RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
(MECÂNICA DOS SÓLIDOS I) 
 
Gilson Finotti 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jan/18 (R67) 
 
 
 
 2 
OBSERVAÇÕES INICIAIS 
1ª. Esta apostila é um mero resumo de aulas para auxiliar os alunos no estudo preliminar da 
disciplina. Foi baseada nos livros da Bibliografia abaixo, principalmente no livro de Beer e 
Johnston (Referência 1) cuja simbologia procuramos adotar, a fim de facilitar as consultas dos 
alunos. Seu objetivo é minimizar a necessidade de anotações em aulas de forma a manter, ao 
máximo, a atenção dos alunos nas exposições da matéria. 
 Tratando-se de um mero resumo, evidenciam-se as suas limitações, não eximindo, portanto, 
o aluno da necessidade do estudo dos livros indicados na Bibliografia abaixo os quais enfaticamente 
recomendamos. 
 Esclarecemos também que esta apostila não esgota todo programa da disciplina e, portanto, 
sua abrangência é limitada. Nossa intenção, no entanto, é principalmente fornecer um primeiro 
impulso para que o aluno possa decolar e ter condições para alçar vôos mais elevados. 
2ª. Para simplificar a apresentação das figuras optamos por mostrar os corpos (barras, vigas, 
etc.) em projeção, ou em corte, em vez de representá-los em perspectiva. Isto foi adotado sempre 
que as forças aplicadas ao corpo estão contidas no seu plano de simetria ou coincidente com seu 
eixo, e desde que não haja prejuízo de seu entendimento, como mostrado a seguir: 
 
3ª. Em todo desenvolvimento teórico ou prático desprezamos a influência dos pesos 
próprios dos corpos a menos, logicamente, quando mencionado o contrário. 
4ª. Optamos, às vezes, por simbolizar os vetores através de letras em negrito (F) e, às vezes, 
por uma letra sobreposta com uma seta 
 F
 . 
5ª. Informações sobre erros, correções, críticas ou qualquer contribuição para a melhoria e 
aprimoramento desta apostila serão sempre bem vindas e, desde já, agradeço. 
 
 Gilson Finotti 
 Engenheiro Mecânico pela Escola de Engenharia da UFMG 
 Mestre em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP 
 
 
Bibliografia 
1) BEER, Ferdinand P. /JOHNSTON JR, E. Russel– Resistência Dos Materiais – 3° Edição – São Paulo: Editora Makron 
Books, 1996, 1255 P. 
2) BEER, Ferdinand P./ JOHNSTON JR, E. Russel – Mecânica Vetorial Para Engenheiros – 5° Edição – São Paulo: 
Editora Makron Books, 1991, 793 P. 
3) TIMOSHENKO, S. P. / GERE. J. M. – Mecânica Dos Sólidos – Vol(s): 1 E 2 - Rio De Janeiro: Editora Ltc, 1994 
4) NASH, William A. – Resistência dos materiais – São Paulo: Editora McGraw-Hill, 1976, 384 p. 
5) HIBBELER, R. C. – Resistência dos materiais - 3° edição - Rio de Janeiro: Editora LTC, 2000, 701 p. 
6) GERE, James M. – Mecânica dos Materiais – São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 698 p. 
7) TIMOSHENKO, Stephen P. Resistência dos Materiais – Rio de Janeiro. Vol. 1, Editora LTC, 1976, 451p 
8) UGURAL, A. C. – Mecânica dos Materiais – Rio de Janeiro, Editora LTC, 2009, 638 p. 
 3 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 6 
2 TRAÇÃO E COMPRESSÃO ...................................................................................................... 7 
2.1 Tensão e deformação ............................................................................................................. 7 
2.2 Unidades das tensões e deformações ..................................................................................... 8 
2.3 Diagrama tensão-deformação ................................................................................................ 8 
2.4 Materiais dúcteis e frágeis ..................................................................................................... 9 
2.5 Ensaios tecnológicos de materiais ......................................................................................... 9 
2.6 Lei de Hooke ....................................................................................................................... 10 
2.7 Tensões admissíveis e coeficientes de segurança ................................................................ 10 
2.8 Dimensionamento das barras ............................................................................................... 11 
2.9 Exercícios ............................................................................................................................ 12 
2.10 Problemas estaticamente indeterminados ........................................................................ 14 
2.11 Exercícios ......................................................................................................................... 15 
2.12 Tensão Térmica. Influência da variação da temperatura ............................................... 17 
2.13 Equações das forças normais ........................................................................................... 18 
2.14 Diagrama das forças normais ........................................................................................... 19 
2.15 A influência do peso próprio da barra na tração ou compressão. .................................... 19 
2.16 Deformação provocada pelo peso próprio. ...................................................................... 20 
2.17 Superposição de efeitos .................................................................................................... 21 
2.18 Deformações transversais. Coeficiente de Poisson .......................................................... 23 
2.19 Exercícios ......................................................................................................................... 24 
3 CISALHAMENTO .................................................................................................................... 25 
3.1 Solicitações transversais. Tensão de cisalhamento. ............................................................. 25 
3.2 Deformação de cisalhamento ............................................................................................... 26 
3.3 Exercícios ............................................................................................................................ 27 
4 TORÇÃO ................................................................................................................................... 30 
4.1 Introdução ............................................................................................................................ 30 
4.2 Tensão de cisalhamento ....................................................................................................... 31 
4.3 Eixo circular vazado (tubo) ................................................................................................. 32 
4.4 Deformação de cisalhamento (

) ........................................................................................ 32 
4.5 Ângulo de torção (

)........................................................................................................... 32 
4.6 Exercícios ............................................................................................................................ 33 
4.7 Equações e diagramas do momento de torção ..................................................................... 34 
4.8 Exercícios ............................................................................................................................ 36 
4.9 Cálculo de eixo de transmissão*..........................................................................................37 
4.10 Exercícios ......................................................................................................................... 38 
 4 
5 FLEXÃO .................................................................................................................................... 39 
5.1 Vigas .................................................................................................................................... 39 
5.2 Tipos de apoios das vigas .................................................................................................... 39 
5.3 Tipos de carregamentos ....................................................................................................... 39 
5.4 Carga uniformemente distribuída ........................................................................................ 40 
5.5 Carga não uniformemente distribuída ................................................................................. 40 
5.6 Tipos de vigas ...................................................................................................................... 40 
5.7 Vigas isostáticas , vigas hiperestáticas e vigas hipostáticas ................................................ 41 
5.8 Grau de hiperestaticidade .................................................................................................... 42 
5.9 Reações de apoio ................................................................................................................. 43 
5.10 Apoio tipo cabo flexível e haste articulada ...................................................................... 46 
5.11 Exercício resolvido .......................................................................................................... 47 
5.12 A influência do peso próprio da viga na flexão. .............................................................. 47 
5.13 Exercícios: ........................................................................................................................ 48 
5.14 Esforços internos nas vigas .............................................................................................. 50 
5.15 Momento fletor e força cortante....................................................................................... 50 
5.16 Convenção de sinais ......................................................................................................... 51 
5.17 Diagramas de momentos fletores e forças cortantes ........................................................ 52 
5.17.1 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas concentradas. ............ 52 
5.17.2 Diagrama de momentos fletores e forças cortantes para cargas distribuidas. .............. 54 
5.18 Superposição de efeitos .................................................................................................... 56 
5.19 Forças normais (N) .......................................................................................................... 57 
5.19.1 Convenção de sinais ..................................................................................................... 57 
5.19.2 Equação das forças normais e diagramas ..................................................................... 57 
5.20 Exercícios resolvidos ....................................................................................................... 59 
5.21 Exercícios ......................................................................................................................... 72 
5.22 Relação entre momento fletor e força cortante ................................................................ 73 
5.23 Tensões normais na flexão ............................................................................................... 75 
5.24 Raio de curvatura ............................................................................................................. 77 
5.25 Exercícios ......................................................................................................................... 78 
6 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS ............................................. 79 
6.1 Momento estático (ou momento de primeira ordem) .......................................................... 79 
6.2 Centro de gravidade (ou centróide) ..................................................................................... 79 
6.3 Exercícios ............................................................................................................................ 80 
6.4 Determinação do centro de gravidade (centróide) de uma área .......................................... 81 
6.5 Exercícios ............................................................................................................................ 84 
6.6 Momento de inércia (ou momento de segunda ordem) ....................................................... 85 
6.7 Raio de giração .................................................................................................................... 86 
6.8 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 86 
 5 
6.9 Exercício .............................................................................................................................. 87 
6.10 Momento de inércia de uma área composta ..................................................................... 87 
6.11 Exercícios ......................................................................................................................... 88 
6.12 Tabela 1: Características Geométricas. Formulário 1 ...................................................... 90 
6.13 Tabela 2: Características Geométricas. Formulário 2 ...................................................... 91 
6.14 Tabela 3: Perfis I Padrão Americano (CSN) .................................................................... 91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
1 INTRODUÇÃO 
 
