RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.R67 MS 1

Temos então para a barra da Figura 17: 
Trecho AB: 
ax 0
 
ATT 
 
Trecho BC: 
)( baxa 
 
BA TTT 
 
 35 
 Tendo-se as equações dos momentos de torção podemos então desenhar o seu diagrama 
lançando no eixo das abscissas a posição x da seção transversal e no eixo das ordenadas o valor do 
momento de torção T. 
 
Exercício resolvido 
 Montadas no eixo AC de 30mm de diâmetro, conforme a figura, existem 3 polias A, B e C 
nas quais atuam, respectivamente, os torques 
mNTA .280
, 
mNTB .500
 e 
mNTC .220
com os 
sentidos mostrados. Pede-se: (a) escrever as equações dos momentos de torção e seus diagramas; 
(b) determinar as tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB e BC do eixo. 
 
 
Solução: Vamos considerar que o eixo cartesiano x tem origem na extremidade A do eixo 
AC e sua direção é a mesma da linha de centro deste. 
 (a.1) Equações dos momentos de torção 
 Trecho AB: 
mx 4,00 
 
280ABT
 
 Trecho BC: 
mx 1,14,0 
 
 
500280BCT
 

 
220BCT
 
 
(a.2) Digrama dos momentos de torção 
 
 
(b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho AB do eixo 
48
43
10.948,7
2
)10.15.(
mJ 


 
Pa
J
cTAB
AB
6
8
3
10.84,52
10.948,7
10.15.280.





 
(b.1) Tensão de cisalhamento máxima no trecho BC do eixo 
Pa
J
cTBC
BC
6
8
3
10.52,41
10.948,7
10.15.220.




 
 36 
4.8 Exercícios 
 
1) O eixo AD mostrado na Figura 19 está submetido aos torques 
kNmTA 0,4
, 
kNmTB 0,7
, 
kNmTC 0,5
 e 
kNmTD 0,2
 Escrever as equações dos momentos de torção e 
desenhar o seu diagrama. 
Respostas: 
49,00  Tmx
; 
36,19,0  Tmxm
 e 
21,26,1  Tmxm
 
 
2) Um eixo de 50mm de diâmetro está submetido aos torques 
kNmTA 6,1
, 
kNmTB 0,3
, 
kNmTC 0,2
 e 
kNmTD 6,0
conforme mostra a Figura 19. Sabendo-se que o módulo de 
elasticidade transversal é 80MPa, pede-se determinar: 
a) As tensões de cisalhamento máximas nos trechos AB, BC e CD. 
b) Qual a rotação da seção D em relação à seção A. 
 Respostas: a) 𝜏𝐴𝐵 = 65,20𝑀𝑃𝑎, 𝜏𝐵𝐶 = −57,05𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝐶𝐷 = 24,45𝑀𝑃𝑎 
 b) 𝜑𝐷/𝐴 = 1,548. 10
−2𝑟𝑎𝑑 
 
Figura 19 
 
 
3) Resolver os problemas 3.27 a 3.30 do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 (pág.238 e 
seguintes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 
4.9 Cálculo de eixo de transmissão* 
 
O eixo de transmissão é um elemento de máquina que transmite torque e rotação de um 
componente para outro. É o caso, por exemplo, do eixo cardã que transmite o movimento do motor 
para o diferencial do caminhão. 
No eixo de transmissão devemos considerar a potencia a ser transmitida e a velocidade de 
rotação do eixo para que possamos dimensioná-lo. 
 
Fórmula para determinação do momento de torção T 
 
f
P
T
..2

 
Onde 
T é o momento de torção (N.m) 
P é a potência transmitida ( watts: 
s
mN
W
.

) 
f é a freqüência ou rps, ou hertz ( 1 sHz ) 
 
Conversão de unidades: 
 
rpmHzrps 6011 
 
 
s
mN
Whp
.
7467461 
 
 
* Ver pag. 247 do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1. 
 38 
 
4.10 Exercícios 
 
1) Um eixo de 5m de comprimento e 60mm de diâmetro gira a 300rpm. Sabendo-se que o 
módulo de elasticidade transversal do material do eixo é G=77GPa e que o ângulo de 
torção de eixo é 3° pede-se determinar: a) o momento de torção, b) a tensão máxima de 
cisalhamento e c) a potência transmitida pelo eixo. 
 Respostas: a) 
NmT 1000
 b) 
MPa6,23max 
 c)
WP 410.14,3
 
