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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

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mais uma equação. 
 
Exemplo 
Um bloco de peso P é suspenso por 3 tirantes igualmente espaçados conforme a Figura 4.O 
tirante 1, do centro, tem área da seção transversal 
1A
e módulo de elasticidade 
1E
. Os tirantes 
laterais 2 tem a área da seção transversal de valor 
2A
 e módulo de elasticidade 
2E
. Devido à 
simetria dos tirantes e à centralização do bloco o alongamento dos tirantes foi uniforme. Pede-se 
determinar as forças que atuam em cada tirante. 
 
Figura 4 
 
Solução 
Vamos chamar de
1P
 à força de tração no tirante 1 e 
2P
 às forças de tração nos tirantes 2. As 
forças de tração nos tirantes 2 são iguais porque suas àreas e módulos de elasticidade são iguais, e a 
carga está centralizada. 
Então podemos escrever a equação de equilíbrio 
PPP  21 .2
 (a) 
Mas temos duas incógnitas 
1P
 e 
2P
 e somente uma equação. 
Para achar a segunda equação vamos utilizar a deformação das peças. 
O alongamento total do tirante 1 é: 
11
1
1
.
.
EA
LP

 
E o alongamento total dos tirantes 2 é: 
 
22
2
2
.
.
EA
LP

 
Como estes alongamentos são iguais temos 
22
2
11
1
.. EA
P
EA
P

 (b) 
Temos agora as duas equações (a) e (b) que resolvidas nos fornece 
1P
 e 
2P
, 
2211
11
1
2 EAEA
PEA
P


 e 
2211
22
2
2 EAEA
PEA
P


 
 
 
 15 
 
 
2.11 Exercícios 
 
1) A figura mostra uma barra prismática de 80cm de comprimento engastada nas suas 
extremidades. Uma força axial de 
KNP 16
 é aplicada à distancia 
cmL 501 
 da extremidade 
esquerda. Determinar as reações 
1R
 e 
2R
 nos apoios. 
 
 
Respostas: 
kNR 61 
 
kNR 102 
 
 
 
 
2) Um bloco de 30kN é suportado por três tirantes de mesmo diâmetro. Sabendo-se que o 
tirante do meio é de aço cujo módulo de elasticidade é 210GPa e os outros dois são de alumínio 
cujo módulo de elasticidade é 70GPa, determinar as forças de tração em cada tirante. 
 
 
Respostas: 
kNFAÇO 18
 e 
kNFAL 6
 
 
 
 
3) Uma barra redonda e um tubo, de mesmo comprimento L, suportam uma carga P através 
de uma placa rígida, comprimida sobre ambos, conforme mostra a figura. Sabendo-se que a barra 
redonda tem área da seção transversal A1, e módulo de elasticidade E1; e o tubo tem seção 
transversal A2 e módulo de elasticidade E2, pede-se determinar as forças de reação que atuam na 
barra e no tubo. 
 16 
 
 Respostas: 
2211
11
1
EAEA
PEA
P


 e 
2211
22
2
EAEA
PEA
P


 
 