 No curso de Mecânica, na parte referente à Estática, estudamos o equilíbrio dos corpos 
rígidos. As forças então aplicadas ao corpo rígido são chamadas de forças externas, dentre as quais 
estão incluídas o peso próprio do corpo e suas reações de apoio. Neste estudo os corpos foram 
considerados teoricamente indeformáveis. 
 No nosso curso de Resistência dos Materiais, entretanto, estudaremos os corpos 
deformáveis, isto é, considerando seu comportamento real. Ao estudarmos as estruturas e suas 
partes levaremos em conta não somente as forças externas, mas também as forças internas. 
 A expressão corpo (e, às vezes, estrutura) é utilizada como termo genérico para estruturas, 
barras, vigas, componentes de máquinas etc. 
 Enquanto as forças externas são as forças causadas pela ação de outros corpos sobre o corpo 
estudado, as forças internas são as forças que mantém unidas as suas partes ou os pontos materiais 
(as partículas) que formam o corpo. 
 As forças e momentos atuantes numa estrutura e em suas partes podem provocar sobre elas 
vários efeitos tais como tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção e flambagem. A 
Resistência dos Materiais estuda estes efeitos com o objetivo de determinar as tensões e as 
deformações decorrentes e, consequentemente, desenvolver a teoria básica para o projeto e 
dimensionamento de estruturas e peças. É através do estudo das tensões e deformações que 
conseguimos projetar uma estrutura e suas partes de maneira confiável, segura e econômica. 
 As forças externas podem ser classificadas em forças de superfície e forças de corpo. As 
forças de superfície são forças distribuídas numa superfície do corpo pela ação de outros corpos. 
Elas podem ser consideradascomo forças concentradas num ponto caso a área de atuação for 
relativamente pequena. Também podem ser chamadas de forças lineares (ou cargas distribuídas 
lineares) se atuarem numa faixa relativamente estreita ao longo do corpo. A distribuição das forças 
de superfície pode ser uniforme ou variável. 
 As forças de corpo são causadas por campos de força (campo gravitacional, campo 
magnético, etc.) e assim atuam no corpo como um todo. Seu ponto de aplicação pode ser 
considerado no centroide do corpo. No caso do campo gravitacional a força de corpo é o peso do 
corpo. 
 Quanto à velocidade de aplicação, a força de superfície pode ser estática ou de impacto. É 
estática quando a aplicação da força é feita de modo lento e gradativo até atingir seu valor final. A 
força de impacto acontece quando a força é aplicada de forma instantânea. 
 Pode acontecer também casos onde a força é aplicada de forma alternada ou repetida. 
 A menos que seja mencionado o contrário, as forças de superfície aplicadas ao corpo, isto é, 
as cargas, serão sempre consideradas forças estáticas em todo o texto desta apostila. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
2 TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
2.1 Tensão e deformação 
 Consideremos uma barra prismática, ou cilíndrica de comprimento L presa de um lado, 
conforme mostra a Figura 1-a. Vamos então carregar esta barra com uma força axial P na outra 
extremidade conforme a Figura 1-b. 
 
Figura 1 
 
Força axial é uma força concentrada cuja direção coincide com o eixo da barra. No caso da 
Figura 1-b a força axial tem seu sentido para fora da barra tendendo a alongá-la. Neste caso dizemos 
que a força é de tração. Se a força tivesse o sentido contrário teríamos uma força de compressão. O 
eixo da barra é a reta que passa pelos centros de gravidade das suas seções transversais. Se a linha 
de ação da força aplicada não coincide com o eixo da barra, esta não estará sujeita somente a tração 
ou compressão, mas, existirá também flexão. 
Inicialmente o efeito do peso próprio da barra não será levado em conta. Posteriormente 
estudaremos sua influência. 
 Seção transversal normal (cuja área representaremos por A) ou simplesmente seção 
transversal da barra é qualquer seção obtida quando cortamos a barra com um plano normal ao seu 
eixo, como o plano n-n mostrado na Figura 1-b. 
 Em termos práticos podemos considerar que a ação da força axial P provoca em qualquer 
seção transversal da barra uma distribuição de forças uniforme cuja resultante tem a mesma 
intensidade da força axial aplicada. Por exemplo, na Figura 1-c isolamos a parte da barra que está 
abaixo da seção transversal n-n. A ação da parte superior da barra sobre esta parte inferior é uma 
força uniformemente distribuída na seção n-n cuja resultante tem o mesmo módulo de P, porém, de 
sentido contrário equilibrando esta parte que isolamos. 
 Tensão normal (representada por 

) é a força de tração (ou compressão) que atua por 
unidade de área da seção transversal da barra. Portanto é calculada por: 
 
A
P

 (2.1) 
 As tensões normais de tração terão sinal positivo e as tensões normais de compressão terão 
sinal negativo. 
 Deformação total (representada por 

) é a deformação produzida pela ação da força axial P 
(Figura 1-b). Sinais: alongamento sinal positivo e encurtamento sinal negativo 
 Deformação específica (representada por 

) é a deformação total relacionada com o 
comprimento inicial da barra ou a deformação por unidade de comprimento da barra, isto é, 
 
L

 
 (2.2) 
 8 
2.2 Unidades das tensões e deformações 
No Sistema Internacional a unidade da tensão normal é o pascal, o qual é representado por 
Pa que corresponde a 
2mN
 Seus múltiplos são: 
PakPa 3101 
 
PaMPa 6101 
 
PaGPa 9101 
 
Nas aplicações práticas de engenharia é muito comum usar-se o Sistema Técnico, ou seja a força em 
quilograma força (kgf ou simplesmente kg) e a área em 
2cm
. Portanto a tensão será dada em 
2/ cmkgf
. 
Em unidades inglesas, a força P é expressa em libras (
lb
) e a área expressa em polegadas quadradas 
(
2in
) e a tensão será expressa em libras por polegada quadrada (psi). 
 Para a deformação total 

 sua unidade é a unidade de comprimento. No SI é, portanto, 
dada em metros (m), já a deformação específica, logicamente, não possui unidade. 
 
 Exemplo: 
Uma barra cuja seção transversal tem 30mm de diâmetro é tracionada por uma força axial 
de 180kN. Pede-se determinar a tensão normal na barra. 
 
Solução 
26
26
2
2
22
10.707
10
707
4
)30.(
4
.
m
mm
m
mm
mmd
A 
 
A força sendo de tração teremos tensão de tração que é positiva, então 
MPaPa
m
N
A
P
25510.255
10.707
10.180 6
26
3


 
 
O valor de 

 acima obtido deve ser comparado com o máximo valor de tensão à tração que 
pode ser aplicado com segurança à barra, a chamada tensão admissível, representada normalmente 
por 
adm
. Desta comparação podemos verificar se a barra pode ser usada para suportar a carga de 
180kN. Através de tabelas de propriedades de materiais, e Normas Técnicas, se a tensão admissível 
é 
MPaadm 140
, concluímos que a barra feita com aquele material não pode ser usada com 
segurança. Devemos, portanto, mudar o material ou aumentar seu diâmetro de modo a não 
ultrapassar a tensão admissível. Desta forma o cálculo da tensão atuante numa peça serve para 
dimensionarmos a peça. 
 
2.3 Diagrama tensão-deformação 
Variando a carga P aplicada nas extremidades de uma barra de um determinado material, 
podemos construir um gráfico onde lançamos no eixo das abscissas os valores da deformação 
específica 

 e no eixo das ordenadas a tensão normal 

 e obteremos o diagrama tensão-
deformação . A Figura 2 mostra um diagrama tensão-deformação característico do aço de 
construção. Esta curva apresenta alguns pontos importantes (P, Y, U e R) que descrevemos a seguir. 
Limite de proporcionalidade ou tensão de proporcionalidade (
P
) 
È o valor máximo da tensão acima da qual deixa de existir a relação linear entre tensão e 
deformação (ponto P). 
Limite de elasticidade 
Existe um ponto logo acima de P (não mostrado) que é chamado de limite de elasticidade a 
partir do qual a barra deixa o regime elástico e atinge o regime plástico. O regime elástico é aquele 
no qual a barra ao ser aliviada da carga ela retorna ao seu comprimento inicial. Já no regime 
plástico a barra sofre deformação permanente não retornando ao seu comprimento inicial. 
Limite de escoamento ou tensão de escoamento (
Y
) 
 9 
È o valor da tensão acima do qual a deformação aumenta sem praticamente aumentar o valor 
da tensão. Neste ponto diz-se que o material começa a escoar (ponto Y), isto é, mesmo sem 
aumento da tensão, o material continua a se deformar até um determinado ponto. 
 
Figura 2 
 
Limite de resistência ou tensão última (
U
) 
É a maior tensão atingida no ensaio (ponto U). Depois do escoamento o material volta a 
oferecer resistência e, então, para que haja deformação é necessário aumentar a tensão até um ponto 
máximo (U) a partir do qual a resistência do material vai diminuindo até se romper. 
Limite de ruptura ou tensão de ruptura (
R
) 
É a tensão onde ocorre a ruptura do corpo (ponto R). 
 
2.4 Materiais dúcteis e frágeis 
 Materiais dúcteis são os que apresentam grandes deformações antes de romperem-se. Exemplo: aço 
recozido, alumínio 
 Materiais frágeis são os que apresentam pequenas deformações antes de romperem-se.Exemplo: 
ferro fundido, concreto, aço temperado. 
 A Figura 3 mostra os gráficos do aço recozido (dúctil), temperado (frágil) e temperado e revenido 
que se situa entre os dois quanto à sua fragilidade ou ductibilidade. 
 
