3 4
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3
 L1→L1+L2∼

1 0 0 0
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3

︸ ︷︷ ︸
A′
.
Sabemos que as operac¸o˜es efetuadas na˜o alteram o valor do determinante, assim
det(A) = det(A′).
Calculando o determinante de A′, temos
det(A′) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1× (−1)
1+1
∣∣∣∣∣∣
1 −3 −4
6 −2 1
2 2 −3
∣∣∣∣∣∣ = −120
Portanto, det(A) = det(A′) = −120.
(b) Encontre o determinante da matriz C, onde C e´ a matriz obtida de A atrave´s das
seguintes operac¸o˜es elementares:L1 ←→ L4, L3 −→ 2L3.
Resoluc¸a˜o:
Por meio das propriedades de determinante sabemos que
L1 ←→ L4 ⇒ det(C) = −det(A)
L3 −→ 2L3 ⇒ det(C) = 2det(A)
Desta forma, det(C) = −(2det(A))⇔ det(C) = −2(−120)⇔ det(C) = 240.
6. Determine os valores reais de k para que o sistema linear
x + 3y + 4z = 2
3x + 7y + (k + 13)z = 10
2x + (2k + 2)y + 4z = 20
seja:
(a) Poss´ıvel determinado;
Resoluc¸a˜o:
Inicialmente vamos escrever o sistema na forma matricial: 1 3 43 7 (k + 13)
2 (2k + 2) 4

︸ ︷︷ ︸
A
 xy
z

︸ ︷︷ ︸
X
=
 210
20

︸ ︷︷ ︸
B
.
Para ser poss´ıvel e determinado a matriz A deve ser invers´ıvel, ou seja, det(A) 6= 0.
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 3 4
3 7 (k + 13)
2 (2k + 2) 4
∣∣∣∣∣∣ = −2k2 + 2k + 12
det(A) = −2(k2 − k − 6) 6= 0⇔ k2 − k − 6 6= 0
Logo, basta fazer k 6= 3 e k 6= −2.
Portanto, S = { k ∈ R/k 6= 3, k 6= −2}
(b) Poss´ıvel indeterminado;
Resoluc¸a˜o:
Como a matriz A e´ quadradra, ou seja, o sistema tem o nu´mero de linhas igual ao
nu´mero de inco´gnitas, podemos aplicar a Regra de Cramer.
Assim,
x =
det(Ax)
det(A)
; y =
det(Ay)
det(A)
e z =
det(Az)
det(A)
.
Para que o sistema seja poss´ıvel e indeterminados temos que det(A) = 0 e det(Ax) =
det(Ay) = det(Az) = 0.
Desta forma,
det(Ax) =
∣∣∣∣∣∣
2 3 4
10 7 (k + 13)
20 (2k + 2)4
∣∣∣∣∣∣ = −4k2 + 84k + 184
det(Ax) = −4(k2 − 21k − 46) = 0⇔ k2 − 21k − 46 = 0⇔ k = 23 ou k = −2.
det(Ay) =
∣∣∣∣∣∣
1 2 4
3 10 (k + 13)
2 20 4
∣∣∣∣∣∣ = −16k − 32
det(Ay) = −16k − 32 = 0⇔ k = −2.
det(Az) =
∣∣∣∣∣∣
1 3 2
3 7 10
2 (2k + 2) 20
∣∣∣∣∣∣ = −8k − 16
det(Az) = −8k − 16 = 0⇔ k = −2.
Portanto, para que o sistema seja Poss´ıvel e Indeterminado, basta fazer k = −2.
(c) Imposs´ıvel.
Resoluc¸a˜o:
Para que o sistema linear seja imposs´ıvel, basta termos det(A) = 0 e det(An) 6= 0
com n = x, y ou z.
Assim, perceba que se fizermos k = 3 teremos det(A) = 0, pore´m det(Ax) 6= 0.
Portanto, basta fazer k = 3 para que o sistema seja Imposs´ıvel.
7. Seja A uma matriz real e quadrada de tal sorte que det(A) = 3. Em cada uma das
sentenc¸as abaixo, obtenha o determinante da matriz B, sabendo-se que tal matriz e´
obtida de A por:
(a) Multiplicac¸a˜o de uma linha de A por um escalar k.
Resoluc¸a˜o:
Sabemos que det(A) = 3, pelas propriedades de determinante, ao multiplicarmos
uma linha da matriz A por um escalar seu determinante tambe´m sai multiplicado
por este escalar.
Desta forma,
det(A′) = k det(A)⇔ det(A′) = 3k
. Onde A′ e´ a matriz A com uma linha multiplicada por k.
(b) Troca entre si de duas linhas de A.
7
Resoluc¸a˜o:
Pelas propriedades de determinante, ao trocarmos duas linhas da matriz A seu de-
terminante troca de sinal.
Desta forma,
det(A′) = −det(A)⇔ det(A′) = −3.
Onde A′ e´ a matriz A com duas linhas trocadas.
(c) Por meio da seguinte sequeˆncia de operac¸o˜es elementares: L1 ←→ L2,
L3 −→ (1/2)L5, L4 −→ L4 − L1.
Resoluc¸a˜o:
Por meio das propriedades de determinante, sabemos que trocar uma linha pela
combinac¸a˜o linear de outras duas na˜o altera o valor do determinante.
Desta forma,
det(A′) = −1
2
det(A)⇔ det(A′) = −3
2