6ª Aula Funções e seus gráficos

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Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Funções e seus gráficos
Data: 14 de dezembro de 2017
1 Funções: domínio e imagem
Como foi visto, as expressões algébricas representam valores e quando as “equilibra-
mos” temos equações e se “desequilibramos”, inequações, que estudamos com o objetivo de
obter aqueles valores que justificam a igualdade ou desigualdade. Agora, quando “equi-
libramos” valores com o intuito de observar a dependência entre eles temos as funções:
Definição 1. Uma função f de um conjuntoD para um conjunto Y é uma regra (lei ou fórmula)
que associa um único elemento f(x) ∈ Y a cada elemento x ∈ D. Simbolicamente, escrevemos
f : D → Y
dada por
y = f(x),
onde f representa a função, x a variável independente e y a variável dependente.
Por exemplo, a equação
y = 3x2 − 4x+ 2
está na forma y = f(x) em que x a variável independente, y a variável dependente e
f(x) = 3x2 − 4x+ 2 é a fórmula que associa um y a cada x.
Aqui:
• O conjunto D é dito domínio de f , denotado por D(f), e entendido como domínio
natural, quando não for explicitado;
• O conjunto Y contradomínio;
• E o conjunto Im(f) = {y ∈ Y | existe x ∈ D(f) que satisfaz f(x) = y} ⊂ Y de
todos os valores f(x) conforme x varia em D é chamado imagem de f .
Por exemplo, encontrando o D(f) e a imagem Im(f) de cada função dada pelas seguintes
fórmulas, tem-se:
1. para y = x2,
1
(a) D(f) = R = (−∞,+∞), pois y existe para qualquer x real, já que potência está
sempre definida;
(b) Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 0} = [0,+∞), pois potência par é sempre positiva;
2. para y =
x+ 1
x− 1 ,
(a) D(f) = {x ∈ R|x−1 6= 0} = (−∞, 1) ∪ (1,+∞), pois y existe, exceto quando ocorre
divisão por zero;
(b) Im(f) = (−∞, 1) ∪ (1,+∞), pois (x − 1)y = (x + 1) seria igual a x − 1 = x + 1,
implicando −1 = 1, o que é absurdo;
3. para y = 2 +
√
4− x,
(a) D(f) = {x ∈ R|4 − x ≥ 0} = (−∞, 4], pois y existe se a raiz de índice par está
definida;
(b) Im(f) = [2,+∞), pois raiz quadrada é sempre positiva, ou seja, √4− x ≥ 0 implica
2 +
√
4− x ≥ 2.
2 Gráficos de funções
Outro elemento associado a uma função é sua representação gráfica, ou seja,
Definição 2. O gráfico Gr(f) da função f : D → Y é o conjunto de todos os pontos no plano
cartesiano, cujas coordenadas são os pares de elementos de D e Y que satisfazem y = f(x).
Simbolicamente,
Gr(f) = {(x, f(x))|x ∈ D}.
:::::::::::::
Observação: a variável indefinida x também é chamada valor de entrada e a dependente
f(x) de valor de saída do gráfico.
Assim, o gráfico de uma função f é uma imagem de seu comportamento, isto é, se
(x, y) é um ponto no gráfico, então y = f(x) é a altura do gráfico acima ou abaixo do ponto x.
2
E para esboça-lo:
• criarmos uma tabela de pares xy (quanto mais pontos melhor o esboço);
• marcamos os pares (x, y) cujas coordenadas aparecem na tabela;
• Conectá-los da melhor forma possível.
Por exemplo, para o gráfico da função y = x2 sobre o intervalo [−2, 2] fazemos:
x f(x)
−2 4
−1 1
0 0
1 1
3
2
9
4
2 4
e obtemos
:::::::::::::
Observação:
I) Outra representação de uma função é numericamente por meio de uma tabela de va-
lores;
II) Seu gráfico é chamado gráfico de dispersão e para obtê-lo:
(a) marcamos os pares de valores da tabela formando os pontos e
(b) interligamos da melhor forma possível obtendo o gráfico.