Figura 3 
 
2.5 Ensaios tecnológicos de materiais 
Os dados para a execução do diagrama tensão-deformação são obtidos utilizando-se 
máquinas de ensaio de tração ou de compressão. Para o ensaio de tração, um corpo de prova do 
 10 
material a ser estudado, é colocado entre as garras da máquina de ensaio. As máquinas mais 
modernas possuem extensômetros para medir alongamentos e células de carga que medem a força 
aplicada. Através de uma central de processamento acoplada à máquina as medições são 
processadas na forma de tensões e deformações específicas, reproduzindo o diagrama num monitor. 
2.6 Lei de Hooke 
Vemos que a curva do diagrama tensão-deformação é uma reta que vai de seu início até o 
ponto que define o limite de proporcionalidade (ponto P da Figura 2). Esta relação linear entre a 
tensão 

e a deformação específica 

 é conhecida como Lei de Hooke e pode ser escrita assim: 
 
 .E
 (2.3) 
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade. Isto é, a relação entre a tensão e a 
deformação é igual a uma constante (E) chamada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. 
Sua unidade é igual à de tensão: Kgf/cm2, N/mm2, Pa =N/m2, etc. 
O módulo de elasticidade é a medida da rigidez de um material. Ou seja, quanto maior o 
módulo de elasticidade de um material menor a deformação que ele sofre sob uma mesma tensão. 
O módulo de elasticidade do aço doce é E=207GPa e o do alumínio E=69GPa. Portanto para uma 
mesma tensão o alumínio deforma-se elasticamente três vezes mais que o aço. 
Considerando a barra da Figura 1.b de comprimento L, área da seção transversal A, e sujeita 
à carga axial P e ainda supondo que a tensão 
AP
 é menor que a tensão de proporcionalidade, 
podemos aplicar a Lei de Hooke e desenvolver a equação para calcular a deformação total 

. 
Substituindo na equação da Lei de Hooke (2.3) o valor de 

 da equação (2.1) e de 

 da 
equação (2.2), temos 
 
L
E
A
P .

 
 Ou seja 
 
EA
LP
.
.

 (2.4) 
Exercício: 
Determinar a deformação total e específica de uma barra de aço (E=200GPa) de 4m de 
comprimento e 15mm de diâmetro submetida a uma carga de tração de 20kN. 
Respostas: 
mm26,2
 e 
410.66,5 
 
 
2.7 Tensões admissíveis e coeficientes de segurança 
 Vimos pelo diagrama de tensão-deformação que existe um limite de resistência ou uma 
tensão de escoamento conforme o material. Conhecendo-se estes limites pode-se estabelecer uma 
tensão segura para o trabalho da estrutura. Esta tensão é chamada de tensão admissível (
adm
) e é 
obtida dividindo-se a tensão última ou a tensão de escoamento por um coeficiente de segurança 
(CS). 
 Ou seja, 
 
CS
U
adm

 
 ou 
CS
Y
adm

 
 (2.5) 
 Quando o material não apresenta uma tensão de escoamento bem definida, como é o caso 
dos materiais frágeis, utilizamos a equação com a tensão última 
U
. Mas nos casos de materiais 
dúcteis cuja tensão de escoamento 
Y
 é bem definida usamos então a segunda equação. 
A escolha do CS adequado para as diferentes aplicações práticas depende de vários fatores 
como: 
-Heterogeneidade do material 
-Número de vezes que a carga é aplicada durante a vida da peça. 
-Tipo de aplicação da carga: estática, dinâmica, cíclicas, instantânea, etc. 
 11 
-Deterioração por causas imprevisíveis,. 
-Responsabilidade da peça na estrutura. 
- Etc. 
Nos dimensionamentos e aplicações em estruturas e máquinas os CS ou as tensões 
admissíveis são especificados por Normas Técnicas de entidades credenciadas. 
As tensões admissíveis e CS, fornecidos nos exercícios desta apostila, são meramente 
fictícios e servem apenas para efeito de treinamento de como usá-los. 
 
 
2.8 Dimensionamento das barras 
 
 Vimos que as forças axiais de tração ou compressão produzem tensões normais nas seções 
transversais da barra que podem ser calculadas pela fórmula: 
 
A
P

 
 Sabendo-se qual é a tensão admissível do material da barra (
adm
) podemos pela fórmula 
acima calcular qual deverá ser a área mínima recomendável da seção transversal da barra, isto é, 
 
adm
P
A


 (2.6) 
 
 No caso de barras sujeitas a tração esta fórmula é suficiente para o dimensionamento da 
barra. Entretanto, no caso de compressão a solução não é tão simples porque, neste caso, estará 
sujeita, também, a um efeito adicional chamado de flambagem. Assim sendo, o dimensionamento 
de barras sob compressão deverá ser feito utilizando-se a teoria de Flambagem que não faz parte do 
escopo desta apostila. 
 Além da tensão admissível o dimensionamento de uma barra deve respeitar também os 
limites de deformação impostos pelas Normas Técnicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
 
2.9 Exercícios 
Obs.: desprezar os pesos próprios das peças em todos os exercícios, exceto quando mencionado o contrário. 
 
 
1) Uma determinada barra de uma treliça está sujeita a uma força de tração de 26kN. 
Pretendendo-se usar barra redonda (cilíndrica), pede-se determinar qual deve ser o seu diâmetro 
mais econômico recomendável, sabendo-se que comercialmente encontram-se barras com diâmetros 
10mm, 15mm, 20mm, 25mm, etc. Supor que tensão admissível seja 140MPa. 
 Resposta: 20mm. 
 
 
2) A estrutura mostrada na figura suporta a carga de 60kN no ponto A. Pede-se determinar: 
a) A tensão normal na barra AC sabendo-se que seu diâmetro é 30mm 
b) O diâmetro mais econômico para a barra AC, supondo-se uma tensão admissível 
de 165MPa. 
c) A tensão normal na barra AB sabendo-se que a área de sua seção transversal é 
220cm
 
 
 
Respostas: a) 
MPaAC 6,141
 b) 
mmd 8,27
 c) 
MPaAB 40
 
 
3) As barras 1 e 2 da figura estão soldadas entre si e presas ao teto em A. Devido à ação das 
forças atuantes pede-se determinar: 
 a) A tensão normal na barra 1 e na barra 2. 
 b) A deformação total e específica de cada barra sabendo-se que o módulo de elasticidade 
do material de ambas as barras é 210 GPa. 
 13 
 
 
Respostas: a) 
MPa7,351 
 e 
MPa5,422 
 
 b) 
m51 10.34

 e 
5
1 10.17

 
m52 10.61

 e 
5
2 10.20

 
 
 
4) As barras 1 e 2 de 30mm de diâmetro, mostrada na figura, estão soldadas entre si e 
presas ao teto em A. Devido à ação das forças atuantes pede-se determinar a tensão 
normal na barra 1 e na barra 2. 
 
 
Respostas: 
MPa5,421 
 
MPa8,702 
 
 
5) Resolver os problemas 2.2, 2.3, 2.6 e 2.14 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
 
 
 14 
2.10 Problemas estaticamente indeterminados 
 
Um sistema é estaticamente indeterminado quando não pode ser resolvido somente com as 
equações da estática. Neste caso devemos também lançar mão de equações da deformação. 
Geralmente estes problemas envolvem materiais que possuem módulos de elasticidade 
diferentes. Para a solução, primeiro escrevemos as equações de equilíbrio da estática e, em seguida, 
relacionando as equações das deformações de cada material obtemosmais uma equação. 
 
Exemplo 
Um bloco de peso P é suspenso por 3 tirantes igualmente espaçados conforme a Figura 4.O 
tirante 1, do centro, tem área da seção transversal 
1A
e módulo de elasticidade 
1E
. Os tirantes 
laterais 2 tem a área da seção transversal de valor 
2A
 e módulo de elasticidade 
2E
. Devido à 
simetria dos tirantes e à centralização do bloco o alongamento dos tirantes foi uniforme. Pede-se 
determinar as forças que atuam em cada tirante. 
 
Figura 4 
 
Solução 
Vamos chamar de
1P
 à força de tração no tirante 1 e 
2P
 às forças de tração nos tirantes 2. As 
forças de tração nos tirantes 2 são iguais porque suas àreas e módulos de elasticidade são iguais, e a 
carga está centralizada. 
Então podemos escrever a equação de equilíbrio 
PPP  21 .2
 (a) 
Mas temos duas incógnitas 
1P
 e 
2P
 e somente uma equação. 
Para achar a segunda equação vamos utilizar a deformação das peças. 
O alongamento total do tirante 1 é: 
11
1
1
.
.
EA
LP

 
E o alongamento total dos tirantes 2 é: 
 
22
2
2
.
.
EA
LP

 
Como estes alongamentos são iguais temos 
22
2
11
1
.. EA
P
EA
P

 (b) 
Temos agora as duas equações (a) e (b) que resolvidas nos fornece 
1P
 e 
2P
, 
2211
11
1
2 EAEA
PEA
P


 e 
2211
22
2
2 EAEA
PEA
P


 
 
 
 15 
 
 
2.11 Exercícios 
 
1) A figura mostra uma barra prismática de 80cm de comprimento engastada nas suas 
extremidades. Uma força axial de 
KNP 16
 é aplicada à distancia 
cmL 501 
 da extremidade 
esquerda. Determinar as reações 
1R
 e 
2R
 nos apoios. 
 
