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* Gráfico de uma função real Função constante – Função crescente e decrescente Função polinomial do 1º grau – Função Afim Modelagem da função afim Variação do sinal da função Equações e Inequações do 1º grau Função Polinomial do 2º grau – Função Quadrática Modelagem da função quadrática Gráfico da função quadrática – A parábola Variação do sinal da função quadrática Equações e Inequações do 2º grau DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * No cotidiano, há muitos exemplos de função: o “peso” de uma criança é função de sua idade; o salário de um vendedor é função do volume de vendas; a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada; o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial; o tempo de viagem é função, entre outras coisas, da velocidade; o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição; DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * “Para entender o conceito de função, pense em duas grandezas que variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra”. Assim, se tivermos dois conjuntos A e B e uma regra que permita associar a cada elemento de A um único elemento de B, teremos uma função. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * O gráfico da função terá um número de pontos igual ao número de pontos do domínio X se for finito Assim podemos afirmar que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo num único ponto. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Quais os pares ordenados da relação R, tais que: y > 0 y = 0 y < 0 DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) O par (–1; 3) pertence a S? b) O ponto M pertence ao gráfico de S? c) O para (a, 3/2) pertence a S. Qual é o valor numérico de a? d) Qual é o valor de x que está em correspondência com y = 7/2 ? e) Qual é o valor de y que está em correspondência com x = –1? f) Quais os valores de y que estão em correspondência com os valores de x, pertencentes aos reais que estão entre -3 e 2? DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) Que valor de y corresponde a: x = 1? e x = 0? e x = –1? b) O valor de y que corresponde a x = 2 é positivo ou negativo? c) O valor de y que corresponde a x = - 1/2 é positivo ou negativo? d) Os Valores de y que correspondem a x < -1 são positivos ou negativos e para x = -1 e para x > -1? DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) Que valor de y corresponde a x = 1? b) O valor de y corresponde a x = –2? c) O valor de y que corresponde a x = –3 é positivo ou negativo? Indique-o no gráfico. d) O valor de y que corresponde a x = 3 é positivo ou negativo? Indique-o no gráfico. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Definindo: Dada a função f: A → B chamam-se zeros ou raízes da função f os valores de x, tais que f(x) = 0. Neste caso, f(x) = 0, para x = 1, sendo portanto 1 a raiz ou zero da função definida pelo diagrama de flechas ao lado. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Neste caso, observando o gráfico acima podemos ver que o par ordenado onde a função g intercepta o eixo dos x, (eixo das abscissas) e (-2,0), assim temos f(x) = 0, para x = -2, sendo assim -2 é a raiz ou o zero da função g. Para que valores de x, g(x) e maior que zero, é para que valores de x g(x) é menor que zero? DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) Qual o lucro quando o preço é igual a R$20,00? b) O que acontece quando o preço é igual a R$10,00? c) Para se obter lucro igual a R$37,00, qual deve ser o preço? d) Qual deve ser o preço para que se obtenha lucro máximo? e) Qual é o valor do lucro máximo? f) Se o preço for maior que R$50,00, haverá lucro ou prejuízo? g) Se o preço for maior que R$10,00 e menor que R$50,00, haverá lucro ou prejuízo? DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) h(x) = g(x) b) h(x) > g(x) c) h(x) < g(x) d) h(x) = 0 e) h(x) > 0 f) h(x) < 0 g) g(x) > 3 h) g(x) < 3 DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Seja o gráfico a seguir de uma função f definida no campo dos números reais, temos que: I – f (x) >0 x < b ou x > c II – f (x) = 0 x = b ou x = c III – f (x) < 0 b < x < c DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Dizemos que f é crescente em seu domínio se x e f(x) variarem no mesmo sentido, isto é: Qualquer que sejam x1, x2 pertencentes ao Dom f, x2 > x1, então f(x2) ≥ f(x1). Dizemos que f é decrescente em seu domínio se x e f(x) variarem em sentidos contrários, isto é: Qualquer que sejam x1, x2 do Dom f, x2 > x1, então f(x2) ≤ f(x1). DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Percebe-se que a medida que x vai aumentando, y vai aumentando, assim, de x = 0h até 3,5h o automóvel aumentou sua velocidade, até atingir uma velocidade máxima de 125 km/h. A seguir a medida em que o tempo passa diminui a velocidade. