2ªe3ª Aula Radiciação e potenciação, Polinômios e fatoração

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Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Radiciação e potenciação, Polinômios e fatoração
Data: 21 de novembro de 2017
Da mesma forma que as propriedades dos números reais dão origem a notação ex-
ponencial, que gera a operação de Potenciação, também outros conceitos são estruturados
dependendo delas. É o caso da Radiciação e do trabalho de fatoração dos Polinômios.
1 Radiciação
O que chamamos de radicais, nascem da necessidade de decompormos os números reais:
Definição 1. Dado n ∈ Z, n > 1, a, b ∈ R, ”b” é uma raiz n-ésima de ”a” se
bn = a.
E escrevemos
n
√
a = b⇔ bn = a.
Aqui, o símbolo√ é conhecida como radical, a é o radicando e n é o índice. Também,
:::::::::::::
Observação: se a tem uma raiz n-ésima, então sua principal raiz terá o mesmo sinal de a,
ou seja,
1. se a ≥ 0, então b ≥ 0, para n qualquer;
2. se a ≤ 0, então b ≤ 0, para n impar.
Daí,
• se n é impar, qualquer número real tem apenas uma raiz n-ésima real.
• Se n é par, os reais positivos tem duas raiz n-ésima reais, n√a e− n√a, e os reais negativos
não têm raízes reais.
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Observação: Quando n = 2, em geral, omitimos o índice da raiz.
Por exemplo,
1. 4
√
16 = 2, pois sua raiz principal tem o mesmo sinal do radicando;
2. 3
√−125 = −5, pois (−5)3 = −125;
3. 4
√−625 não é número real, porque não existe (b2)2 = −625.
1
Conhecendo os radicais surgem as propriedades, que são importante para a simplifi-
cação de expressões.
Teorema 1. Sejam u, v ∈ R, variáveis ou expressões algébricas, com todos os denominadores
diferentes de zero e m,n ∈ Z+, m,n > 1. Então
1. n
√
uv = n
√
u n
√
v;
2. n
√
u
v
=
n
√
u
n
√
v
;
3. m
√
n
√
u = m·n
√
u;
4. n
√
um = ( n
√
u)m;
5. n
√
un =
{
|u|, n par
u, n ímpar
.
Por exemplo,
1. para simplificar 3
√
−27x3y6 usamos a propriedade 1 e 4;
2. para simplificar
√
52 + 10x+ x2 não fazemos
√
52 + 10x+ x2 =
√
52 +
√
10x +
√
x2,
fazemos
√
(5 + x)2 = |5 + x|;
3. para simplificar
√
2 +
√
8 não fazemos
√
2 +
√
8 =
√
2 + 8 =
√
10, fazemos
√
2 +
√
8 =√
2 +
√
2 · 22 =
√
2 + 2
√
2 = 3
√
2.
E como os radicais surgem em varias circunstâncias, passamos a querer retirá-los dos
denominadores de frações, ou seja,
Definição 2. Chamamos de processo de racionalização, multiplicar numerador e denomina-
dor por n
√
un−k, quando o denominador tem a forma n
√
uk.
Por exemplo, para racionalizar 5
√
x2
y3
fazemos
5
√
x2
y3
·
5
√
y5−3
5
√
y5−3
=
5
√
x2y2
y
,
devido as propriedades 1 e 5.
Além disso, para estender a potenciação aos expoentes racionais tem-se:
Definição 3. Quando u ∈ R e n ∈ Z, n > 1, tem-se
u1/n = n
√
u.
2
Assim, quando m/n está na forma reduzida,
um/n = (u
1
n )m = ( n
√
u)m,
onde m é a potência da base e n é o índice da raiz.
Por exemplo, observe que
(−2)2/3 = 3
√
(−2)2 = ( 3
√
(−2))2
o que não se verifica se fizéssemos
(−2)4/6 = 6
√
(−2)4 6= ( 6
√
(−2))4
Resumindo: para simplificar expressões será sempre importante,
• Remover fatores dos radicais;
• Eliminar os radicais dos denominadores ou denominadores dos radicais;
• Combinar, se possível, somas e diferenças;
• Deixar cada fator envolvendo potências aparecendo apenas uma vez e todos positivos.
2 Polinômios e fatoração
De posse da notação de potência obtemos expressões ditas polinômios, como veremos, e
todas as suas propriedades nos auxilia na adição, subtração e multiplicação desses entes mate-
máticos:
Definição 4. Chamamos de polinômio na variável x, qualquer expressão que pode ser escrita
na forma
anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0,
onde n ∈ Z+, ai são constantes e ai 6= 0 para algum i, i = 0, 1, . . . , n.
Também, dizemos que
• os números an, an−1, . . . , a1 e a0 são os coeficientes do polinômio;
• anxn, an−1xn−1, . . . , a1x e a0 são os termos;
• n é o grau do polinômio;
• an o coeficiente principal;
• e as potências de x na ordem decrescente é a forma padrão do polinômio.
3
Além disso,
Definição 5. Quando o polinômio tem um, dois ou três termos são chamados de monômios,
binômios e trinômios, respectivamente.
Agora, conhecendo-os podemos:
1. Adicionar: somamos ou subtraímos os termos com mesmo expoente na variável, ditos
termos semelhantes.