 
Respostas: 
kNR 61 
 
kNR 102 
 
 
 
 
2) Um bloco de 30kN é suportado por três tirantes de mesmo diâmetro. Sabendo-se que o 
tirante do meio é de aço cujo módulo de elasticidade é 210GPa e os outros dois são de alumínio 
cujo módulo de elasticidade é 70GPa, determinar as forças de tração em cada tirante. 
 
 
Respostas: 
kNFAÇO 18
 e 
kNFAL 6
 
 
 
 
3) Uma barra redonda e um tubo, de mesmo comprimento L, suportam uma carga P através 
de uma placa rígida, comprimida sobre ambos, conforme mostra a figura. Sabendo-se que a barra 
redonda tem área da seção transversal A1, e módulo de elasticidade E1; e o tubo tem seção 
transversal A2 e módulo de elasticidade E2, pede-se determinar as forças de reação que atuam na 
barra e no tubo. 
 16 
 
 Respostas: 
2211
11
1
EAEA
PEA
P


 e 
2211
22
2
EAEA
PEA
P


 
 
 
4) Resolver os problemas 2.34, 2.35, 2.38 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
2.12 Tensão Térmica. Influência da variação da temperatura 
A variação da temperatura sobre qualquer material provoca variação de suas dimensões e 
quando levamos em conta a variação da temperatura os esforços internos numa barra serão alterados 
dependendo dos vínculos desta barra. Por exemplo, se uma barra está fixada em uma extremidade e 
totalmente livre na outra extremidade um aumento na temperatura da barra provocará seu 
alongamento, mas, não alterará os esforços internos da barra. Entretanto se suas duas extremidades 
estiverem fixadas surgirão esforços internos adicionais e consequentemente aumento de sua tensão 
normal. Esta tensão adicional provocada pela variação da temperatura é a chamada tensão térmica. 
Portanto, numa barra rigidamente fixada (engastada) nas suas extremidades e isenta de tensões 
internas um aumento da temperatura provocará tensão normal de compressão e uma diminuição da 
temperatura provocará tensão normal de tração. Ambas as tensões são tensões térmicas. 
Para o cálculo da tensão térmica utilizamos a fórmula da dilatação térmica, isto é, 
 𝜕𝑇 =∝ ∆𝑇 𝐿 (2.7) 
 Onde 
 𝜕𝑇 é a variação total do comprimento da barra provocada pela variação da temperatura. 
𝛼 é o coeficiente de dilatação linear (Unidade no SI: 1/°C ou 1/°K). 
∆𝑇 é a variação da temperatura da barra. 
L é o comprimento inicial da barra. 
Se as extremidades da barra são fixas, através de engastamentos suficientemente resistentes, 
eles exercerão sobre a barra uma força axial impedindo a variação de comprimento da barra, 
consequentemente, utilizando a fórmula da deformação total (2.4) esta força axial de origem 
térmica é 
 𝑃𝑇 = −
𝜕𝑇 𝐴 𝐸
𝐿
= −𝛼 ∆𝑇 𝐴 𝐸 (2.8) 
O sinal é negativo, pois, quando a variação da temperatura for positiva a força térmica é de 
compressão e se a variação da temperatura for negativa a força térmica é de tração. 
 Assim sendo, a equação da tensão térmica é 
 𝜎𝑇 =
𝑃𝑇
𝐴
= −
𝜕𝑇 𝐸
𝐿
= −𝛼 ∆𝑇 𝐸 (2.9) 
 Exercício resolvido 
 Uma barra de 750mm de comprimento com seção transversal quadrada de 3cm de lado está 
presa em suas extremidades e à temperatura de 25°C está isenta de tensões. Quando a temperatura 
da barra atingir 45°C qual é o valor: (a) das reações nos apoios e (b) da tensão normal que atua na 
barra? Sabe-se que para o material da barra o módulo de elasticidade é 120GPa e o coeficiente de 
dilatação linear é 16,7.10
-6
/°C. Desprezar o efeito de flambagem. 
 Solução: 
 Dados: L = 750mm = 0,75m 
 a = 3cm = 3.10
-2
m 
 T1 = 25°C e T2 = 45°C 
 E = 120GPa = 120.10
9
Pa 
 ∝ = 16,7. 10−6/°𝐶 
 Cálculos: ∆𝑇 = 45°𝐶 − 25°𝐶 = 20°𝐶 
 𝐴 = (3. 10−2)2 = 9. 10−4𝑚2 
(a) 𝑃𝑇 = 16,7. 10
−6. 20.9. 10−4. 120. 109 = 36,072. 103𝑁 
(b) 𝜎𝑇 = −
36,072.103
9.10−4
= −4. 107𝑃𝑎 (Compressão) 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
2.13 Equações das forças normais 
 Já vimos que as forças axiais que atuam numa barra provocam forças internas nas suas 
seções transversais. Estas forças internas, que são normais (“perpendiculares”) às seções 
transversais são chamadas de forças normais. 
 Suponhamos uma barra AD, sujeita a várias forças axiais ao longo de seu comprimento, 
conforme a Figura 5. Se estabelecermos que a extremidade esquerda (A) da barra é a origem O, do 
eixo das abscissas x, podemos escrever as equações que nos fornecem as forças normais N em 
qualquer seção transversal à distância x da origem. Estas equações são as equações das forças 
normais da barra. 
 
 
Figura 5 
Entretanto, para escrevermos estas equações precisamos primeiro estabelecer uma 
convenção de sinais dos sentidos das forças. Vamos então estabelecer que se a origem O dos eixos 
de coordenadas está na extremidade esquerda da barra, então todas as forças cujos sentidos são para 
a esquerda são positivas. Logo, se a força tiver sentido para a direita, será negativa. Veja a Figura 6. 
 
Figura 6 
Se, porém, adotarmos como origem O do eixo das abscissas, a extremidade direita da barra, 
deveremos inverter os sinais acima. 
Exemplo: Para a barra mostrada na Figura 5 teremos três equações das forças normais, 
sendo uma para cada trecho: AB, BC e CD. 
Para escrever a equação da força normal N devemos primeiro colocar : 
N
 . Na frente do 
sinal de igualdade lançamos os valores de todas as forças (com seu respectivo sinal convencionado) 
que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x). Temos então: 
Trecho AB: 
ax 0
 
1FN 
 
Trecho BC: 
)( baxa 
 
21 FFN 
 
Trecho CD: 
)()( cbaxba 
 
321 FFFN 19 
 
 
 
2.14 Diagrama das forças normais 
O diagrama das forças normais é feito lançando no eixo das abscissas a distância x da seção 
transversal considerada, e no eixo das ordenadas o valor da força normal N que atua naquela seção. 
 
Exemplo numérico: 
Dada a barra mostrada na figura (a) abaixo determinar as equações das forças normais e 
desenhar os seu diagrama. 
 
 Solução 
 - Equações das forças normais 
 Trecho AB: 
30  x
 
200N
 
Trecho BC: 
5,53  x
 
700900200 N
 
Trecho CD: 
5,65,5  x
 
300400900200 N
 
 
 - Diagrama das forças normais N está mostrado na fig. (b). 
 Pelo diagrama podemos ver que o trecho AB está sujeito a uma tração de 200N, o trecho BC 
está sujeito a uma compressão de 700N e o trecho CD está sujeito a uma compressão de 300N. 
 
 Através do diagrama de forças normais podemos verificar quais são as seções transversais 
mais solicitadas e, assim, podemos dimensionar a barra levando em conta os esforços mais críticos. 
 
 
2.15 A influência do peso próprio da barra na tração ou compressão. 
 
 Até agora não levamos em conta a existência do peso próprio da barra. Realmente, em 
muitas aplicações, a influência do peso próprio da barra é tão pequena, em relação às forças 
aplicadas, que pode ser desprezada. Porém, existem situações nas quais esta influência é 
considerável e, portanto, não deve ser desprezada. Vamos, pois, estudar a influência do peso próprio 
no cálculo das tensões e deformações. 
 20 
 Quando a barra está em posição vertical, como na Figura 7, a força produzida pelo peso 
próprio da barra é na direção de seu eixo e, portanto, produz força normal e tensão normal nas 
seções transversais. Porém se a barra está posicionada horizontalmente a ação do peso próprio são 
forças transversais à barra e, portanto, não produzem diretamente forças normais ou tensões 
normais. Nesta situação o peso próprio produzirá flexão cujo estudo veremos mais adiante. 
 Seja uma barra AB de comprimento L, seção transversal com área A, peso específico 

, 
presa na extremidade superior A, conforme a Figura 7. 
 
