7-medidas-de-posicao

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ESTATÍSTICA APLICADA
7 – MEDIDAS DE POSIÇÃO
Prof. Cristina D’Ornellas Filipakis
Sistemas de Informação e 
Ciência da Computação
CEULP/ULBRA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de posição mostram o posicionamento dos elementos de uma amostra de 
números quando esta é disposta em rol.
Elas auxiliam a interpretação dos dados de uma amostra de forma mais segura.
Média
��
Moda
Mo
Mediana
Md
Separatrizes
Q, D, C
MÉDIA ( )
Média Aritmética Simples
� Soma de todos os elementos da amostra dividida pelo número de elementos 
desta amostra
�� =
∑ ��
�
���
	
� Exemplo: Uma confecção produz o seguinte número de peças em uma 
semana: 15, 18, 14, 20, 18
��� =
∑ 
�
�
�
�
�
=
��������������
�
=
��
�
= 17 ∴ �� = 17
MÉDIA ( )
Média Aritmética Ponderada
� Soma de todos os elementos da amostra, multiplicados por seus respectivos 
pesos, dividida pela soma dos pesos dos elementos desta amostra
�� =
∑ (��∗ ��)
�
���
∑ ��
�
���
� Exemplo: Uma confecção produz o seguinte número de peças em uma 
semana: 15, 18, 14, 20, 18
��� =
∑ (
�∗��)
�
�
�
∑ ��
�
�
�
=
�∗����∗����∗����∗��
�������
=
��
�
= 17 ∴ �� = 17
MÉDIA ( )
�� para Dados Agrupados sem 
intervalos de classes
� Utiliza-se a média aritmética 
ponderada
��para Dados Agrupados com 
intervalos de classes
Cálculo do ponto médio de cada classe XM:
 �1� =
���,���� ,�
�
= 153,5
 �2� =
�� ,��� �,�
�
= 159,5
 �3� =
� �,��� �,�
�
= 165,5
 �4� =
� �,���'�,�
�
= 171,5
Calcula-se a média ponderada, multiplicando-se 
cada ponto médio pela respectiva frequência simples
�� =
��(,�∗����),�∗��� �,�∗���'�,�∗(
������(
=
(���
��
= 162,5
Tabela 1: Estatura de Estudantes do Ensino 
Fundamental
Classe
(estatura em cm)
Frequência Simples
(número de alunos)
150,5 |— 156,5 4
156,5 |— 162,5 5
162,5 |— 168,5 8
168,5 |— 174,5 3
MODA (Mo)
A moda, como o próprio nome sugere, é representada pelo 
elemento da variável que aparece com mais frequência. 
Exemplos:
�Na amostra 3, 4, 7, 3, 7, 9, 9, 9, temos Mo=9
�Na amostra 9, 9, 5, 7, 10, 2, 1, 12, 12, temos duas modas (amostra 
Bimodal): Mo=9 e Mo=12
�Na amostra 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, temos três modas (2, 3 e 4), ou 
seja, o conjunto de dados é Multimodal
�A amostra 1, 3, 8, 6, 15, 2, 0, 9 não apresenta um valor para a moda, pois 
todos os seus elementos têm a mesma frequência
MODA (Mo)
Moda para dados agrupados sem intervalo de classes
� Dado com maior frequência absoluta
Moda para dados agrupados em intervalos de classes
 �* = +, +
.(/�0)
.(/�0)�.(1230)
∗ ℎ
Onde:
li – limite inferior da classe modal (classe de maior frequência)
f(ant) – frequência simples da classe anterior à classe modal
f(post) – frequência simples da classe posterior à classe modal
h – amplitude (diferença entre os limites inferior e superior da classe modal)
MODA (Mo)
Exemplo: li = 162,5
f(ant)= 5
f(post) = 3
h = 168,5 – 162,5 = 6
 �* = 162,5 +
�
��(
∗ 6 = 166,25
Mo = 166,25 ≈ 166,3
Tabela 1: Estatura de Estudantes do Ensino 
Fundamental
Classe
(estatura em cm)
Frequência Simples
(número de alunos)
150,5 |— 156,5 4
156,5 |— 162,5 5
162,5 |— 168,5 8
168,5 |— 174,5 3
MEDIANA (Md)
Termo central de uma mostra de dados, ou seja, é o termo que 
divide a amostra ao meio.