 
4) Resolver os problemas 2.34, 2.35, 2.38 da pág. 89 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
2.12 Tensão Térmica. Influência da variação da temperatura 
A variação da temperatura sobre qualquer material provoca variação de suas dimensões e 
quando levamos em conta a variação da temperatura os esforços internos numa barra serão alterados 
dependendo dos vínculos desta barra. Por exemplo, se uma barra está fixada em uma extremidade e 
totalmente livre na outra extremidade um aumento na temperatura da barra provocará seu 
alongamento, mas, não alterará os esforços internos da barra. Entretanto se suas duas extremidades 
estiverem fixadas surgirão esforços internos adicionais e consequentemente aumento de sua tensão 
normal. Esta tensão adicional provocada pela variação da temperatura é a chamada tensão térmica. 
Portanto, numa barra rigidamente fixada (engastada) nas suas extremidades e isenta de tensões 
internas um aumento da temperatura provocará tensão normal de compressão e uma diminuição da 
temperatura provocará tensão normal de tração. Ambas as tensões são tensões térmicas. 
Para o cálculo da tensão térmica utilizamos a fórmula da dilatação térmica, isto é, 
 𝜕𝑇 =∝ ∆𝑇 𝐿 (2.7) 
 Onde 
 𝜕𝑇 é a variação total do comprimento da barra provocada pela variação da temperatura. 
𝛼 é o coeficiente de dilatação linear (Unidade no SI: 1/°C ou 1/°K). 
∆𝑇 é a variação da temperatura da barra. 
L é o comprimento inicial da barra. 
Se as extremidades da barra são fixas, através de engastamentos suficientemente resistentes, 
eles exercerão sobre a barra uma força axial impedindo a variação de comprimento da barra, 
consequentemente, utilizando a fórmula da deformação total (2.4) esta força axial de origem 
térmica é 
 𝑃𝑇 = −
𝜕𝑇 𝐴 𝐸
𝐿
= −𝛼 ∆𝑇 𝐴 𝐸 (2.8) 
O sinal é negativo, pois, quando a variação da temperatura for positiva a força térmica é de 
compressão e se a variação da temperatura for negativa a força térmica é de tração. 
 Assim sendo, a equação da tensão térmica é 
 𝜎𝑇 =
𝑃𝑇
𝐴
= −
𝜕𝑇 𝐸
𝐿
= −𝛼 ∆𝑇 𝐸 (2.9) 
 Exercício resolvido 
 Uma barra de 750mm de comprimento com seção transversal quadrada de 3cm de lado está 
presa em suas extremidades e à temperatura de 25°C está isenta de tensões. Quando a temperatura 
da barra atingir 45°C qual é o valor: (a) das reações nos apoios e (b) da tensão normal que atua na 
barra? Sabe-se que para o material da barra o módulo de elasticidade é 120GPa e o coeficiente de 
dilatação linear é 16,7.10
-6
/°C. Desprezar o efeito de flambagem. 
 Solução: 
 Dados: L = 750mm = 0,75m 
 a = 3cm = 3.10
-2
m 
 T1 = 25°C e T2 = 45°C 
 E = 120GPa = 120.10
9
Pa 
 ∝ = 16,7. 10−6/°𝐶 
 Cálculos: ∆𝑇 = 45°𝐶 − 25°𝐶 = 20°𝐶 
 𝐴 = (3. 10−2)2 = 9. 10−4𝑚2 
(a) 𝑃𝑇 = 16,7. 10
−6. 20.9. 10−4. 120. 109 = 36,072. 103𝑁 
(b) 𝜎𝑇 = −
36,072.103
9.10−4
= −4. 107𝑃𝑎 (Compressão) 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
2.13 Equações das forças normais 
 Já vimos que as forças axiais que atuam numa barra provocam forças internas nas suas 
seções transversais. Estas forças internas, que são normais (“perpendiculares”) às seções 
transversais são chamadas de forças normais. 
 Suponhamos uma barra AD, sujeita a várias forças axiais ao longo de seu comprimento, 
conforme a Figura 5. Se estabelecermos que a extremidade esquerda (A) da barra é a origem O, do 
eixo das abscissas x, podemos escrever as equações que nos fornecem as forças normais N em 
qualquer seção transversal à distância x da origem. Estas equações são as equações das forças 
normais da barra. 
 
 
Figura 5 
Entretanto, para escrevermos estas equações precisamos primeiro estabelecer uma 
convenção de sinais dos sentidos das forças. Vamos então estabelecer que se a origem O dos eixos 
de coordenadas está na extremidade esquerda da barra, então todas as forças cujos sentidos são para 
a esquerda são positivas. Logo, se a força tiver sentido para a direita, será negativa. Veja a Figura 6. 
 
Figura 6 
Se, porém, adotarmos como origem O do eixo das abscissas, a extremidade direita da barra, 
deveremos inverter os sinais acima. 
Exemplo: Para a barra mostrada na Figura 5 teremos três equações das forças normais, 
sendo uma para cada trecho: AB, BC e CD. 
Para escrever a equação da força normal N devemos primeiro colocar : 
N
 . Na frente do 
sinal de igualdade lançamos os valores de todas as forças (com seu respectivo sinal convencionado) 
que estão à esquerda da seção considerada (que está à distância x). Temos então: 
Trecho AB: 
ax 0
 
1FN 
 
Trecho BC: 
)( baxa 
 
21 FFN 
 
Trecho CD: 
)()( cbaxba 
 
321 FFFN 

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