2) Um motor de 1800rpm está sujeito a um momento de torção de 5Nm. (a) Qual deve ser a 
potência mínima do motor? (b) Se este motor está acionando um eixo de 10mm de 
diâmetro e 3m de comprimento pede-se determinar o ângulo de torção deste eixo 
sabendo-se que G=80GPa. 
Respostas: (a) 942W ou 1,26hp; (b) 0,19rd ou 11° 
3) Determinar o diâmetro do eixo de um motor de 3hp e 3600rpm sabendo-se que a tensão 
admissível ao cisalhamento do material do eixo é 60MPa. 
Resposta: 8mm 
4) Um eixo de 6m de comprimento feito de tubo com 60mm de diâmetro externo e parede 
de 17mm, gira a 240rpm. Sabendo-se que o ângulo de torção é 3,5° e que G=80GPa 
pede-se determinar: a) a potência que está sendo transmitida; b) a máxima tensão de 
cisalhamento no eixo. 
Respostas: a) P=25kW, b) 
MPa4,24max 
 
5) Recomendação de exercícios: Problemas do livro do BEER e JOHNSTON, Bibl. nº 1 
paginas 255 e seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
5 FLEXÃO 
 
5.1 Vigas 
 Viga é uma barra que suporta cargas transversais em relação ao seu eixo. Estudaremos, de 
início, somente vigas cujas seções transversais são invariáveis (vigas prismáticas) e que possuem 
eixo de simetria vertical. As cargas aplicadas serão consideradas como atuantes no plano vertical 
formado pelo eixo de simetria vertical da seção transversal e o eixo da viga, acarretando, portanto, 
flexão neste plano. 
 
5.2 Tipos de apoios das vigas 
 As vigas podem ser vinculadas a apoios de vários tipos: 
a) Apoio articulado fixo é o apoio mostrado na Figura 22, do lado esquerdo da viga, o qual 
permite a rotação da viga, mas, não permite deslocamento em qualquer direção. Este tipo 
de apoio dá origem a reações de apoios que, normalmente, tem componente vertical e 
horizontal. 
Representações esquemáticas: 
 
b) Apoio articulado móvel é o apoio mostrado na Figura 22, do lado direito da viga, o qual 
permite a rotação da viga e deslocamento horizontal, mas, não permite o deslocamento 
vertical. Portanto, este apoio só possui uma reação de apoio, que no caso da Figura 22, é 
vertical. 
Representações esquemáticas: 
 
c) Engastamento é o apoio mostrado á esquerda da viga na Figura 23, o qual é um apoio 
rígido, que não permite nem rotação e nem deslocamento em qualquer direção. Neste 
caso, além das componentes horizontal e vertical das reações de apoio, aparece uma 
reação de apoio do tipo momento. 
Representações esquemáticas: 
 
 
Exemplo: A figura seguinte mostra um exemplo prático de um apoio articulado fixo, no 
lado esquerdo, onde a barra é apoiada através de um pino que atravessa as peças por 
furos de diâmetro ligeiramente maior que o diâmetro do pino. No lado direito temos um 
apoio articulado móvel. A construção é semelhante à anterior, mas, neste caso, a barra 
possui furo oblongo que permite liberdade de movimento horizontal da barra. 
 
 
5.3 Tipos de carregamentos 
 Uma viga pode ser carregada por cargas concentradas como as forças P1 e P2 nas Figura 22 e 
Figura 24 ou cagas distribuídas como q da Figura 23 e Figura 24. 
 40 
As cargas distribuídas são caracterizadas pela taxa de carregamento que é expressa em 
unidade de força por unidade de comprimento ao longo do eixo da viga. Esta taxa de carregamento 
pode ser constante como a da Figura 23 e Figura 24 ou pode ser variável. 
Além de forças, uma viga pode, também, ser sujeita a momentos ou binários como o 
momento M mostrado na Figura 22. 
 
5.4 Carga uniformemente distribuída 
É a força distribuída que não varia ao longo de seu comprimento de distribuição. A Figura 
20.a mostra a representação de uma força uniformemente distribuída q (N/m). 
 Para efeito do cálculo das reações de apoio transformamos a força distribuída por uma força 
concentrada no centro de gravidade da força distribuída e cuja intensidade é o valor total da força 
distribuída, como mostra a Figura 20.b.