Figura 7 
Vamos colocar o sistema de eixos de coordenadas conforme mostrado. 
 A força normal que atua na seção transversal nn é provocada pelo peso da barra que está 
abaixo da seção transversal, portanto, 
 
..yAN 
 (2.10) 
 A tensão normal que atua na seção nn é calculada por 
 
 ... y
A
yA

 (2.11) 
 A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para 
Ly 
 e seus 
valores são 
 
 ...max VLAN 
 (1.12) 
 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑉.𝛾
𝐴
= 𝐿. 𝛾 (2.13) 
 Sendo V o volume total da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16 Deformação provocada pelo peso próprio. 
 21 
 Vamos considerar um elemento da barra de comprimento 
dy
à distância y do eixo x 
conforme mostra a Figura 8. 
 A força normal que atua na seção transversal inferior do elemento dy é 
 
..yAN 
 
 
 
Figura 8 
 
O alongamento provocado no elemento dy é 
 
AE
dyyA
AE
dyN
d
.
...
.
.
)(
 
 
 Então o alongamento total da barra será 
 
AE
LAy
AE
A
dyy
AE
A
L
L
..2
..
2.
.
.
.
. 2
0
2
0
 





 
 (2.14) 
 Mas o peso da barra é 
 
LAW ..
 
 Que substituindo na equação anterior chegamos a 
 
AE
LW
..2
.

 (2.15) 
 
2.17 Superposição de efeitos 
 No regime elástico, quando uma barra qualquer está sujeita ao seu peso próprio e mais uma 
série de forças axiais podemos calcular a força normal, ou a tensão normal, ou a deformação total 
provocados pelo conjunto desta forças, somando algebricamente os efeitos individuais de cada uma 
destas forças. 
 Portanto se na barra AB (ver Figura 9), cujo peso próprio não é desprezível, existe uma força 
axial P aplicada na extremidade B da barra, a força normal total numa seção transversal qualquer é 
calculada por: 
 
..yAPN 
 (2.16) 
 A tensão normal nesta seção é calculada por: 
 22 
 
 .y
A
P

 (2.17) 
A força normal máxima e, portanto, a tensão normal máxima ocorre para 
Ly 
 e seus 
valores são 
 
 ...max VPLAPN 
 (2.18) 
 
 ..max L
A
P
A
VP



 (2.19) 
 Sendo V o volume total da barra. 
 
Figura 9 
 
 A deformação total da barra também pode ser calculada somando os efeitos do peso próprio 
da barra e da força axial P, isto é, 
 
AE
L
P
W
AE
LP
AE
LW
.2.
.
..2
.







 (2.20) 
 
 Exercícios 
 1) Uma barra de aço de 12mm de diâmetro e 90m de comprimento, em posição vertical, é 
presa na extremidade superior e na extremidade inferior suporta uma carga 2kN. Pede-se determinar 
as máximas força normal e a tensão normal na barra, bem como o seu alongamento total sem 
desprezar o seu peso próprio. O peso específico do aço é 
378 mkN
e seu módulo de elasticidade é 
210GPa. 
 Respostas: 2793N, 24,7.10
6
 Pa, 9,08mm 
 
2) Determinar o comprimento máximo que pode ter um fio suspenso verticalmente supondo-
se que sua tensão admissível seja 120MPa e o peso especifico 
378 mkN
. 
Resposta: 1538m 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
2.18 Deformações transversais. Coeficiente de Poisson 
 
Uma força axial de tração provoca um alongamento da barra, mas, também provoca um 
encurtamento nas direções perpendiculares ela. 
Suponhamos a barra mostrada na Figura 10 e que seu eixo longitudinal coincide como o 
eixo dos x do sistema de coordenadas x, y, z. 
Já vimos que para calcular a deformação específica segundo a direção da força axial é só 
dividir a deformação total produzida (que neste caso é um alongamento) pelo comprimento inicial 
da barra. Assim sendo, temos o que se chama de deformação específica longitudinal a qual vamos 
representar por 
x
pois tem a direção do eixo x. 
A deformação específica transversal segundo a direção do eixo y , que chamaremos de 
y
 é 
calculada dividindo-se a deformação total da peça nesta direção (que evidentemente é um 
encurtamento) por sua dimensão original. Similarmente obtemos a deformação específica na 
direção z, 
z
. 
O coeficiente do Poisson (

) é obtido relacionando-se a deformação específica transversal 
com a deformação específica longitudinal. 
Então o coeficiente de Poisson na direção do eixo y é 
 
x
y
y


 
 (2.21.a) 
e na direção do eixo z é 
x
z
z


 
 (2.21.b) 
 
Figura 10 
Obs.: O sinal negativo entra na fórmula do coeficiente de Poisson para tornar o resultado 
positivo, pois, temos alongamento (cujo sinal é positivo) na direção longitudinal e um encurtamento 
(sinal negativo) na direção transversal. 
Supondo que o material da barra seja homogêneo (possui as mesmas propriedades 
mecânicas em qualquer ponto) e que seja também isotrópico (possui as mesmas propriedades 
mecânicas em qualquer direção), então as deformações específicas nas direções transversais serão 
iguais, isto é, 
 
zy  
 e portanto 
zy  
 
 
ou 
x
z
x
y




 
 
 No caso de compressão longitudinal haverá expansão lateral e o coeficiente de Poisson é o 
mesmo da tração. 
 Para o aço de construção o coeficiente de Poisson pode ser tomado como sendo 
3,0
.24 
2.19 Exercícios 
 1) Suponha uma barra redonda de aço cujo diâmetro tem 50mm. Sabendo-se que seu 
diâmetro diminuiu 0,01mm após a aplicação de uma força de tração P, que para o aço o coeficiente 
de Poisson é 0,3 e o módulo de elasticidade é 210GPa, pede-se determinar a força P. 
 Resposta: 
NP 510.74,2
 
 
2) Uma barra de aço de 4,8m de comprimento possui seção transversal retangular cujos 
lados são 
mma 20
e 
mmb 5
. Qual será a redução destes lados quando se submete a barra a uma 
força axial de tração de 12kN? Sabe-se que o coeficiente de Poisson é 0,3 e o módulo de 
elasticidade é 210GPa. 
Resposta: 
ma
610.42,3 
 e 
mb
710.55,8 
 
 
3) Resolver os problemas 2.66, 2.67, 2.69 da pág. 144 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
3 CISALHAMENTO 
 
3.1 Solicitações transversais. Tensão de cisalhamento. 
Até agora estudamos somente as forças axiais, ou seja, forças coincidentes com o eixo da 
barra e, portanto, são solicitações normais à seção transversal. 
Forças transversais ao eixo da barra tendem a provocar corte (ou cisalhamento) da barra. A 
Figura 11.a mostra uma barra sujeita às laminas de uma tesoura que sob a ação das forças P tendem 
a cortar a barra na seção n-n. Identicamente, o rebite da Figura 11.b tende a ser cortado na seção n-
n. 
 
 
Figura 11 
 
 
Se considerarmos a seção transversal em n-n da barra (ou do rebite), cuja área 
representaremos por A, esta estará submetida a uma tensão que não é normal mas paralela a ela, ou 
seja, uma tensão que tende a “cisalhar” a barra e, por isso, é chamada de tensão de cisalhamento (

) 
que é determinada na prática por: 
 
A
P

 (3.1) 
 O cálculo da tensão de cisalhamento é necessário para o dimensionamento de rebites, 
parafusos, chavetas, pinos, etc. os quais, na maioria das vezes trabalham a cisalhamento. 
Parafusos, rebites e pinos sujeitos a corte simples, duplos, etc. 
 A Figura 11.b mostra um rebite sujeito a corte simples, pois, somente a seção nn do rebite 
está resistindo ao cisalhamento. 
 
 
Figura 12 
 
 A Figura 12.a mostra um rebite sujeito a corte duplo, pois, neste caso há duas seções (nn e 
mm) resistindo ao corte. A Figura 12.b mostra um rebite sujeito a corte triplo. 
 
 
 
 
 26 
3.2 Deformação de cisalhamento 
 
Suponhamos uma barra prismática BC presa em C e na extremidade B é aplicada uma força 
transversal P conforme a Figura 13.a. 
 Se a área da seção transversal da barra BC é A então suas seções transversais estarão sujeitas 
à tensão de cisalhamento: 
 
A
P

 (3.2) 
 
Figura 13 
 
 
 
Analisando um pequeno elemento da barra BC e isolando este elemento conforme a Figura 
13.b vemos que este elemento está sujeito à tensão de cisalhamento 

na sua face superior e na face 
inferior teremos a mesma tensão 

 porém de sentido contrário, provocando uma distorção: a face 
da barra era um retângulo e se transformou num losango. Esta distorção, que é medida pelo ângulo 

 é chamada de deformação de cisalhamento. 
 Se, para um determinado material, desenharmos um gráfico, lançando no eixo das ordenadas 
as tensões de cisalhamento 

 e no eixo das abscissas as deformações de cisalhamento 

, 
obteremos o chamado diagrama tensão-deformação de cisalhamento para este material. 
Para muitos materiais o trecho inicial do diagrama é uma reta, identicamente ao que 
acontece para o diagrama tensão-deformação de tração/compressão. Ou seja, neste trecho reto se 
aplica a lei de Hooke, só que agora é para o cisalhamento. Portanto, neste trecho, a relação entre a 
tensão de cisalhamento 

 e a deformação de cisalhamento 

 é uma constante que, neste caso, é 
chamada de módulo de elasticidade transversal, representada por G. Isto é, 
 
G


 ou 
 .G
 (3.3) 
 
 
Ver Exemplo 2.10 pag. 137 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
3.3 Exercícios 
1. Determinar a tensão de cisalhamento no rebite mostrado na Figura 11.b sabendo-se que seu 
diâmetro é 6mm e P = 1000N. 
 Resposta:
MPa4,35
 
2. Determinar as tensões de cisalhamento nos rebites mostrados na figura sabendo-se que seus 
diâmetros são 6mm e P = 7kN. 
 
