RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

esquerda da viga sobre a parte direita. 
Logicamente se considerarmos agora a parte direita da viga, a soma das forças que estão à direita à 
seção transversal e a soma dos momentos destas forças em relação ao centro de gravidade da seção 
transversal, resultarão nas mesmas grandezas V e M que determinamos para a parte esquerda, porém 
de sentidos contrários (Figura 35). Isto acontece porque o sistema está em equilíbrio. 
 
Figura 35 
 
 
 
 
5.16 Convenção de sinais 
Considerando-se a parte da esquerda da viga, em relação à seção transversal considerada, 
convenciona-se como positivo o momento fletor no sentido horário (Figura 36-a) e a força cortante 
para cima.( Figura 36-b) 
Considerando-se a parte da direita da viga convenciona-se como positivo o momento fletor 
no sentido anti-horário (Figura 36-a) e a força cortante para baixo. (Figura 36-b) 
A Figura 37 mostra as situações de momentos fletores negativos e forças cortantes 
negativas. 
 
Figura 36 
 
 
 52 
 
Figura 37 
 
 
Em outras palavras: São positivos os momentos fletores que flexionam a viga com a 
concavidade para cima. São positivas as forças cortantes que levantam o lado esquerdo da viga e 
abaixam o lado direito da viga (Figura 38). 
 
Figura 38 
 
5.17 Diagramas de momentos fletores e forças cortantes 
As grandezas de M e V em qualquer seção transversal é que definirão as tensões que atuam 
naquela seção. Com o fim de simplificar o estudo das tensões numa viga, é conveniente usar uma 
representação gráfica da variação do momento fletor e da força cortante ao longo da viga. Nessa 
representação as abscissas indicam a posição da seção transversal e as ordenadas os valores, 
respectivamente, do momento fletor e da força cortante que atuam nesta seção transversal. Os 
valores positivos são marcados acima do eixo horizontal e os negativos abaixo. Estas representações 
gráficas são chamadas de diagrama de momentos fletores e diagrama de forças cortantes, 
respectivamente. 
 
5.17.1 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas concentradas. 
Exemplo: seja uma viga simplesmente apoiada com uma só carga concentrada P (Figura 
39.a). As reações de apoio são: 
 
l
bP
R
.
1 
 e 
l
aP
R
.
2 
 
Tomando uma seção transversal com abscissa x, à esquerda de P, isto é, 
ax 0
, podemos 
concluir que nesta seção 
 
l
bP
V
.

 e 
x
l
bP
M
.

 (a) 
Pela convenção de sinais a força cortante e o momento fletor são positivos. 
Vê-se que a força cortante permanece constante do ponto A até o ponto de aplicação da 
carga P. O momento fletor varia proporcionalmente a x. Para 
0x
, 
0M
 e para 
ax 
, 
l
abP
M
..

. 
 53 
As partes correspondentes dos diagramas das forças cortantes e dos momentos fletores estão 
indicadas nas Figura 39.b e Figura 39.c, respectivamente, pelas retas 
ac
e 
11ca
. 
 
Figura 39 
 
Para a seção transversal à direita da carga ( 
lxa 
), obteremos: 
l
aP
P
l
bP
V
..

 e 
)(
.
axPx
l
bP
M 
 (b) 
 
A força cortante para esta parte da viga permanece constante e negativa. Na Figura 39.b esta 
força é representada pela linha 
bc '
, paralela ao eixo x. 
O momento fletor é uma função linear de x, o qual para 
ax 
, 
l
abP
M
..

 e para 
lx 
, 
0M
. È sempre positivo e sua variação, ao longo da parte direita da viga, é representada pela reta 
11bc
 na Figura 39.c. A Figura 39.b mostra o diagrama das forças cortante e a Figura 39.c o diagrama 
dos momentos fletores para a viga dada. 
No caso das equações (b) elas foram deduzidas considerando a parte esquerda da viga, parte 
esta que sofre a ação de duas forças 
1R
 e 
P
. Teria sido mais simples neste caso considerar a parte 
direita da viga, onde só atua a reação 
l
aP.
. Seguindo esta orientação e adotando a convenção de 
sinais, obteremos: 
 
l
ap
V
.

 e 
)(
.
xl
l
aP
M 
 (c) 
 
As equações (b) podem tomar também esta forma se observarmos que 
bla 
. 
 
