RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

os valores 
totais de V ou M, em qualquer seção transversal, somando as ordenadas correspondentes dos dois 
diagramas parciais. 
 
 57 
Exemplo: Utilizando o diagrama de momentos fletores determinar o momento fletor 
máximo que atua na viga mostrada na Figura 43.a. 
 
Solução: 
Vamos considerar primeiro a viga carregada somente com as cargas concentradas P (Figura 
43.b) e construir o seu diagrama de momentos fletores (Figura 43.c) 
Em seguida consideramos a viga carregada somente com a carga uniformemente distribuída 
q (Figura 43.d) e construímos seu diagrama de momentos fletores (Figura 43.e). Pelos dois 
diagramas vemos que o momento total máximo é obtido pela soma dos momentos de cada diagrama 
parcial no ponto central da viga, isto é: 
8
.
2
max
ql
aPM 
 
 
5.19 Forças normais (N) 
 Além do momento fletor e da força cortante as seções transversais de uma viga poderão 
estar sujeitas, também, a forças normais que serão simbolizadas por N (ver Capítulo 2). 
 A força normal existirá sempre que a viga for carregada por forças que tem a direção do seu 
eixo ou forças que possuem componentes nesta direção. 
 
5.19.1 Convenção de sinais 
 A convenção de sinais para forças normais está mostrada na Figura 44 
 
Figura 44 
 
5.19.2 Equação das forças normais e diagramas 
 As equações das forças normais são desenvolvidas de forma similar ao que foi feito para as 
forças cortantes, isto é, considerando uma seção transversal na posição x devemos lançar na 
equação de N todas as forças horizontais à esquerda (ou à direita) desta seção e colocando seu sinal 
conforme a convenção mostrada na Figura 44. 
 Da mesma forma construímos os diagramas de N colocando no eixo das abscissas a posição 
x da seção transversal e no eixo das ordenadas o valor da força normal que atua nesta seção. 
 O exemplo numérico a seguir é mais elucidativo. 
 
 Exercício resolvido 
Para a viga mostrada na Figura 45.a determinar as equações e os diagramas das forças 
normais (N), forças cortantes (V) e momentos fletores (M). 
 
 Solução 
 a) Decompomos a carga de 9kN nas suas componentes horizontal e vertical. 
 
kNF x 4,735cos.9 
 
 
kNsenF y 2,535.9 
 
b) Construímos o diagrama de corpo-livre conforme a Figura 45.b 
a) Calculamos as reações de apoio 
 58 
kNAx 4,7
 
kNAy 2,2
 
kNCy 0,3
 
 
Figura 45 
 
b) Equações de N, V e M 
- Trecho AB: 
40  x
 
 
4,7 NAN x
 
 
2,2 VAV y
 
 
xMxAM y .2,2. 
 
 - Trecho BC: 
74  x
 
 
04,7  NAN x
 
 
32,5  VAV y
 
 
8,20.3)4.(2,5.  xMxxAM y
 
c) Os diagramas respectivos estão mostrados nas Figura 46. a, b, c. 
 
Figura 46 
 59 
5.20 Exercícios resolvidos 
 
 60 
 
 
 
 61 
 
 
 
 
 
 62 
 
 
 
 
 
 63 
 
 
 64 
 
 
 
 65 
 
 
 
 66 
 
 
 
 
 67 
 
 
 
 68 
 
 
 69 
 
 
 
 
 
 70 
 
 
 
 
 71 
 
 72 
5.21 Exercícios 
 
1) Dada a viga mostrada na figura, pede-se determinar: 
a) as reações de apoio 
b) o momento fletor nas seções cujas distâncias em relação ao ponto A são 
mx 3
, 
mx 7
 e 
mx 9
, respectivamente. 
 
2) Determinar as reações de apoio e as equações da força cortante e do momento fletor nos 
trechos AB, BC e CD da viga simples com balanço mostrada na figura. 
 
