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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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forças cortantes os quais dão origem às tensões normais e tensões de 
cisalhamento que atuam nas seções transversais de uma viga. Para o estudo das tensões normais 
vamos considerar uma viga de seção transversal constante e simétrica em relação aos eixos y e z 
como, por exemplo, uma viga de seção transversal retangular. Vamos supor também que o trecho da 
viga que vamos estudar seja submetido somente a momento, isto é, a força cortante neste trecho seja 
nula. Temos neste caso o que se chama de flexão pura, como o trecho da viga mostrada na Figura 
47. 
 
Figura 47 
 
Considerando o equilíbrio da parte da viga à esquerda da seção transversal 
11baba
, vemos 
que as forças interiores que estão distribuídas nesta seção transversal ( que representam a ação da 
parte direita da viga sobre a parte esquerda) devem ser estaticamente equivalentes a um conjugado 
igual ao momento fletor 
M
. 
Para acharmos a distribuição destas forças interiores na seção transversal vamos analisar a 
deformação da viga. No caso simples de uma viga que tem um plano de simetria vertical 
longitudinal e cujos momentos fletores atuam neste plano, a flexão (o encurvamento) realizar-se-á 
neste mesmo plano. Portanto, durante a flexão ocorrerá tração nas fibras do lado convexo e 
compressão nas fibras do lado côncavo. Esta variação de tensões é linear de modo que na linha 
centroidal da seção transversal não existirá nem tração e nem compressão, como mostra a 
distribuição de tensões mostrada na Figura 47. A superfície 
11nmnm
 onde as tensões se anulam é 
chamada de superfície neutra e sua interseção com qualquer seção transversal da viga 
 1nn
 é 
chamada de linha neutra ( ou eixo neutro). 
Então as tensões que atuam na seção transversal devido à existência do momento fletor M 
são proporcionais às suas distâncias y da superfície neutra e seus valores podem ser calculados pela 
seguinte equação (ver a dedução no Cap. 4.5 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1): 
 
z
x
I
yM .

 (1) 
Nesta equação 
x
 será positivo (tração) se M for positivo, isto é, se produz deformação da 
viga com a concavidade voltada para cima, como se vê na Figura 47 e se, também, y for positivo 
(isto é, medido para baixo do eixo neutro). Se M (ou y) for negativo a tensão 
x
 será de 
compressão. O índice x de 
x
indica que esta tensão tem a mesma direção do eixo x. 
 76 
zI
 é o momento de inércia da seção transversal em relação ao seu eixo centroidal em torno 
do qual ocorre a flexão. 
Exemplificamos este estudo para o caso de seção transversal retangular, mas se aplica 
também para qualquer tipo de seção transversal que tenha um plano de simetria vertical longitudinal 
e seja solicitada à flexão por momentos atuando neste plano. Do mesmo modo se aplica para o caso 
de existir força cortante na seção e não somente para flexão pura. 
Para uma seção retangular cujas distâncias das fibras mais extremas à linha neutra (eixo 
centroidal) é igual a c (Figura 48.a), considerando momento fletor positivo, a equação (1) nos 
fornece: 
Tensão máxima de tração 
 
cI
M
I
cM
zz
Tx

.
 (2) 
Tensão máxima de compressão (em valor absoluto) 
 
cI
M
I
cM
zz
Cx

.
 (3) 
 
 Colocando 
c
I
W zz 
 (4) 
 
onde Wz é denominado de módulo de resistência, ou módulo da seção em relação ao eixo centroidal 
z, podemos então escrever as equações (2) e (3) na forma geral que calcula a máxima tensão normal 
de tração e compressão 
 
W
M

 (5) 
 Nesta fórmula devemos verificar que M e W se referem ao mesmo eixo centroidal e que o 
sinal de 

 será positivo para tração e negativo para compressão. 
 
