Aula 2  - Programação Matemática
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Aula 2 - Programação Matemática


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PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Professora Bianca Endo
biancaendo@uniararas.br
06.03.18 FHO - UNIARARAS 1
NA AULA PASSADA
Importância da Pesquisa Operacional
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O PROCESSO DE MODELAGEM
Modelos: representações simplificadas de um problema real. 
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Definição das variáveis
Relações matemáticas das restrições
Equação da função objetivo
Modelo completo!
O que queremos saber?
A que condições devemos obedecer?
Como o objetivo pode ser escrito em termos das variáveis?
MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - CARACTERÍSTICAS
Proporcionalidade: a quantidade de recurso consumido por uma dada atividade
deve ser proporcional ao nível dessa atividade na solução final do problema. Além
disso, o custo de cada atividade é proporcional ao nível de operação da atividade.
Não Negatividade: deve ser sempre possível desenvolver dada atividade em 
qualquer nível não negativo. 
Aditividade: o custo total é a soma das parcelas associadas a cada atividade.
Separabilidade: pode-se identificar de forma separada o custo (ou consumo de 
recursos) específico das operações de cada atividade.
Um modelo de Programação linear é um modelo matemático de otimização no 
qual todas as funções são lineares da variável contínua x.
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MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - ELEMENTOS
Variáveis de decisão
Função objetivo
Restrições
Condição de não negatividade
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FORMULAÇÃO ALGÉBRICA DE UM PPL
Forma geral
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Otimizar: maximizar ou minimizar a função objetivo
Forma padrão
m = número de restrições
n = número de variáveis
Forma canônica
OPERAÇÕES ELEMENTARES
Operação 1: 
\ud835\udc5a\ud835\udc4e\ud835\udc65\ud835\udc56\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc67\ud835\udc4e\ud835\udc5f \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc56\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc67\ud835\udc4e\ud835\udc5f \u2212\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc56\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc67\ud835\udc4e\ud835\udc5f \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc5a\ud835\udc4e\ud835\udc65\ud835\udc56\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc67\ud835\udc4e\ud835\udc5f \u2212\ud835\udc53 \ud835\udc65
Operação 2:
\ud835\udc65\ud835\udc5b = \ud835\udc65\ud835\udc5b
1 \u2212 \ud835\udc65\ud835\udc5b
2 \ud835\udc52 \ud835\udc65\ud835\udc5b
1 \u2265 0, \ud835\udc65\ud835\udc5b
2 \u2265 0
Operação 3:
\ud835\udc651 + \ud835\udc652 +\u22ef+ \ud835\udc65\ud835\udc5b \u2264 \ud835\udc4f é equivalente a \ud835\udc651 + \ud835\udc652 +\u22ef+ \ud835\udc65\ud835\udc5b + \ud835\udc65\ud835\udc5b+1 = \ud835\udc4f
\ud835\udc65\ud835\udc5b+1 é uma variável de folga
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EXERCÍCIOS PARA PRATICAR
O problema da liga metálica
O problema da dieta
O problema da mistura de petróleo
O problema da competição entre os engenheiros
O problema do jantar de Nero
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O PROBLEMA DA LIGA METÁLICA
Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela abaixo ilustra a 
proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de 
fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também 
em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. 
Formular o modelo de Programação Matemática. 
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Liga especial de 
baixa resistência *
Liga especial de 
alta resistência *
Disponibilidade de 
matéria-prima
Cobre 0,5 0,2 16 ton
Zinco 0,25 0,3 11 ton
Chumbo 0,25 0,5 15 ton
Preço de venda (R$ 
por ton)
R$3000 R$5000 *Ton de minério/Ton 
de liga
O PROBLEMA DA DIETA
O objetivo do presente programa é determinar, em uma dieta para a redução calórica, as quantidades 
de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos 
nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo. 
Suponha que uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de 
peixe e uma salada. Sabe-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas 
A, C e D e controlados por suas quantidades mínimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à 
preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta. A tabela abaixo resume a 
quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa 
saúde de uma pessoa. Formular o problema para otimização dos recursos envolvidos. 