Para obtenção da mediana, deve-se:
� ordenar o rol de dados
� se o número de dados for ímpar
� a mediana é o dado central
� a posição da mediana é dada por i=(n+1)/2
� Se o número de dados for par
� A mediana é dada pela média aritmética simples dos dois dados centrais
� A posição da mediana é dada por i=n/2
MEDIANA (Md)
Exemplos:
1) Estaturas de 5 jogadores de vôlei de uma escola (em cm)
�190, 180, 195, 178, 182
�Ordenando os dados: 178, 180, 182, 190, 195
�Md = 182
� Posição da mediana i=(5+1)/2=6/2=3 (terceiro número da série)
2) Notas de uma turma de estatística
�4,0; 5,0; 6,0; 6,5; 7,0; 8,0; 8,5; 8,5; 9,0; 10,0
��A =
',���,�
�
= 7,5
� Posição da mediana i=10/2 = 5 (média aritmética entre o quinto termo da 
esquerda para a direita e o quinto termo da direita para a esquerda)
MEDIANA (Md)
Mediana para dados agrupados sem intervalo de classes
1. Calculam-se as frequências simples acumuladas
2. Somam-se as frequências simples
3. Encontra-se a posição mediana (soma das frequências simples/2)
4. Localiza-se a posição mediana na coluna de frequências acumuladas
•Quando a frequência acumulada coincidir com a posição mediana, deve-se calcular a 
média aritmética simples entre o valor correspondente a esta frequência acumulada e o 
valor imediatamente posterior
5. A mediana será o valor correspondente à frequência acumulada 
encontrada no passo anterior ou o valor encontrado no cálculo da média 
aritmética simples
MEDIANA (Md)
Exemplo 1:
Nº meninos fi fac
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
∑=34
1. Cálculo das frequências acumuladas - 3ª coluna da 
tabela
2. Soma das frequências simples = 34
3. Encontra-se a posição mediana = 34/2 = 17
4. Localiza-se a posição mediana na coluna de 
frequências acumuladas – 3ª linha – destaque em 
vermelho
5. A mediana será o valor correspondente à frequência 
acumulada encontrada no passo anterior
A posição da mediana será o 17º termo.
Md = 2
MEDIANA (Md)
Exemplo 2:
Idades fi fac
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
∑=8
1. Cálculo das frequências acumuladas - 3ª coluna da tabela
2. Soma das frequências simples = 8
3. Encontra-se a posição mediana = 8/2 = 4
4. Localiza-se a posição mediana na coluna de frequências 
acumuladas – 3ª linha – destaque em vermelho
•Quando a frequência acumulada coincidir com a posição mediana, 
deve-se calcular a média aritmética simples entre o valor 
correspondente a esta frequência acumulada e o valor imediatamente 
posterior
�� =
���� 
�
= 15,5
5. A mediana será o valor correspondente à frequência 
acumulada encontrada no passo anterior
Md = 15,5
MEDIANA (Md)
Mediana para dados agrupados com 
intervalo de classes
1. Calculam-se as frequências simples 
acumuladas
2. Somam-se as frequências simples
3. Encontra-se a posição mediana (soma 
das frequências simples/2)
4. Localiza-se a posição mediana na 
coluna de frequências acumuladas
•Quando a frequência acumulada 
coincidir com a posição mediana, deve-
se calcular a média aritmética simples 
entre o valor correspondente a esta 
frequência acumulada e o valor 
imediatamente posterior
A mediana será dado por
�A = +, +
∑B,
2
− B D	E ∗ ℎ
B(F+DGGH IHA,D	D)
Onde:
li – limite inferior da classe mediana
fi – frequência simples
f(ant) – frequência acumulada da anterior à classe 
mediana
h – amplitude do intervalo da classe mediana
f(classe mediana) – frequência simples da classe 
mediana
MEDIANA (Md)
Exemplo:
1. Calculam-se as frequências simples 
acumuladas – 3ª coluna
2. Somam-se as frequências simples = 20
3. Encontra-se a posição mediana (soma das 
frequências simples/2) = 20/2 = 10
4. Localiza-se a posição mediana na coluna de 
frequências acumuladas – 10 está na 4ª classe
5. A mediana será dado por
�A = +, +
∑B,
2
− B D	E ∗ ℎ
B(F+DGGH IHA,D	D)
�A = 162,5 +
20
2
− 9 ∗ (168,5 − 162,5)
8
�A = 162,5 +
5 ∗ (1)
8
= 162,5 +
5
8
= 162,5 + 0,625
�A = 163,125 ≈ �A = 163,1
Tabela 1: Estatura de Estudantes do Ensino Fundamental
Classe
(estatura em cm)
fi fac
150,5 |— 156,5 4 4
156,5 |— 162,5 5 9
162,5 |— 168,5 8 17
168,5 |— 174,5 3 20
∑=20
MEDIDAS SEPARATRIZES
As medidas separatrizes são aquelas medidas que "separam" ou que dividem o 
conjunto em um certo númerode partes iguais.