 
-Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 para 
diagramas de momento fletor e força cortante de cargas distribuídas: 
 Exemplo 7.2 (pág. 715). Problema resolvido 7.2 (pág. 719). 
 Problemas (pág. 721): 7.1, 7.4, 7.5, 7.7, 7.10, 7.11, 7.17, 7.18, 7.22 e 7.25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73 
5.22 Relação entre momento fletor e força cortante 
Seja uma viga isostática qualquer sujeita a vários tipos de cargas. Vamos considerar um 
elemento infinitesimal da viga, de comprimento dx, nas seguintes situações: 
 
a) No elemento dx não existe força externa. 
Na seção esquerda do elemento infinitesimal suponhamos que atuam o momento fletor M e a 
força cortante V, então na seção direita atuarão a força cortante V de sentido contrário e o momento 
também de sentido contrário M+dM, como mostrado na figura seguinte: 
 
Considerando o equilíbrio do elemento infinitesimal, vamos escrever a equação de equilíbrio 
dos momentos em relação ao ponto C, centróide da seção transversal direita, isto é, 
  dxVdMdMMdxVMC .0)(.(
 
Logo, 
V
dx
dM

 
Conclusão: “Nos trechos da viga onde não há forças externas a derivada do momento fletor 
em relação a x é igual à força cortante”. 
 
b) No elemento dx existe uma carga distribuída q. 
Na seção esquerda do elemento infinitesimal suponhamos, como anteriormente, que atuam o 
momento fletor M e a força cortante V, então na seção direita atuarão a força cortante V+dV de 
sentido contrário e o momento também de sentido contrário M+dM, como mostrado na figura 
seguinte: 
 
 Vamos escrever a equação de equilíbrio das forças verticais que atuam no elemento 
infinitesimal, isto é, 
dxqdVdVVdxqVFy .0)(.  
 
Logo, 
q
dx
dV

 
Conclusão: “Nos trechos da viga onde existe carga distribuída a derivada da força cortante 
em relação a x é igual à intensidade da carga distribuída com sinal negativo”. 
Vamos agora escrever a equação de equilíbrio dos momentos em relação ao ponto C 
centróide da seção transversal direita, isto é, 
2)(
2
.0)(
2
...( dx
q
dxVdMdMM
dx
dxqdxVMC 
 
mas 
2)(dx
 pode ser considerado igual a zero, pois, trata-se de um infinitésimo de ordem superior 
 74 
Logo, 
V
dx
dM

 
Conclusão: “Nos trechos da viga onde existe carga distribuída a derivada do momento fletor 
em relação a x é igual à força cortante”. 
 
c) No elemento dx existe uma carga concentrada P. 
Na seção esquerda do elemento infinitesimal suponhamos que atuam o momento fletor M e a 
força cortante V, então na seção direita atuarão a força cortante 
1V
de sentido contrário e o momento 
também de sentido contrário M+dM, como mostrado na figura seguinte: 
 
Vamos escrever a equação de equilíbrio das forças verticais que atuam no elemento 
infinitesimal, isto é, 
PVVVPVFy   11 0
 
Conclusão: “Nos trechos da viga onde existe uma carga concentrada P a força cortante varia 
de uma intensidade –P quando passamos pelo ponto de sua aplicação (a curva do diagrama da força 
cortante sofre uma descontinuidade)”. 
Considerando o equilíbrio do elemento infinitesimal, vamos escrever a equação de equilíbrio 
dos momentos em relação ao ponto C, centróide da seção transversal direita, isto é, 
dx
P
VdMdMM
dx
PdxVMP .
2
0)(
2
..(  






 
Logo, 
2
P
V
dx
dM

 
Conclusão: “Nos trechos da viga onde existe uma carga concentrada P a derivada do 
momento fletor em relação a x sofre uma mudança brusca, ou seja, a tangente à curva dos 
momentos fletores muda de inclinação ao passar pelo ponto de aplicação da carga”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 75 
5.23 Tensões normais na flexão 
(Estudar antes o Capítulo 6: Propriedades geométricas das figuras planas) 
Dissemos que quando se carrega uma viga aparecem esforços internos que podem ser 
momentos fletores e