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Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100 g) Requisito nutricional mínimo
A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg
C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg
D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg
Custo R$ 2 R$ 4 R$ 1,50 R$ 1
O PROBLEMA DA MISTURA DE PETRÓLEO
Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma 
planilha de custos diferente, expressando condições de transporte e preços na origem. 
Por outro lado, cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente de 
subprodutos para a gasolina. Na medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado 
na produção da gasolina, é possível a programação das condições de octanagem e 
outros requisitos. Esses requisitos implicam a classificação do tipo da gasolina obtida.
Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petróleo 
e deseje produzir as gasolinas amarela, azul e superazul, programar a mistura dos tipos 
de petróleo atendendo às condições que se seguem nas duas tabelas seguintes: 
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O PROBLEMA DA MISTURA DE PETRÓLEO
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Tipo de petróleo Quantidadé máxima disponível (Barril/dia) Custo por barril/dia (R$)
1 3500 19
2 2200 24
3 4200 20
4 1800 27
Tipo de gasolina Especificação Preço de venda R$/Barril
Superazul Não mais que 30% de 1
Não menos que 40% de 2
Não mais que 50% de 3
35
Azul Não mais que 30% de 1
Não menos que 10% de 2
28
Amarela Não mais que 70% de 1 22
Quantidade disponível de petróleo
Percentuais para limites de qualidade das gasolinas
O PROBLEMA DA COMPETIÇÃO ENTRE OS ENGENHEIROS
Duas equipes de fabricantes de carros de corrida estão praticamente disputando sozinhas o campeonato. A 
cada mês são disputadas três provas. A equipe vencedora é aquela que acumula o maior número de vitórias 
durante todas as corridas do ano. Assim que o campeonato se iniciou, a Equipe B passou a vencer a Equipe A 
em cerca de 60% das provas. O carro da Equipe B acabava sempre ultrapassando nas curvas o carro da 
equipe A. Tentando anular essa vantagem, os engenheiros da Equipe A desenvolveram um aerofólio especial 
para dar mais estabilidade ao carro nas curvas. Apesar de ficar com o carro mais pesado, o piloto da 
Equipe A podia, agora, usar sua habilidade e impedir a ultrapassagem do carro da Equipe B nas curvas, 
mantendo ou ganhando sua posição nas retas. Com a melhoria tecnológica, a Equipe A passou a vencer cerca 
de 80% das corridas. Vendo o desastre se aproximar, os engenheiros da Equipe B contra-atacaram criando 
um estabilizador de suspensão para melhorar a manobrabilidade nas curvas. O resultado anulou a 
habilidade do piloto da Equipe A em bloquear o carro da Equipe B nas curvas e esta passou a vencer cerca 
de 80 % das provas. Acuada e sem ter como aumentar mais a aderência do carro nas curvas, a Equipe A, em 
uma reunião de emergência, tentou uma estratégia suicida: retirar o aerofólio para ganhar com o alívio de 
peso e tentar compensar nas retas o que fatalmente perderia nas curvas. Surpreendentemente, com essa 
estratégia passou a ganhar 80% das provas, pois o estabilizador de suspensão especial dos carros da 
Equipe B era muito pesado e inútil nas retas, reduzindo sobremaneira o desempenho do carro fora das 
curvas. Imediatamente, a Equipe B retirou seu equipamento e as escuderias voltaram ao ponto de partida com 
vantagem novamente para a Equipe B.
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O PROBLEMA DA COMPETIÇÃO ENTRE OS ENGENHEIROS
A essa altura do campeonato, as duas equipes estavam rigorosamente empatadas em número de 
vitórias. O chefe da Equipe A resolveu contratar um assessor de Pesquisa Operacional para decidir a 
melhor política para sua equipe e, quem sabe, dar-lhe o título daquele conturbado ano. Formule e 
solucione o problema de encontrar a política ótima de equipagem para o carro da Equipe A. Sabe-
se que a instalação do estabilizador especial e do aerofólio leva cerca de 4 horas e não pode