A mediana é um exemplo de medida separatriz pois divide o conjunto de dados em 
duas partes iguais.
Quartil (Q) – separa o conjunto em 4 partes iguais
Decil (D) – separa o conjunto em 10 partes iguais
Centil (C) ou Percentil (P) – separa o conjunto em 100 partes iguais
MEDIDAS SEPARATRIZES
Relação entre as medidas separatrizes
Md = Q2 = D5 = C50
!-------------------!-------------------! 
 Md 
 
!---------!---------!---------!---------! 
 Q1 Q2 Q3 
 
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! 
 C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90 
MEDIDAS SEPARATRIZES
CALCULANDO O PRIMEIRO QUARTIL (Q1)
1) Divide-se o conjunto de dados em 4 partes (n/4)
2) Localiza-se o valor calculado na fac na tabela (Esta fac é maior ou igual a (n/4)? A classe 
correspondente à fac será a classe do Q1
3) Calcula-se o primeiro quartil
L1 = +, +
∑B,
4
− B D	E ∗ ℎ
B(F+DGGH A* MN,IH,N* OPDNE,+)
Onde:
li – limite inferior da classe do primeiro quartil
fi – frequência simples
f(ant) – frequência acumulada da classe anterior à classe do primeiro quartil
h – amplitude do intervalo da classe do primeiro quartil
f(classe do primeiro quartil) – frequência simples da classe do primeiro quartil
MEDIDAS SEPARATRIZES
Exemplo: 1) n=20, portanto, n/4 = 5
2) A segunda classe corresponde à classe do 
primeiro quartil (em vermelho)
3) L1 = +, +
∑ Q�
R
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 [\/Y0�V)
 L1 = 156,5 +
]^
R
S� ∗ � �,�S�� ,�
�
= 157,7
Q1 = 157,7
Tabela 1: Estatura de Estudantes do Ensino Fundamental
Classe
(estatura em cm)
fi fac
150,5 |— 156,5 4 4
156,5 |— 162,5 5 9
162,5 |— 168,5 8 17
168,5 |— 174,5 3 20
∑=20
MEDIDAS SEPARATRIZES
Calculando Q2
 L2 = +, +
] ∑ Q�
R
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 [\/Y0�V)
que equivale a
 L2 = +, +
∑ Q�
]
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 [\/Y0�V)
Calculando Q3
 L2 = +, +
c ∑ Q�
R
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 [\/Y0�V)
MEDIDAS SEPARATRIZES
Calculando o primeiro decil
D1 = +, +
∑ Q�
�^
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 XWU�V)
Onde:
li – limite inferior da classe do primeiro decil
fi – frequência simples
f(ant) – frequência acumulada da classe 
anterior à classe do primeiro decil
h – amplitude do intervalo da classe do 
primeiro decil
f(classe do primeiro decil) – frequência simples 
da classe do primeiro decil
Calculando D2 a D9
 d2 = +, +
] ∑ Q�
�^
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 XWU�V)
D3 – 3∑fi/10
D4 – 4∑fi/10
D5 – 5∑fi/10
...
D9 – 9∑fi/10
MEDIDAS SEPARATRIZES
Calculando o primeiro percentil
C1 = +, +
∑ Q�
�^^
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 UW�0�V)
Onde:
li – limite inferior da classe do primeiro centil
fi – frequência simples
f(ant) – frequência acumulada da classe 
anterior à classe do primeiro centil
h – amplitude do intervalo da classe do 
primeiro centil
f(classe do primeiro centil) – frequência 
simples da classe do primeiro centil
Calculando C2 a C99
CX = +, +
f ∑ Q�
�^^
S. /�0 ∗T
.(UV/33W X2 1Y�ZW�Y2 UW�0�V)
C2 – 2∑fi/100
C3 – 3∑fi/100
C4 – 4∑fi/100
...
C99 – 99∑fi/100