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Um motorista, viajando em uma auto-estrada, dirige seu automóvel a uma velocidade constante de 90 km/h. Como é a expressão matemática da distância que ele percorre com esse automóvel? Podemos afirmar que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é: d = 90. t, onde d é à distância percorrida e t é o tempo. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Vamos ver o seguinte exemplo: Considere o seguinte problema: Um vendedor de uma loja ganha um salário fixo mensal de R$ 250,00, acrescido de 3% (0,03) do valor total das vendas efetuadas durante o mês. a) Em um mês em que o valor total das vendas foi de R$ 2 000,00, qual foi o salário do vendedor? b) Em um mês em que o salário foi de R$ 280,00, qual foi o valor total das vendas? c) Qual seria o salário do vendedor em um mês em que não houvesse vendas? d) Se x é o valor total das vendas efetuadas no mês, qual a expressão matemática da função que representa o salário do vendedor? DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) Temos que se: 250,00 + 0,03 × 2 000,00 = 310,00 Assim o salário do vendedor foi de R$ 310,00. b) Neste caso, chamando de x o valor total de vendas temos que: 280,00 = 250,00 + 0,03x, isto é, 280,00 - 250,00 = 0,03x, assim temos, 30,00 = 0,03x, portanto x = 30,00 ÷ 0,03 x = 1 000 Isto significa que, em um mês em que o salário for de R$ 280,00, o total das vendas será de R$ 1 000,00. c) Seria o salário fixo, isto é, de R$ 250,00. d) Por meio de uma expressão, pode-se também calcular o valor de x (valor total das vendas) para um determinado valor de y (salário do vendedor): Não se esqueça que 3% = 0,03. Assim temos y = 0,03x + 250, veja que a lei é constituída de uma parcela fixa e uma parcela que depende de x , que é o valor total das vendas efetuadas durante o mês. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Observações: 1ª) Quando b = 0 e a ≠ 0, temos que a função f, é denominada função linear. (Foi o caso referente ao primeiro exemplo). 2ª) A função f é denominada função constante, quando a = 0, isto é, quando temos h(x) = b. 3ª) A função f é denominada função identidade, quando a = 1 e b = 0. O JEITÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU É: f(x) = ax + b, a e b pertencente aos reais. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * A condição necessária e suficiente para que uma função seja linear é que os valores assumidos por y = f (x) sejam proporcionais aos correspondentes valores de x ≠ 0. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Concluindo: O gráfico da função polinomial do 1º grau chamada de função afim e da forma f(x) = ax + b e é graficamente representado por uma reta que: • passa pela origem quando b = 0 (função linear); • não passa pela origem quando b ≠ 0 (função afim). O gráfico que representa a função constante f(x) = c, de em , é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo dos x). Taxa de Variação de uma função Consideremos uma função no campo dos reais, tal que: x e x + h com h ≠ 0, o número , chama-se taxa de variação ou taxa de crescimento da função f no intervalo de extremos x e x + h. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * A função afim f(x) = ax + b é crescente em , quando a > 0, e decrescente em , quando a < 0. O coeficiente a é denominado coeficiente angular, taxa de variação ou declividade da reta que representa o gráfico da função f, e o b é chamado de coeficiente linear da função DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Raiz ou zero da função afim f(x) = ax + b é todo valor de x tal que f(x) = 0. No gráfico cartesiano, o zero da função f é o valor da abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Chama-se trinômio do 2º grau a toda função do tipo t: R → R, tal que y = t(x) = ax² + bx + c (com a ≠ 0). Raízes ou zeros do trinômio São os valores de x que anulam o trinômio, isto é, são valores que satisfazem à equação: t(x) = 0 então ax² + bx + c = 0 Formula resolutiva da equação do 2º grau: Relações entre coeficientes e raízes do trinômio Soma das raízes: - b/a Produto das raízes: c/a DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * Seja o trinômio y = ax² + bx + c ele é equivalente a. Estudando o sinal da função f(x) = ax² + bx +c, temos: Podemos assim concluir que o sinal do trinômio terá o sinal de a para valores exteriores ao intervalo das raízes ( isto é, para x < x1 ou x > x2) e o sinal contrário ao sinal de a para valores interiores ao intervalo das raízes (isto é, para x1 < x < x2). DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO * a) ver o sinal de a para determinar a concavidade; b) determinar as coordenadas do vértice (xv , yv) para encontrar o eixo de simetria da parábola; c) ver o sinal de Δ para determinar se o gráfico corta o eixo Ox; d) marcar o ponto (0, c) no eixo Oy; e) traçar uma parábola. DISCIPLINA TELETRANSMITIDA AULA 3 GABARITANDO
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