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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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Figura 20 
5.5 Carga não uniformemente distribuída 
Trata-se de força cuja intensidade varia ao longo da linha de distribuição. Um exemplo deste 
tipo de força é o caso da força cuja distribuição é triangular, isto é, que varia conforme a função 
𝑞 = 𝑞0. 𝑥 𝑎⁄ , onde a é o comprimento da distribuição e x é a posição do ponto considerado. 
Para o cálculo das reações de apoio podemos substituir a força distribuída conforme 
mostrada na Figura 21.a pela força concentrada mostrada na Figura 21.b. Se adotamos o SI a 
unidade de q e qo será N/m. 
 
Figura 21 
5.6 Tipos de vigas 
a) Viga simplesmente apoiada ou viga simples é a viga que possui numa extremidade um apoio 
articulado fixo e na outra extremidade um apoio articulado móvel (Figura 22) 
b) Viga engastada ou viga em balanço é a viga que possui uma extremidade engastada e sua 
outra extremidade é livre (Figura 23). 
c) Viga simples com balanço é a viga simplesmente a apoiada que se prolonga além dos apoios 
(Figura 24). 
 41 
 
Figura 22 
 
 
 
Figura 23 
 
 
Figura 24 
 
5.7 Vigas isostáticas , vigas hiperestáticas e vigas hipostáticas 
Vigas isostáticas são aquelas para as quais a quantidade de equações de equilíbrio da estática 
é igual à quantidade de seus vínculos (reações de apoio). As vigas que vimos até agora (Figura 22, 
Figura 23 e Figura 24) são isostáticas. 
Nas vigas hiperestáticas (Figura 25-a e Figura 25-b) a quantidade de reações de apoio é 
maior que a de equações de equilíbrio da estática e, então, precisamos incluir também equações de 
deformação ou outro método, para poder resolvê-las. Quando adicionamos a uma viga isostática um 
ou mais vínculos a transformamos em hiperestática. 
 42 
 
Figura 25 
 As vigas hipostáticas são aquelas cuja quantidade de vínculos é menor que a quantidade de 
equações da estática (Figura 26). Neste caso a estrutura somente estará em equilíbrio se as forças 
externas resultarem equilibradas, mas, qualquer variação de uma delas provocará o desequilíbrio da 
viga. Temos, portanto, uma viga em equilíbrio instável e que deve ser evitada a não ser em 
condições especiais. 
 
Figura 26 
 
 O fato de acrescentarmos mais um apoio articulado móvel, mas de forma inadequada como 
o mostrado na Figura 27, a viga não estará eficazmente vinculada e somente não se movimentará 
horizontalmente se as forças aplicadas se anularem horizontalmente. Embora neste caso as reações 
de apoio sejam três não se configura como uma estrutura isostática já que as três reações são 
verticais e, em assim sendo, não se aplica a equação 
  0xF
 e sobram somente as duas equações 
   00 Ay MF
. 
 
Figura 27 
5.8 Grau de hiperestaticidade 
O grau de hiperestaticidade é definido pelo número de incógnitas (vínculos) que ultrapassam 
o número de equações de equilíbrio da estática de uma determinada viga hiperestática. A viga da 
Figura 25-a tem grau de hiperestaticidade 2, pois, possui 5 reações de apoio a serem calculadas e só 
há 3 equações de equilíbrio da estática. A viga da Figura 25-b tem grau de hiperestaticidade 1. 
 