Por exemplo, (4x2+3x−4)−(2x3+x2−x+2) = (0−2x3)+(4x2−x2)+(3x−(−x))+(−4−2) =
−2x3 + 3x2 + 4x− 6
2. Multiplicação: usamos a propriedade distributiva dos números reais, multiplicando
cada termo de um por todos os termos do outro, adicionando em seguida os termos
semelhantes.
Por exemplo, (3x+2)(4x−5) = (3x)(4x)+(3x)(−5)+(2)(4x)+(2)(−5) = 12x2−15x+8x−10 =
12x2 − 7x− 10
E como consequência dessa operação temos alguns produtos que se destacam: são
eles ditos
::::::::::
produtos
::::::::::
notáveis,
Definição 6. Quando u e v são números reais, variáveis ou expressões, chamamos o produto
• (u+ v)(u− v) = u2 − v2 de Produto de uma soma e de uma diferença;
• (u+ v)2 = u2 + 2uv + v2 de Quadrado de uma soma de dois termos;
• (u− v)2 = u2 − 2uv + v2 de Quadrado de uma diferença de dois termos;
• (u+ v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 de Cubo de uma soma de dois termos
• (u− v)3 = u3 − 3u2v + 3uv2 − v3 de Cubo de uma diferença de dois termos.
Por exemplo, 64−25y2 é um produto notável, pois 64−25y2 = 82− (5y)2 = (8+5y)(8−5y).
3 Fatoração
Com as operações conhecemos a forma expandida das expressões e polinômios,
dai investigamos sua forma fatorada, ou seja,
Definição 7. Dizemos que fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de dois
ou mais polinômios, onde estes são ditos fatores.
4
Por exemplo, 2x2 + 7x − 4 pode ser fatorado como o produto de dois fatores, pois
2x2 + 7x− 4 = (2x− 1)(x+ 4).
Definição 8. Quando um polinômio não pode ser fatorado com o uso de coeficientes inteiros,
ditos fatores primos, o polinômio é dito irredutível.
E se um polinômio pode ser escrito como um produto de seus fatores irredutíveis,
dizemos que está fatorado completamente.
Por exemplo,
(a) x2 + 6x+ 9 = (x+ 3)2 está fatorado completamente
(b) 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) não está.
Assim, o passo a passo de uma fatoração requer:
• observar se é possível colocar fatores comuns em evidência;
Por exemplo,
7x2 − 21x3 = 7x2 − 3 · 7 · x · x2 = 7x2(1− 3x).
• observar se apresenta a forma explícita de um dos cinco produtos notáveis;
Por exemplo,
x2
16
− 36 = x
2
42
− 62 =
(x
4
+ 6
)(x
4
− 6
)
.
• Se é a soma ou a diferença de dois cubos, mais dois produtos notáveis:
u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2) e u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2),
Por exemplo, x3 + x2 + x+ 1 = (x3 + 13) + (x2 + x) = (x+ 1)(x2 + 1)
• Se é um trinômios quadrado perfeito, podemos fazer
(ax)2 + 2abx+ b2 = (ax+ b)2,
onde a e b são número reais.
Por exemplo, 9x2 + 6x+ 1 = (3x)2 + 2 · 3x · 1 + 12 = (3x+ 1)2
5
• Ou ainda, se é um polinômios com quatro termos resultado do produto de binômios,
que podemos fatorar por agrupamentos.
Por exemplo, 3x3+x2−6x−2 = (3x3+x2)−(6x+2) = x2(3x+1)−2(3x+1) = (3x+1)(x2−2)
:::::::::::::
Observação: Também podemos, quando temos trinômios que são produto de binômios
com coeficientes inteiros,
ax2 + bx+ c = (dx+ e)(fx+ g),
d, e, f, g ∈ Z, procurar d e f tais que d · f = a e e · g = c. Assim, como são finitos esses pares
de fatores, litamos e checamos.
Por exemplo, para 35x2 − x− 12 temos:
35 = 1 · 35 = 5 · 7 e 12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4.
Assim, as possíveis fatorações são:
(x+ 1)(35x− 12) (5x+ 1)(7x− 12) (x+ 2)(35x− 6)
(5x+ 2)(7x− 6) (x+ 3)(35x− 4) (5x+ 3)(7x− 4)
(x− 1)(35x+ 12) (5x− 1)(7x+ 12) (x− 2)(35x+ 6)
(5x− 2)(7x+ 6) (x− 3)(35x+ 4) (5x− 3)(7x+ 4)
(x+ 12)(35x− 1) (5x+ 12)(7x−1) (x+ 6)(35x− 2)
(5x+ 6)(7x− 2) (x+ 4)(35x− 3) (5x+ 4)(7x− 3)
(x− 12)(35x+ 1) (5x− 12)(7x+ 1) (x− 6)(35x+ 2)
(5x− 6)(7x+ 2) (x− 4)(35x+ 3) (5x− 4)(7x+ 3)
que checando, encontramos 35x2 − x− 12 = (5x− 3)(7x+ 4).
Finalizando, podemos concluir que fatorar polinômios requer:
• observar os fatores comuns e as formas especiais (produtos notáveis expandidos);
• usar pares de fatores das coordenadas e se necessário fazer agrupamentos.
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	Radiciação
	Polinômios e fatoração
	Fatoração