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Cálculo Diferencial e Integral III Prof(a): Ana Lucia de Sousa Aula 1 Objetivos 2 Identificar uma Equação Diferencial (ED) Classificar quanto a Ordem uma ED Identificar o grau de uma ED Verificar se uma solução dada é solução para determinada ED Identificar os tipos de solução das Equações Diferenciais Identificar e Resolver Equações de Variáveis Separáveis 3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL (ED) Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. Exemplos: 4 EQUAÇÕES DIF. ORDINÁRIAS E PARCIAIS Uma Eq. Dif. Ordinária (EDO) envolve funções de uma variável e suas derivadas, enquanto uma Eq. Dif. Parcial envolve funções de muitas variáveis e suas derivadas. Exemplos: EDO EDP 5 ORDEM E GRAU DE UMA EQ. DIFERENCIAL Vamos considerar as equações abaixo: 6 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Consideremos a equação diferencial y” + 4y = 0. Será que y = cos2x – 3sen2x é solução da Equação diferencial dada? Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, verificando se realmente será uma identidade. 7 Equação diferencial y” + 4y = 0. y = cos2x – 3sen2x 8 TIPOS DE SOLUÇÃO DE UMA EQ.DIFERENCIAL Solução geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. Exemplos: y(x) = x2 + C y(x) = C1.ex + C2.e2x Solução particular é toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos valores particulares às constantes. 9 PROBLEMA DE VALOR INICIAL Seja y = C1e-2t + C2e-3t a solução geral da eq. Dif. y” + 5y´ + 6y = 0. Encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3. Vamos encontrar o valor das constantes C1 e C2. 10 Seja y(0) = 2, onde t = 0 e y = 2. y = C1e-2t+C2e-3t => 2 = C1e-2(0)+C2e-3(0) =>2 = C1 + C2 Seja y`(0) = 3, onde t = 0 e y` = 3. y = C1e-2t + C2e-3t => y`= -2C1e-2t - 3C2e-3t 3 = -2C1e-2(0) - 3C2e-3(0) => 3 = -2C1 - 3C2 11 Vamos resolver o sistema de equações. Logo, a solução particular será: y = 9e-2t - 72e-3t 12 EQUAÇÃO DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 13 1.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 14 2.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis y dx – x dy = 0. 15 Cálculo Diferencial e Integral III Prof(a): Ana Lucia de Sousa Atividade 17 1.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 18 EXERCÍCIOS 2.Resolver a eq. diferencial de variáveis separáveis 19
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