 Resposta: 
MPa92,61
 
3. Qual é a força mínima necessária que uma tesoura guilhotina deve exercer para cortar uma 
chapa de 2mm de espessura (conforme a figura) e cujo comprimento de corte é 1,2m, 
sabendo-se que a tensão de ruptura ao cisalhamento do material da chapa é 300Mpa 
 
Resposta: 
kNP 720
 
4. O pino de diâmetro 10mm, espessura da cabeça 6mm, mostrado na figura está sujeito à força 
axial F=1100kgf. Pede-se verificar se é aconselhável a utilização deste pino, supondo-se que 
a tensão de cisalhamento admissível e a tensão normal admissível do material deste pino 
sejam, respectivamente, 70MPa e120MPa. 
 
 Resposta: Não, porque, embora a tensão de cisalhamento atuante (58,4 MPa) seja menor que a 
tensão de cisalhamento admissível a tensão normal atuante (140 MPa) é maior que a tensão normal 
admissível. 
5. Uma puncionadeira tem capacadidade de 5000kgf. Verificar se ela pode ser utilizada para 
efetuar um furo de diâmetro 5/8pol numa chapa de 1/8pol de espessura, cuja tensão de 
ruptura ao cisalhamento é 280MPa, conforme mostra a figura. 
 28 
 
 Resposta: Sim, porque, a força necessária para executar o furo é de 4445 kgf. 
6. Uma polia de 120mm de diâmetro, acionada por correia, transmite seu torque ao eixo de 
40mm de diâmetro através de uma chaveta que tem 7mm de largura e 30mm de 
comprimento conforme mostra a figura. As forças exercidas pela correia são 
kNF 71 
 e 
kNF 22 
. Determinar a tensão de cisalhamento na chaveta. 
 
 Resposta: 71,42 MPa 
7. A figura mostra um acoplamento entre dois eixos de transmissão efetuado por 4 parafusos 
de 15mm de diâmetro, dispostos conforme mostra a figura. Pede-se determinar o torque 
máximo admissível que este acoplamento pode transmitir, supondo-se que a tensão 
admissível ao cisalhamento dos parafusos seja 70MPa. Desprezar o atrito entre os flanges. 
 
 Resposta: 4,45kN.m 
 
 
8. A cabeça cilíndrica do pendural mostrado na figura está apoiada numa base e sua haste 
vertical atravessa esta base através de um furo, sem atrito, e é ligada na sua extremidade 
inferior a uma barra horizontal por um pino. Esta barra horizontal está articulada no apoio à 
sua direita, e na extremidade esquerda suporta a força vertical de 5,4kN. A tensão normal 
 29 
máxima que pode agir no pendural é 36MPa e a tensão de cisalhamento máxima para o 
pendural e o pino de ligação com a barra horizontal é 28MPa. Considerando estas tensões 
máximas determinar: 
a) O diâmetro da haste do pendural (d1) 
b) O diâmetro do pino de ligação pendural/barra horizontal (d2) 
c) A espessura t da cabeça do pendural 
 
 
 
 
 
Respostas: 
d1 = 2,11.10
-2
m 
d2 = 1,69.10
-2
m 
t = 6,79.10
-3
m 
 
 
 
 
 30 
4 TORÇÃO 
4.1 Introdução 
Estudaremos a torção somente para barras de seção circular. 
Torção é o efeito produzido numa barra devido à atuação de momentos (ou torques) detorção aplicados de forma a torcer a barra. 
A Figura 14 mostra uma barra cilíndrica AB de comprimento L e raio c presa na 
extremidade A. Vamos traçar a geratriz MN e em seguida vamos aplicar na extremidade B um 
momento de torção T. A barra vai sofrer uma torção e a geratriz MN mudará para MN’. 
 
 
Figura 14 
 
 
Devido ao momento de torção cada seção transversal da barra sofre uma rotação 

 
denominada de ângulo de torção (ou ângulo de rotação) da seção. A partir do engastamento em 
A, onde a seção não sofre rotação, o ângulo de torção 

 vai aumentando até a extremidade B. 
Portanto, o ângulo de torção máximo ocorre na extremidade B da barra. 
O ângulo 

 formado por MN e MN’ é denominado de deformação de cisalhamento. 
Como trataremos somente de pequenas deformações (no regime elástico) e medindo 

 e 

 
em radianos, podemos escrever: 
.' LNN 
 e 
.' cNN 
 donde logo 
 
L
c

.

 
Como esta é a deformação de cisalhamento máxima vamos colocar 
 
L
c

.
max 
 (4.1) 
 
A deformação de cisalhamento para um raio interno 

 será então 
 
L


.

 (4.2) 
 
Relacionando 

 e 
max
temos: 
 
c




max
 ou 
max.


c

 (4.3) 
 .. cL 
 31 
4.2 Tensão de cisalhamento 
O momento de torção T provoca em todas as seções transversais da barra uma distribuição 
de forças paralela à seção e , consequentemente, tensão de cisalhamento. 
A Figura 15 mostra a distribuição de forças numa seção transversal qualquer da barra. 
 
Figura 15 
Considerando uma área elementar dA a uma distância 

do centro e, considerando ainda que 
nesta área elementar atua a força elementar dF, então momento desta em relação ao centro da seção 
é 
.dFdT 
, logo o momento para toda área da seção transversal será 
 
 dFT .
 (4.4) 
A tensão de cisalhamento na área dA é calculada por 
dA
dF

 então 
dAdF .
 que 
substituindo em (4.4) obtemos 
 
 dAT ..
 (4.6) 
Multiplicando a equação (4.3) por G ( módulo de elasticidade transversal) obtemos 
 
max... 

 G
c
G 
 
Mas pela lei de Hooke temos 
 .G
 (4.7) 
então 
 
max.


c

 (4.8) 
Substituindo (4.8) em (4.6): 
 
  dAc
dA
c
T .. 2maxmax
2

 (4.9) 
Mas 
 dA.
2
 é o momento de inércia polar em relação ao centro da seção, isto é, 
 dAJ .
2
 que substituindo em (4.9) obtemos 
 
c
J
T
.max
 
Donde 
J
cT .
max 
 (4.10) 
Esta é a tensão de cisalhamento máxima e ocorre na periferia da seção. A tensão de 
cisalhamento num ponto qualquer interno à seção cuja distancia ao centro é 

 é calculada, 
conforme a equação (4.8), por: 
 
J
T 

.

 (4.11) 
 32 
A tensão de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distância 

 ao eixo da 
barra. 
4.3 Eixo circular vazado (tubo) 
A Figura 16.a mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular maciço. 
A Figura 16.b mostra a distribuição de tensões de cisalhamento em um eixo circular vazado, 
de raio interno c1 e raio externo c2. Da equação (4.10) temos neste caso 
 
J
cT 2
max
.

 (4.12.a) 
E da equação (4.8) obtermos 
max
2
1
min .
c
c

 (4.12.b) 
 
 
Figura 16 
O momento de inércia polar para um círculo é calculado por 
 
2
. 4c
J


 (4.13) 
Para a seção transversal de um eixo vazado (tubo) temos 
 
 4142
2
ccJ 
 (4.14) 
O momento de torção T será expresso em N.m, c e ρ em m, e J em m4. A tensão de 
cisalhamento será expressa em N/m
2
, isto é, em pascal (Pa). 
4.4 Deformação de cisalhamento (

) 
Pela equação (4.7) 
 .G
 obtemos 
maxmax . G
 e portanto 
 
G
max
max

 
 (4.16) 
Substituindo 
max
 da equação (4.10) na equação (4.16) obtemos 
 
GJ
cT
.
.
max 
 (4.17) ou 
GJ
T
.
.
 
 (4.18) 
4.5 Ângulo de torção (

) 
Pela equação (4.1) 
L
c

.
max 
 obtemos 
 
max
c
L

 (4.15) 
Substituindo o valor de 
max
da equação (4.17) obtemos finalmente 
 
GJ
LT
.
.

 (4.19) 
 33 
4.6 Exercícios 
 
1) Determinar o diâmetro de uma barra sujeita a um momento de torção de 70Nm cuja tensão 
admissível ao cisalhamento é 30MPa. 
Resposta: 22,8mm 
 
2) Um eixo de 78mm de diâmetro está submetido a um momento de torção de 6kN.m. 
Determinar a tensão máxima de cisalhamento no eixo. 
 Resposta: 
MPa4,64max 
 
 
3) Determinar a tensão de cisalhamento máxima e mínima em um eixo vazado cujos diâmetros 
interno e externo são, respectivamente 90mm e 120mm, sabendo-se que o momento de 
torção atuante é de 20kN.m. 
 Respostas: 
MPa3,86max 
 e 
MPam 7,64min 
 
 
 
4) Um eixo de seção circular de diâmetro 44mm está submetido a um momento de torção de 
1000 N.m. Calcular a tensão máxima de cisalhamento e o ângulo de torção correspondente a 
1m de comprimento, sabendo-se que G = 80 GPa. 
Respostas: 
MPa8,59max 
 e 
rad034,0
 
 
5) A manivela mostrada na figura é feita de uma barra de aço com 15mm de diâmetro. 
Determinar a tensão máxima de cisalhamento na barra sabendo-se que a força F aplicada no 
cabo da manivela é 100N. 
 
