Lista 1 MAT 141 atualizada

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
Lista 1 - MAT 141/2013-I 1
Func¸o˜es
1) Encontre uma equac¸a˜o para a reta que passa por:
a) (2,−3) e tem coeficiente angular −4. b) (−4, 2) e (3,−1)
c) (2,−4) e e´ paralela ao eixo x. d) (1, 6) e e´ paralela ao eixo y.
e) (4,−2) e e´ paralela a` reta x+ 3y = 7. f) (5, 3) e e´ perpendicular a` reta y + 7 = 2x
g) (−4, 3) e e´ paralela a` reta que passa por (−2,−2) e (1, 0).
2) Encontre o ponto de intersec¸a˜o de cada um dos seguintes pares de retas:
a) 2x+ 2y = 2 e y = x+ 1 b) 2x− 3y = 7 e 6y = −14 + 4x
3) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
2x− 1
x3 − 2 b) y =
3− x√
1− x c) y =
√
x− 3
x− 1 d) y =
√
1− x2
4 + x
e) g(y) =
√
y +
√
y − 2 f) y = √3x− x2
4) O per´ımetro de um triaˆngulo retaˆngulo e´ 6 e da hipotenusa e´ x. Exprima a a´rea do
triaˆngulo como func¸a˜o de x.
5) Seja f uma func¸a˜o definida num conjunto sime´trico com relac¸a˜o a 0.
a) Mostre que a func¸a˜o f(x) + f(−x) e´ par e que f(x)− f(−x) e´ ı´mpar.
b) Exprima f em termos das func¸o˜es do item acima e conclua que toda func¸a˜o e´ soma de uma
func¸a˜o par e uma func¸a˜o ı´mpar.
6) a) Mostre que − |x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R.
b) Prove que |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
c) Prove que ||x| − |y|| ≤ |x− y| .
7) Considere a func¸a˜o f(x) = |x− 1|+ |x− 2| .
a) Mostre que f(x) =

−2x+ 3 se x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2
.
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
8) Um mo´vel e´ lanc¸ado verticalmente e sabe-se que no instante t sua altura e´ dada por
h(t) = 4t − t2; 0 ≤ t ≤ 4. (Suponha que o tempo e´ medido em segundos e a altura em
quiloˆmetros).
a) Esboce o gra´fico de h.
b) Qual a altura ma´xima atingida pelo mo´vel? Em qua instante esta altura ma´xima e´ atingida?
1Lista elaborada pela Professora Fernanda Moura de Oliveira, DMA-UFV.
1
9) Seja f(x) =
ex − e−x
2
.
a) Mostre que f e´ invers´ıvel e determine sua inversa g.
b) Esboce o gra´fico das func¸o˜es f e g.
Limite e continuidade
1) Determine o limite das seguintes func¸o˜es, caso exista:
a) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2 ; b) limx→1
√
x− 1
x− 1 ; c) limx→+∞
(√
x2 + 1− x
)
d) lim
x→+∞
(
3
√
x3 + 1− x
)
e) lim
x→+∞
√
x2 + 1−√x√
x
f) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
g) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6 h) limx→1
|x− 1|
x− 1
i) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1 j) limx→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
2) Determine os valores de a e b de modo que
lim
x→+∞
(
2x2 + bx+ 3
x+ 1
− ax
)
= 0.
3) Determine o valor da constante c para que a func¸a˜o f , dada abaixo, seja cont´ınua em
[0,+∞).
f(x) =

x+
√
x− 2
x− 1 se 0 ≤ x < 1
cx+ 5
x2 + 3
se x ≥ 1
.
4) Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em [−3, 3]
f(x) =

a se x = −3
9− x2
4−√x2 + 7 se −3 < x < 3
b se x = 3
.
5) Dada a func¸a˜o f(x) =
2− 3√x2 + 7
x3 − 1 para x 6= 1, defina o valor de g(1) para que a func¸a˜o g
seja cont´ınua em x = 1, sabendo que g(x) = f(x) para x 6= 1.
6) Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em R
f(x) =

x4 se x ≤ −1
ax+ b se −1 < x < 2
x2 + 3 se x ≥ 2
.
7) Determine o valor da constante c para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em 0
f(x) =
{ 1− cosx
sin2 x
se x 6= 0
c se x = 0
.
2
8) Prove que existe ∂ > 0 tal que
1− ∂ < x < 1 + ∂ ⇒ 2− 1
3
< x2 + x < 2 +
1
3
.
Respostas
Func¸o˜es
1) a) y = −4x+ 5 b) 7y + 3x− 2 = 0 c) y = −4 d) x = 1 e) 3y = −x− 2
f) 2y = −x+ 11 g) 3y − 2x− 17 = 0
2) a) (0, 1) b) as retas sa˜o coincidentes
3) a) R− { 3√2} b) (−∞, 1) c) [3,+∞) d) (−∞,−4)∪ [−1, 1] e) [2,+∞) f) [0, 3]
4) A(x) = 9− 3x.
8) h(2) = 4
9) y = ln(x+
√
x2 + 1)
Limite e continuidade
1) a) 0 b) 1/2 c) 0 d) 0 e) +∞ f) 3x2 g) 0 h) na˜o existe i) 1 j) 3√3
2) a = b = 2 3) c = 1 4) a = b = 8 5) g(1) = −1/18 6) a = 2 e b = 3 7) c = 0, 5
8) Como lim
x→1
(x2 + x) = 2, basta usar � =
1
3
.
Exerc´ıcios propostos do livro do Leithold, vol 1, 3◦ edic¸a˜o
1.4) 1, 4, 16, 26, 37, 39
1.5) 13, 14, 25, 43
2.1) 27, 33, 37, 43
2.2) 9, 33, 37, 43, 49, 50
2.3) 5, 9, 13, 31, 33
2.4) 13, 21, 25, 27, 31, 35, 39, 43
2.5) 17, 25, 27, 29, 33, 37, 47, 64
2.6) 15, 19, 41, 47, 51
2.7) 9, 13, 41, 43, 58
2.8) 3, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 39
3