Figura 48 
 
 
Os valores dos módulos de resistência (bem como dos momentos de inércia, etc.) para 
diversas figuras estão na Tabela 1. 
Por exemplo, para seção transversal retangular (Figura 48.a) 
 
12
. 3hb
I z
 e 
6
. 2hb
W z
 
 e para seção transversal circular de diâmetro d: 
64
4d
I z


 e 
32
3d
W z


 
 Perfis laminados ou aqueles produzidos industrialmente são normalmente padronizados e os 
fabricantes fornecem tabelas que mostram todas suas especificações importantes para o 
 77 
dimensionamento de uma viga. Na Tabela 3 apresentamos uma amostra de uma tabela da CSN (Cia. 
Siderúrgica Nacional) para perfis laminados padrão americano. 
Quando o centro de gravidade não está no meio da altura (Figura 48.b), representamos por 
1c
 e 
2c
 as distâncias ao eixo neutro das fibras extremas inferior e superior, respectivamente. Então 
para momento fletor positivo temos: 
 
 
z
Tx
I
cM 1.
 e 
 
z
Cx
I
cM 2.
 (6) 
 
 
 
 
5.24 Raio de curvatura 
 
O raio de curvatura r é o raio da curva formada pela interseção da superfície neutra com o 
plano de simetria vertical da viga (Figura 49). É calculado pela fórmula (ver dedução na seção 4.4 
do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1): 
M
IE
r z
.

 (7) 
 Sendo E o módulo de elasticidade do material da viga e M o momento fletor. 
 
A curvatura é calculada pelo inverso do raio de curvatura: 
 
zIE
M
r .
1

 (8) 
 
Figura 49 
 78 
5.25 Exercícios 
 
1) Uma viga se seção circular com 250mm de diâmetro está sujeita às cargas 
kNP 120
 conforme mostra a figura. Pede-se determinar a tensão máxima na 
viga e o seu raio de curvatura sabendo-se que o módulo de elasticidade do 
material é 210GPa. 
 
 
 Respostas: a) 27,3MPa, b) 960m 
 
 
2) A viga mostrada na figura está solicitada por M=6 kN.m A viga é de aço com 
seção transversal em T e com as dimensões indicadas na figura. Pede-se 
determinar as tensões máximas, de tração e compressão e os pontos em que elas 
se dão. 
 
Resposta: Tensão máxima de tração: 31,6 MPa. Tensão máxima de compressão: -66,3 MPa 
 
 
Recomendação de exercícios do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
Exemplos 4.1(pág.330) 4.2 (pág. 331), Problemas resolvidos: 4.1 (pág. 334), 4.2 (pág. 337). 
Problemas 4.1 a 4.34 (pág. 339). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 79 
 
6 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
6.1 Momento estático (ou momento de primeira ordem) 
 
 Para calcularmos a posição do centro de gravidade de uma área em relação a um eixo 
qualquer precisamos saber determinar o momento estático (ou momento de primeira ordem) desta 
área em relação ao eixo. 
 O momento estático de uma área em relação a um eixo qualquer é o produto desta área pela 
distância do centro de gravidade desta área ao eixo. 
 Vamos representar por o momento estático em relação ao eixo x. O índice indica o eixo 
em relação ao qual estamos calculando o momento estático. Se fosse em relação ao eixo y 
representaríamos por . 
 Na Figura 50 temos uma área A cujo centro de gravidade está situado em C e sua distância 
ao eixo x é 
*y
. Portanto, o momento estático de A em relação a x é 
 
*.yAQx 
 (6.1) 
 Identicamente teríamos em relação ao eixo y: 
 
*..xAQ y 
 (6.2) 
 
-Vemos que dependendo da posição dos eixos de coordenadas o momento estático pode ser 
positivo, negativo ou nulo já que as coordenadas 
*y
 e 
*x
 podem ser positivas, negativas ou nulas. 
-Quando a figura possui um eixo de simetria o momento estático em relação a este eixo é 
nulo. Por exemplo, o momento estático do retângulo da Figura 51.a em relação ao eixo x é zero, 
bem como em relação a y. 
-As unidades do momento estático no Sistema Internacional são 
3m

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