Resposta 37,7MPa 
 
6) Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
- Problema 3.1 e seguintes (pág. 214 e seguintes) 
- Problemas 3.23 a 3.26; 3.31 e 3.32 (pág.236 e seguintes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
4.7 Equações e diagramas do momento de torção 
 
Quando numa barra se aplica um único momento de torção, agindo em sua extremidade, 
como o caso da Figura 14, todas suas seções transversais estarão sujeitas a um mesmo momento de 
torção interno. Entretanto, no caso de existirem vários momentos de torção externos aplicados ao 
longo comprimento da barra, os momentos de torção internos não serão iguais para todas as seções 
transversais. 
Da mesma forma que fizemos para as forças normais podemos, neste caso, desenvolver as 
equações e diagramas dos momentos de torção, os quais mostrarão qual é o momento de torção 
interno que atua em qualquer seção transversal da barra. 
Seja, por exemplo, a barra AC mostrada na Figura 17, submetida aos momentos de torção 
externos 
AT
, 
BT
 e 
CT
. Observar que como a barra AC está em equilíbrio então ∑ 𝑇 = 0, isto é, 
𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 𝑂. 
O momento de torção que atua nas seções transversais do trecho AB é constante. Também 
no trecho BC todas as seções transversais estão submetidas ao mesmo momento de torção, porém, 
de valor diferente ao do trecho AB. 
 
Figura 17 
Antes de escrever as equações dos momentos de torção vamos definir uma convenção de 
sinais. 
Estabeleceremos que se a origem O dos eixos de coordenadas estiver na extremidade 
esquerda da barra então todos os momentos, cujos vetores tem sentidos para a direita (segundo a 
regra da mão direita), são positivos. Logo, se o momento de torção tiver sentido para a esquerda, 
será negativo. Veja a Figura 18. 
 
Figura 18 
Para escrever a equação dos momentos de torção T devemos primeiro colocar : 
T
 . Na 
frente do sinal de igualdade lançamos os valores de todos os momentos de torção externos (com seu 
respectivo sinal convencionado) que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x).Temos então para a barra da Figura 17: 
Trecho AB: 
ax 0
 
ATT 
 
Trecho BC: 
)( baxa 
 
BA TTT 
 
 35 
 Tendo-se as equações dos momentos de torção podemos então desenhar o seu diagrama 
lançando no eixo das abscissas a posição x da seção transversal e no eixo das ordenadas o valor do 
momento de torção T. 
 
Exercício resolvido 
 Montadas no eixo AC de 30mm de diâmetro, conforme a figura, existem 3 polias A, B e C 
nas quais atuam, respectivamente, os torques 
mNTA .280
, 
mNTB .500
 e 
mNTC .220
com os 
sentidos mostrados. Pede-se: (a) escrever as equações dos momentos de torção e seus diagramas; 
(b) determinar as tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB e BC do eixo. 
 
 
Solução: Vamos considerar que o eixo cartesiano x tem origem na extremidade A do eixo 
AC e sua direção é a mesma da linha de centro deste. 
 (a.1) Equações dos momentos de torção 
 Trecho AB: 
mx 4,00 
 
280ABT
 
 Trecho BC: 
mx 1,14,0 
 
 
500280BCT
 

 
220BCT
 
 
(a.2) Digrama dos momentos de torção 
 
 
(b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho AB do eixo 
48
43
10.948,7
2
)10.15.(
mJ 


 
Pa
J
cTAB
AB
6
8
3
10.84,52
10.948,7
10.15.280.





 
(b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho BC do eixo 
Pa
J
cTBC
BC
6
8
3
10.52,41
10.948,7
10.15.220.




 
 36 
4.8 Exercícios 
 
1) O eixo AD mostrado na Figura 19 está submetido aos torques 
kNmTA 0,4
, 
kNmTB 0,7
, 
kNmTC 0,5
 e 
kNmTD 0,2
 Escrever as equações dos momentos de torção e 
desenhar o seu diagrama. 
Respostas: 
49,00  Tmx
; 
36,19,0  Tmxm
 e 
21,26,1  Tmxm
 
 
2) Um eixo de 50mm de diâmetro está submetido aos torques 
kNmTA 6,1
, 
kNmTB 0,3
, 
kNmTC 0,2
 e 
kNmTD 6,0
conforme mostra a Figura 19. Sabendo-se que o módulo de 
elasticidade transversal é 80MPa, pede-se determinar: 
a) As tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB, BC e CD. 
b) Qual a rotação da seção D em relação à seção A. 
 Respostas: a) 𝜏𝐴𝐵 = 65,20𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝐵𝐶 = −57,05𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝐶𝐷 = 24,45𝑀𝑃𝑎 
 b) 𝜑𝐷/𝐴 = 1,548. 10
−2𝑟𝑎𝑑 
 
Figura 19 
 
 
3) Resolver os problemas 3.27 a 3.30 do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 (pág.238 e 
seguintes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 
4.9 Cálculo de eixo de transmissão* 
 
O eixo de transmissão é um elemento de máquina que transmite torque e rotação de um 
componente para outro. É o caso, por exemplo, do eixo cardã que transmite o movimento do motor 
para o diferencial do caminhão. 
No eixo de transmissão devemos considerar a potencia a ser transmitida e a velocidade de 
rotação do eixo para que possamos dimensioná-lo. 
 
Fórmula para determinação do momento de torção T 
 
f
P
T
..2

 
Onde 
T é o momento de torção (N.m) 
P é a potência transmitida ( watts: 
s
mN
W
.

) 
f é a freqüência ou rps, ou hertz ( 1 sHz ) 
 
Conversão de unidades: 
 
rpmHzrps 6011 
 
 
s
mN
Whp
.
7467461 
 
 
* Ver pag. 247 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 
 38 
 
4.10 Exercícios 
 
1) Um eixo de 5m de comprimento e 60mm de diâmetro gira a 300rpm. Sabendo-se que o 
módulo de elasticidade transversal do material do eixo é G=77GPa e que o ângulo de 
torção de eixo é 3° pede-se determinar: a) o momento de torção, b) a tensão máxima de 
cisalhamento e c) a potência transmitida pelo eixo. 
 Respostas: a) 
NmT 1000
 b) 
MPa6,23max 
 c)
WP 410.14,3
 
2) Um motor de 1800rpm está sujeito a um momento de torção de 5Nm. (a) Qual deve ser a 
potência mínima do motor? (b) Se este motor está acionando um eixo de 10mm de 
diâmetro e 3m de comprimento pede-se determinar o ângulo de torção deste eixo 
sabendo-se que G=80GPa. 
Respostas: (a) 942W ou 1,26hp; (b) 0,19rd ou 11° 
3) Determinar o diâmetro do eixo de um motor de 3hp e 3600rpm sabendo-se que a tensão 
admissível ao cisalhamento do material do eixo é 60MPa. 
Resposta: 8mm 
4) Um eixo de 6m de comprimento feito de tubo com 60mm de diâmetro externo e parede 
de 17mm, gira a 240rpm. Sabendo-se que o ângulo de torção é 3,5° e que G=80GPa 
pede-se determinar: a) a potência que está sendo transmitida; b) a máxima tensão de 
cisalhamento no eixo. 
Respostas: a) P=25kW, b) 
MPa4,24max 
 
5) Recomendação de exercícios: Problemas do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
paginas 255 e seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
5 FLEXÃO 
 
5.1 Vigas 
 Viga é uma barra que suporta cargas transversais em relação ao seu eixo. Estudaremos, de 
início, somente vigas cujas seções transversais são invariáveis (vigas prismáticas) e que possuem 
eixo de simetria vertical. As cargas aplicadas serão consideradas como atuantes no plano vertical 
formado pelo eixo de simetria vertical da seção transversal e o eixo da viga, acarretando, portanto, 
flexão neste plano. 
 
5.2 Tipos de apoios das vigas 
 As vigas podem ser vinculadas a apoios de vários tipos: 
a) Apoio articulado fixo é o apoio mostrado na Figura 22, do lado esquerdo da viga, o qual 
permite a rotação da viga, mas, não permite deslocamento em qualquer direção. Este tipo 
de apoio dá origem a reações de apoios que, normalmente, tem componente vertical e 
horizontal. 
Representações esquemáticas: 
 
b) Apoio articulado móvel é o apoio mostrado na Figura 22, do lado direito da viga, o qual 
permite a rotação da viga e deslocamento horizontal, mas, não permite o deslocamento 
vertical. Portanto, este apoio só possui uma reação de apoio, que no caso da Figura 22, é 
vertical. 
Representações esquemáticas: 
 
c) Engastamento é o apoio mostrado á esquerda da viga na Figura 23, o qual é um apoio 
rígido, que não permite nem rotação e nem deslocamento em qualquer direção. Neste 
caso, além das componentes horizontal e vertical das reações de apoio, aparece uma 
reação de apoio do tipo momento. 
Representações esquemáticas: 
 
 
Exemplo: A figura seguinte mostra um exemplo prático de um apoio articulado fixo, no 
lado esquerdo, onde a barra é apoiada através de um pino que atravessa as peças por 
furos de diâmetro ligeiramente maior que o diâmetro do pino. No lado direito temos um 
apoio articulado móvel. A construção é semelhante à anterior, mas, neste caso, a barra 
possui furo oblongo que permite liberdade de movimento horizontal da barra. 
 