 
- Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 para 
diagramas de momento fletor e força cortante de cargas concentradas: 
 Exemplo 7.1 (pág. 713). Problema resolvido 7.1 (pág. 716). 
 Problemas (pág. 721): 7.2, 7.3, 7.6, 7.8, 7.12 a 7.16, 7.19 a 7.21, 7.23 e 7.26 
 54 
5.17.2 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas distribuidas. 
 Seja uma viga simples suportando uma carga uniformemente distribuída conforme a Figura 
40.a. As reações de apoio são: 
 
2
.
21
lq
RR 
 
 
Figura 40 
 
Para uma seção transversal distante x do apoio esquerdo a equação da força cortante é: 
 






 x
l
qxq
lq
V
2
.
2
.
 
Para 
0x
, 
2
.lq
V 
 e para 
lx 
, 
2
.lq
V 
 
Então o diagrama de forças cortantes é o mostrado na Figura 40.b. 
Para a mesma seção transversal a equação dos momentos fletores é: 
 xl
xqx
xqx
lq
M 
2
.
2
..
2
.
 
Então o a curva que representa o momento fletor (Figura 40.c) é uma curva parabólica com 
seu eixo vertical no meio da viga. Os momentos fletores nas extremidades da viga são nulos e o 
momento fletor máximo ocorre no meio do vão e seu valor é: 
 
8
. 2
max
lq
M 
 
Observe que no ponto da viga onde ocorre o momento máximo a força cortante se anula. 
 
Se a carga uniforme q está aplicada somente numa parte da viga Figura 41.a), devemos 
considerar três partes da viga de comprimentos a, b e c. 
Primeiro determinamos as reações de apoio 
1R
 e 
2R
: 
 







2
.
1
b
c
l
bq
R
 e 







2
.
2
b
a
l
bq
R
 
 
Equações da força cortante o momento fletor para 
ax 0
 
 
1RV 
 e 
xRM .1
 
Equações da força cortante o momento fletor para 
baxa 
 
 55 
 
 axqRV  .1
 e 
 
2
...1
ax
axqxRM


 
 
Figura 41 
 
Equações da força cortante o momento fletor para 
lxba 
, 
 
bqRV .1 
 e 
)]2(.[..1 baxbqxRM 
 
 
Os diagramas de força cortante e momento fletor estão mostrados na Figura 41.b e Figura 
41.c. 
No trecho b da viga a curva do momento fletor é uma parábola. Nos pontos 
2c
e 
2d
a 
parábola é tangente às linhas inclinadas 
22ca
 e 
22db
. Observe que o momento máximo ocorre no 
ponto 
2e
 que corresponde à força cortante nula. 
No caso de uma viga em balanço que suporta uma carga uniforme, Figura 42.a, força 
cortante e o momento fletor à distância x da extremidade esquerda são: 
 
qxV 
 e 
2
.
2
..
2xqx
xqM 
 
A Figura 42.b e Figura 42.c mostram os diagramas da força cortante e do momento fletor. A 
curva do momento fletor é um parábola que tem um eixo vertical e é tangente ao eixo horizontal na 
extremidade esquerda onde a força cortante se anula. O máximo momento numérico do momento 
fletor e da força cortante ocorre no engastamento. 
 56 
 
Figura 42 
 
 
Figura 43 
 
5.18 Superposição de efeitos 
Se numa viga atuarem simultaneamente cargas concentradas e cargas distribuídas é 
vantajoso desenhar os diagramas separadamente para cada tipo de carregamento e obter