CALCULO 3 SÉRIE DEFINIÇÃO

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CATÓLICA Prof. CLÁUDIO MACIEL
Cálculo Diferencial e Integral III 2ª Lista : Séries Numéricas, Testes de Convergência
Aluno:______________________________________ Turma ___________ 
Série Infinitas.
 
 Se 
 for uma seqüência e Sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un então a seqüência 
 será chamada de série infinita, denotada por 
 .
 Os números u1, u2, u3, ...,un , ... são os termos da série infinita e os números s1, s2, ..., sn, ... 
são chamados de somas parciais da série infinita. 
Convergência: 
 Seja 
 uma série infinita, e seja { sn } a seqüência das somas parciais que definem a série. Então, se o 
 existir e for igual a S, dizemos que a séie será convergente, sendo S a soma da série infinita dada. Se o 
 não existir, a série será divergente e não terá soma.
 Série Geométrica: 
A série geométrica converge para a soma 
 e diverge se 
5º) Dadas as séries determine os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {sn}, obtenha uma fórmula para Sn, verifique se a série converge ou diverge e determine a sua soma se for convergente. 
6º ) Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Calcule a sua soma se for convergente.
7º) Expresse as dízimas periódicas como séries geométricas e a suas somas como o quociente de dois inteiros.
a) 0,6666... b) 0,232323... c) 5,373737... d) 0,159159159...
e) 0,78217821... f) 2,3333... g) 0,21515... h) 0,451141414...
8º) Determine a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada e também se elas são convergente ou divergentes e sua soma se convergir.
Propriedades das séries.
Propriedade 1) Se 
 são duas séries infinitas que diferem pelos seus m primeiros termos ( ak = bk se k > m), então ambas convergem ou ambas divergem
9º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.
Propriedade 2) Seja c é uma constante não-nula.
 
i) Se a série 
 for convergente e sua soma for S, então a série 
 também será convergente e sua soma será c.S.
 ii) Se a série 
 for divergente, então a série 
 também será divergente.
10º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.
 
Propriedade 3) Se 
 são duas séries infinitas convergentes com somas S e R, respectivamente, então
 i) 
 é uma série convergente e sua soma é S + R.
 ii) 
 é uma série convergente e sua soma é S – R .
Propriedade 4) Se a série 
 for convergente e a série 
for divergente, então a série 
 
 será convergente.
11º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem
Propriedade 5) S a série 
 converge, então 
. ( a recíproca é falsa)
12º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem
 
Séries Infinitas: Testes 
Teste da Integral.
 Seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo n≥ 1, e seja 
. Então ambas, a série e a integral 
 convergem ou ambas divergem.
Séries p ( ou p-séries) 
 Uma série da forma 
, onde p é uma constante positiva.
Convergência: 
Obs: Se p = 1 a série p é chamada de série harmônica.
Teste da Razão 
 Seja 
 uma série de termos positivos e que 
.
Teste da Raiz 
 Seja 
 uma série de termos positivos e que 
.
Exercícios:
1º) Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
2º) Verifique a convergência das séries p 
3º) Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
4º) Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
Séries Alternadas
 Se 
 para todo n inteiro positivo, então a série
 são chamadas de séries alternadas.
Convergência.
 Uma série alternada da forma ( I ) ou ( II ) é convergente se as duas condições seguintes estiverem satisfeitas.
 
OBS: Se uma série satisfaz a condição (ii) deste teste, a série deve convergir (teste da divergência ). No entanto, se a condição (ii) estiver satisfeita e a condição (i) não estiver, a série pode convergir ou divergir. Uma série alternada irá convergir se a condição (ii) for verdadeira e a condição (i) estiver verificada a partir de um de um certo termo.
Teste da Comparação
 Suponha que 
 para todo n.
 
Teste da Comparação dos Limites
 Sejam 
 séries de termos positivos.
 
Exercícios
1º) Use o teste da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
2º) Use o teste da comparação dos limites para verificar se a série converge ou diverge.
3º) Determine se a série é convergente ou divergente.
Testes para Séries
	Teste
	Série
	Converge
	Diverge
	comentário
	do n-ésimo termo
	
	
	
	Este teste não pode ser usado para provar a convergência 
	da série geométrica
	
	
	
	Soma 
	para Séries p
	
	
	
	
	para Séries alternadas
	
n
	
	
	
	da integral ( f contínua,positiva e decrescente)
	
	
converge
	
diverge
	
	da Raiz
	
	
	
	O teste é inconclusivo se 
	da Razão
	
	
	
	O teste é inconclusivo se 
	da Comparação
(an , bn >0 )
	
	
	
	
	dos Limites da Comparação
(an , bn >0 )
	
	
	
	
Séries de Potência
 Se c1, c2, c3, ... e x0 são constantes e x variável, então uma série na forma 
 é chamada série de potência em x – x0 ( centrada em x0 ).
Para x0 = 0, temos 
 é chamada série de potência em x ( centrada em 0 ).
Convergência
 Para uma série de potência 
 exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira.
i- A série converge em x0.
 ii- Existe um número real R > 0 tal que a série converge para 
 e diverge para 
 
 iii- A série converge para todo x
R é o raio de convergência
Se a série converge apenas em x0, R = 0
Se a série converge para todo x, 
Intervalo de Convergência: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge.
Exercícios: 
 Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
Diferenciação e Integração de séries de potências.
 Se a função definida por 
tem raio R > 0, então f é contínua, diferenciável e integrável no intervalo ( c – R, c + R ). Além disso, sua derivada e antiderivada são dadas por
 
 Seja 
 uma série de potência cujo raio de convergência é R > 0. Então, se f for a função definida por 
 
 existirá para todo x no intervalo aberto ( – R , R )
 1) 
cujo raio de convergência também será R
 2) 
 com x no intervalo ( – R , R) e o raio de convergência também será R
Exercícios 
1º) Determine o intervalo de convergência para 
 
 onde 
2º) Sejam 
Determine os intervalos de convergência de f e de g
Mostre que 
Convergência Absoluta. 
 Uma série 
será absolutamente convergente se a série 
 for convergente 
Condicionalmente convergente 
 Uma série 
será condicionalmente convergente se 
converge, mas 
 diverge. 
OBS: i) Se a série 
 converge, então a série 
também converge
 ii) Se a série 
for absolutamente convergente, ela será convergente e 
Teste da Razão para a convergência absoluta 
 Seja 
 uma série com termos não-nulos. Se 
, então:
Para 
 a série converge absolutamentePara 
 a série diverge
Para 
 nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.
 Teste da Raiz para a convergência absoluta 
 Seja 
 uma série com termos não-nulos. Se 
, então 
a) Para 
 a série converge absolutamente 
Para 
 a série diverge
Para 
 nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.
Exercícios: 
 5º) \determinar se as séries são convergentes ou divergentes
6º) Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
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