 
5.3 Tipos de carregamentos 
 Uma viga pode ser carregada por cargas concentradas como as forças P1 e P2 nas Figura 22 e 
Figura 24 ou cagas distribuídas como q da Figura 23 e Figura 24. 
 40 
As cargas distribuídas são caracterizadas pela taxa de carregamento que é expressa em 
unidade de força por unidade de comprimento ao longo do eixo da viga. Esta taxa de carregamento 
pode ser constante como a da Figura 23 e Figura 24 ou pode ser variável. 
Além de forças, uma viga pode, também, ser sujeita a momentos ou binários como o 
momento M mostrado na Figura 22. 
 
5.4 Carga uniformemente distribuída 
É a força distribuída que não varia ao longo de seu comprimento de distribuição. A Figura 
20.a mostra a representação de uma força uniformemente distribuída q (N/m). 
 Para efeito do cálculo das reações de apoio transformamos a força distribuída por uma força 
concentrada no centro de gravidade da força distribuída e cuja intensidade é o valor total da força 
distribuída, como mostra a Figura 20.b.Figura 20 
5.5 Carga não uniformemente distribuída 
Trata-se de força cuja intensidade varia ao longo da linha de distribuição. Um exemplo deste 
tipo de força é o caso da força cuja distribuição é triangular, isto é, que varia conforme a função 
𝑞 = 𝑞0. 𝑥 𝑎⁄ , onde a é o comprimento da distribuição e x é a posição do ponto considerado. 
Para o cálculo das reações de apoio podemos substituir a força distribuída conforme 
mostrada na Figura 21.a pela força concentrada mostrada na Figura 21.b. Se adotamos o SI a 
unidade de q e qo será N/m. 
 
Figura 21 
5.6 Tipos de vigas 
a) Viga simplesmente apoiada ou viga simples é a viga que possui numa extremidade um apoio 
articulado fixo e na outra extremidade um apoio articulado móvel (Figura 22) 
b) Viga engastada ou viga em balanço é a viga que possui uma extremidade engastada e sua 
outra extremidade é livre (Figura 23). 
c) Viga simples com balanço é a viga simplesmente a apoiada que se prolonga além dos apoios 
(Figura 24). 
 41 
 
Figura 22 
 
 
 
Figura 23 
 
 
Figura 24 
 
5.7 Vigas isostáticas , vigas hiperestáticas e vigas hipostáticas 
Vigas isostáticas são aquelas para as quais a quantidade de equações de equilíbrio da estática 
é igual à quantidade de seus vínculos (reações de apoio). As vigas que vimos até agora (Figura 22, 
Figura 23 e Figura 24) são isostáticas. 
Nas vigas hiperestáticas (Figura 25-a e Figura 25-b) a quantidade de reações de apoio é 
maior que a de equações de equilíbrio da estática e, então, precisamos incluir também equações de 
deformação ou outro método, para poder resolvê-las. Quando adicionamos a uma viga isostática um 
ou mais vínculos a transformamos em hiperestática. 
 42 
 
Figura 25 
 As vigas hipostáticas são aquelas cuja quantidade de vínculos é menor que a quantidade de 
equações da estática (Figura 26). Neste caso a estrutura somente estará em equilíbrio se as forças 
externas resultarem equilibradas, mas, qualquer variação de uma delas provocará o desequilíbrio da 
viga. Temos, portanto, uma viga em equilíbrio instável e que deve ser evitada a não ser em 
condições especiais. 
 
Figura 26 
 
 O fato de acrescentarmos mais um apoio articulado móvel, mas de forma inadequada como 
o mostrado na Figura 27, a viga não estará eficazmente vinculada e somente não se movimentará 
horizontalmente se as forças aplicadas se anularem horizontalmente. Embora neste caso as reações 
de apoio sejam três não se configura como uma estrutura isostática já que as três reações são 
verticais e, em assim sendo, não se aplica a equação 
  0xF
 e sobram somente as duas equações 
   00 Ay MF
. 
 
Figura 27 
5.8 Grau de hiperestaticidade 
O grau de hiperestaticidade é definido pelo número de incógnitas (vínculos) que ultrapassam 
o número de equações de equilíbrio da estática de uma determinada viga hiperestática. A viga da 
Figura 25-a tem grau de hiperestaticidade 2, pois, possui 5 reações de apoio a serem calculadas e só 
há 3 equações de equilíbrio da estática. A viga da Figura 25-b tem grau de hiperestaticidade 1. 
 
 
 43 
5.9 Reações de apoio 
Como vamos trabalhar, inicialmente, somente com vigas isostáticas no plano, utilizaremos 
então as equações de equilíbrio da estática para a determinação das reações de apoio: a soma das 
forças verticais, a soma das forças horizontais e a soma dos momentos em relação a um ponto P 
(polo) qualquer, são nulas, ou seja, 
  0xF
 
  0yF
 (5.1) 
  0PM
 
Estas três equações permitem determinar, portanto, no máximo três incógnitas. O fato de 
adicionarmos mais uma equação, tomando-se os momentos das forças em relação a um outro ponto 
diferente de P, não adianta nada, pois, esta nova equação não é independente e não pode ser usada 
para determinar uma quarta incógnita. 
 Como alternativa podemos substituir uma ou duas destas equações de forças 
  0xF
 e 
  0yF
 por equações de momentos em relação a pontos diferentes. Mas nestes casos existem 
algumas restrições, por exemplo, no caso de três equações de momentos os pontos polos destes 
momentos não poderão estar alinhados. 
Para utilização correta destas equações devemos estabelecer uma convenção de sinais. Por 
exemplo: forças horizontais para direita são positivas, para esquerda são negativas; forças verticais 
para cima são positivas, para baixo são negativas; momentos no sentido horário são positivos e no 
sentido contrário são negativos. 
Para efeito de cálculo, normalmente desprezamos a altura da viga, considerando apenas a 
linha de seu eixo. Logicamente isto não poderá ser adotado quando a altura da viga for relevante a 
ponto de influir de forma considerável nos resultados. 
 
Exercícios resolvidos: 
1) Determinar as reações de apoio da viga Figura 28-a. 
 
Figura 28 
Solução 
 Em primeiro lugar devemos desenhar o diagrama de corpo livre (Figura 28-b) onde 
mostramos as componentes horizontais e verticais das reações de apoio, bem como as componentes 
horizontal e vertical da carga aplicada à viga. As forças atuantes na viga deverão sempre ser 
decompostas em suas componentes horizontais e verticais para que possamos aplicar as equações de 
equilíbrio da estática (equações 5.1). Por simplificação podemos desenhar diretamente na figura 
dada no problema as componentes das reações de apoio e cargas em vez de desenhar separadamente 
o diagrama de corpo livre, desde que não haja comprometimento de sua clareza. 
 Os sentidos corretos das componentes das reações nem sempre são óbvios. Não devemos, 
entretanto, preocuparmos com isto. Arbitramos previamente seus sentidos e se o resultado dado 
pelas equações de equilíbrio for negativo isto indicará que o sentido correto é o contrário do 
arbitrado no início. 
 44 
 Outra atitude importante nesta fase inicial do exercício é fazermos a homogeneização das 
unidades. Se adotarmos a mesma unidade para todas as forças do exercício e a mesma unidade para 
todas as medidas de comprimento, etc., então poderemos colocar as grandezas, sem suas unidades, 
nas equações, simplificando-as. Por exemplo, se adotarmos para todas as força dadas no exercício a 
unidade kN e todas as medidas de comprimento a unidade m, então as forças calculadas serão em kN 
e os momentos em kN.m . 
 Agora podemos escrever as equações de equilíbrio da estática, mas, lembrando sempre de, 
no início de cada equação, mostrarmos a convenção de sinal que adotamos. Não importa a 
convenção adotada desde que a respeitemos para toda equação. 
 

 
 0xF
 
0cos.  PAx
 (1) 

 0yF
 
0.  senPBA yy
 (2) 
 
 Para a equação de equilíbrio dos momentos devemos convencionar o sentido positivo de 
rotação e também o ponto em relação ao qual tomaremos os momentos das forças. O ponto de 
referência dos momentos poderá ser qualquer um no plano da figura, porém, é interessante escolher 
um dos pontos onde atuam as reações de apoio, pois, desta forma, estaremos anulando os momentos 
correspondentes destas reações, simplificando as equações. Neste exercício escolhemos o ponto A. 
 
(
 
 0AM
 
0)..(  asenPlBy 
 (3) 
 
Pela equação (3) obtemos 
l
asenP
By
).( 

 
 
Substituindo este valor de 
yB
na equação (2) determinamos a reação 
yA
 
 
l
asenP
senPAy
).(
.
 
 donde 





 

l
al
senPAy )( 
 
 
 Pela equação (1) obtemos 
cos.PAx 
 
 
 
2) Determinar as reações de apoio da viga engastada abaixo