Análise Estatística Aula 07 Online

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Aula 07 – Distribuição Binomial
Tipos de Variáveis
Existem muitos tipos de variáveis que serão utilizadas em um estudo estatístico. É importante compreender o conceito matemático de variável. Variável é algo que se refere a um determinado aspecto do fenômeno que está sendo estudado. Podemos afirmar que a quantidade colhida da safra anual de soja é uma variável. Representemos essa variável pela Letra X. Essa variável pode assumir diversos valores específicos, em função dos anos de safra, por exemplo, X1986, X1990 e X1992.
Se uma amostra tiver 50 indivíduos, podemos nos referir a X como sendo a variável nota de estatística e a X30 como a nota de um indivíduo particular, no caso o trigésimo. E comum na literatura utilizarmos Letras maiúsculas para a notação de variáveis e as correspondentes Letras minúsculas para referência aos valores particulares assumidos por essa variável.
Variáveis Quantitativas
Referem-se a quantidades e podem ser medidas em uma escala numérica.
Exemplos: idade de pessoas, preço de produtos, o peso de recém-nascidos.
As variáveis quantitativas subdividem-se em dois grupos:
Variáveis Quantitativas Discretas – São aquelas que assumem apenas determinados valores tais como 1, 2, 3, 4, 5, 6, dando saltos de descontinuidade entre seus valores. Normalmente referem-se a contagens.
Por exemplo: número de vendas mensais em uma loja, número de pessoas por família, quantidade de internações por hospital.
Variáveis Quantitativas Continuas – São aquelas cujos valores assumem uma faixa contínua e não apresentam saltos de descontinuidade.
Exemplos dessas variáveis são: 
• O peso de pessoas;
• A renda familiar;
• O consumo mensal de energia elétrica; 
• O preço de um produto agrícola.
Referem-se ao conjunto dos números reais ou a um de seus subconjuntos contínuos.
Coeficiente de Assimetria
Referem-se a dados não numéricos.
Exemplos dessas variáveis são: o sexo das pessoas, a cor, o grau de instrução.
As variáveis qualitativas subdividem-se também em dois grupos:
Variáveis Qualitativas Ordinais e Variáveis Qualitativas Nominais 
São aquelas que definem um ordenamento ou uma hierarquia. Como exemplo, temos o grau de instrução, a classificação de uni estudante no curso de estatística, as posições das 100 empresas mais Lucrativas etc.
Variável Aleatória
Seja um espaço amostral S, e supondo que para cada ponto amostral seja atribuído um número. Desta forma, passamos a definir uma função variável aleatória. Costuma-se definir a função variável aleatória por uma letra maiúscula e seus valores por letras minúsculas.
Seja S o espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas”, logo S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}. Se X representa “o número de caras” que aparecem, temos que a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela.
A função para tal é:
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Com a distribuição binomial, podemos determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas.
Distribuição de Probabilidade
Suponha uma distribuição de frequência5 relativas ao número de acidentes diários em um estacionamento:
Em um dia, a probabilidade de:
É possível, então, escrever a tabela de probabilidade:
Vejamos novamente a tabela do espaço amostral relativo ao “Lançamento simultâneo de duas moedas”, incluindo uma coluna de probabilidade de X (o número de caras).
Temos então:
Teremos então:
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma relação unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P (probabilidade). Nessa correspondência temos os valores x (1 = 1, 2, 3,.., n) formando o domínio da função e os valores p (i = 1, 2, 3, .., n) formando o seu conjunto imagem.
Desta forma definimos a função probabilidade, representada por:
f(x)=P(x=x)
A função P(x = x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Tomando como exemplo o Lançamento de um dado, onde a variável X é definida por “pontos de um dado” e podendo tomar os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Sabendo que a cada um destes valores está associada apenas uma probabilidade de realização e que , fica definida uma função, da qual resulta a tabela de distribuição de probabilidade.
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é um prolongamento da distribuição de Bernoulli, devendo ser aplicada em problemas nos quais um experimento é realizado um número de vezes preestabelecido. Cada uma destas repetições é denominada prova ou experimento.
Vamos considerar um experimento aleatório que tenha as seguintes características:
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições, um número finito de vezes, ou seja, considerar n tentativas;
- As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das demais;
- Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso e insucesso, com as mesmas probabilidades de ocorrer;
- No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
Em geral resolveremos problemas do tipo: determinar em n tentativas a possibilidade de se obterem k sucessos.
O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda” satisfaz essas condições.
É importante entender que, na realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento (insucesso) é 1 - p = q.
Suponhamos que realizemos o mesmo experimento n vezes, em tentativas sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nos experimentos realizados é dada pela função:
Onde:
. P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;
. p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova sucesso;
. q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova insucesso;
É importante Lembrar que o sinal ‘!” representa a função fatorial, Logo 5! representa o produto da sequência de 1 a 5. 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial.
O nome binomial vem do fato deser o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade utilizada em experimentos onde é possível ter dois tipos de resultados: sucesso ou fracasso.