 
 43 
5.9 Reações de apoio 
Como vamos trabalhar, inicialmente, somente com vigas isostáticas no plano, utilizaremos 
então as equações de equilíbrio da estática para a determinação das reações de apoio: a soma das 
forças verticais, a soma das forças horizontais e a soma dos momentos em relação a um ponto P 
(polo) qualquer, são nulas, ou seja, 
  0xF
 
  0yF
 (5.1) 
  0PM
 
Estas três equações permitem determinar, portanto, no máximo três incógnitas. O fato de 
adicionarmos mais uma equação, tomando-se os momentos das forças em relação a um outro ponto 
diferente de P, não adianta nada, pois, esta nova equação não é independente e não pode ser usada 
para determinar uma quarta incógnita. 
 Como alternativa podemos substituir uma ou duas destas equações de forças 
  0xF
 e 
  0yF
 por equações de momentos em relação a pontos diferentes. Mas nestes casos existem 
algumas restrições, por exemplo, no caso de três equações de momentos os pontos polos destes 
momentos não poderão estar alinhados. 
Para utilização correta destas equações devemos estabelecer uma convenção de sinais. Por 
exemplo: forças horizontais para direita são positivas, para esquerda são negativas; forças verticais 
para cima são positivas, para baixo são negativas; momentos no sentido horário são positivos e no 
sentido contrário são negativos. 
Para efeito de cálculo, normalmente desprezamos a altura da viga, considerando apenas a 
linha de seu eixo. Logicamente isto não poderá ser adotado quando a altura da viga for relevante a 
ponto de influir de forma considerável nos resultados. 
 
Exercícios resolvidos: 
1) Determinar as reações de apoio da viga Figura 28-a. 
 
Figura 28 
Solução 
 Em primeiro lugar devemos desenhar o diagrama de corpo livre (Figura 28-b) onde 
mostramos as componentes horizontais e verticais das reações de apoio, bem como as componentes 
horizontal e vertical da carga aplicada à viga. As forças atuantes na viga deverão sempre ser 
decompostas em suas componentes horizontais e verticais para que possamos aplicar as equações de 
equilíbrio da estática (equações 5.1). Por simplificação podemos desenhar diretamente na figura 
dada no problema as componentes das reações de apoio e cargas em vez de desenhar separadamente 
o diagrama de corpo livre, desde que não haja comprometimento de sua clareza. 
 Os sentidos corretos das componentes das reações nem sempre são óbvios. Não devemos, 
entretanto, preocuparmos com isto. Arbitramos previamente seus sentidos e se o resultado dado 
pelas equações de equilíbrio for negativo isto indicará que o sentido correto é o contrário do 
arbitrado no início. 
 44 
 Outra atitude importante nesta fase inicial do exercício é fazermos a homogeneização das 
unidades. Se adotarmos a mesma unidade para todas as forças do exercício e a mesma unidade para 
todas as medidas de comprimento, etc., então poderemos colocar as grandezas, sem suas unidades, 
nas equações, simplificando-as. Por exemplo, se adotarmos para todas as força dadas no exercício a 
unidade kN e todas as medidas de comprimento a unidade m, então as forças calculadas serão em kN 
e os momentos em kN.m . 
 Agora podemos escrever as equações de equilíbrio da estática, mas, lembrando sempre de, 
no início de cada equação, mostrarmos a convenção de sinal que adotamos. Não importa a 
convenção adotada desde que a respeitemos para toda equação. 
 

 
 0xF
 
0cos.  PAx
 (1) 

 0yF
 
0.  senPBA yy
 (2) 
 
 Para a equação de equilíbrio dos momentos devemos convencionar o sentido positivo de 
rotação e também o ponto em relação ao qual tomaremos os momentos das forças. O ponto de 
referência dos momentos poderá ser qualquer um no plano da figura, porém, é interessante escolher 
um dos pontos onde atuam as reações de apoio, pois, desta forma, estaremos anulando os momentos 
correspondentes destas reações, simplificando as equações. Neste exercício escolhemos o ponto A. 
 
(
 
 0AM
 
0)..(  asenPlBy 
 (3) 
 
Pela equação (3) obtemos 
l
asenP
By
).( 

 
 
Substituindo este valor de 
yB
na equação (2) determinamos a reação 
yA
 
 
l
asenP
senPAy
).(
.
 
 donde 





 

l
al
senPAy )( 
 
 
 Pela equação (1) obtemos 
cos.PAx 
 
 
 
2) Determinar as reações de apoio da viga engastada abaixo

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