Por exemplo, a tabela a seguir dá a previsão de cinco dias de temperaturas máximas e mínimas
em graus Celsius (◦C):
Seg Ter Qua Qui Sex
Máx 25 21 15 19 23
Mín 16 18 14 15 16
assim, teremos duas funções da temperatura em função do tempo, uma para as máximas e outra
para as mínimas.
3
Também, nem toda curva no plano cartesiano pode ser o gráfico de uma função.
Simbolicamente,
Definição 3. Dizemos que uma função f : D → Y está bem definida se
x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2), para todo x1, x2 ∈ D.
Graficamente, nenhuma reta vertical pode interceptar o gráfico de uma função mais
de uma vez.
Por exemplo, um círculo x2 + y2 = 1 não pode ser o gráfico de uma função, pois
x1 = x2 ⇒ x12 + f(x1)2 = 1 e x12 + f(x2)2 = 1
⇒ x12 + f(x1)2 = x22 + f(x2)2 ⇒ f(x1) = ±f(x2).
ou, geometricamente
3 Tipos de funções
Conhecendo as leis de formação, as funções são agrupadas e classificadas, originando os
tipos de funções como:
Definição 4. Chamamos de funções definidas por partes, aquelas cuja lei de formação é
descrita utilizando fórmulas diferentes em partes diferentes de seu domínio.
Por exemplo, a função valor absoluto, f : R→
R+, definida por
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
.
Definição 5. Chamamos de funções monótonas, quando a função f : I → Y definida em um
intervalo I tem para x1, x2 ∈ I:
1. x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), é dita crescente em I;
2. x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), é dita decrescente em I.
4
Por exemplo, a função f : R→ R definida por
f(x) =

−(x− 1), x < 0
x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1
1, x > 1
é decrescente em (−∞, 0[, pois
x1 < x2 ⇒ −(x1 − 1) > −(x2 − 1) ⇔ f(x1) > f(x2),
crescente em [0, 1], pois
x1 < x2 ⇒ x12 + 1 < x22 + 1 ⇔ f(x1) < f(x2)
e não é crescente e nem decrescente em ]0,+∞), pois
x1 < x2 ⇒ f(x1) = 1 = f(x2)
sempre, não tendo f(x1) < f(x2) ou f(x1) > f(x2) nesse intervalo.
Definição 6. Quando a função f : D → Y tem para todo x ∈ D:
1. f(x) = f(−x), é dita função par;
2. f(x) = −f(−x), é dita função ímpar.
:::::::::::::
Observação: Visualmente, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y
e de uma função ímpar é simétrico em relação a origem::
Por exemplo,
1. f(x) =
x5 − x
1 + x2
é uma função ímpar, pois
f(−x) = (−x)
5 − (−x)
1 + (−x)2 = −
x5 − x
1 + x2
= −f(x), ∀x ∈ R;
2. f(x) = x2 é uma função par, pois
5
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x), ∀x ∈ R.
3. f(x) = x2 − x nem é uma função par nem ímpar, pois
f(−x) = (−x)2 − (−x) = x2 + x 6= f(x), ∀x ∈ R.
Definição 7. Chamamos função linear, uma função da forma f(x) = mx + b, com m e b
constantes.
Por exemplo,
1. a função f(x) = x que é chamada de função identidade;
2. a função f(x) = kx, onde k é uma constante diferente de zero, que é chamada relação de
proporcionalidade.
Graficamente, são retas no plano que passam pela origem.
Definição 8. Chamamos de função de potência, quando é da forma f(x) = xa, onde a é uma
constante.
Por exemplo, as funções de potências inteiras positivas, f(x) = xn, que quando pares são
simétricas em relação ao eixo y e quando ímpares são simétricas relação a origem.
Além de outros caso importantes, como f(x) = x−1, g(x) = x−2, h(x) = x
1
2 e j(x) = x
1
3 , onde
as duas últimas são ditas funções raiz quadrada e raiz cúbica, respectivamente.
6
Definição 9. Chamamos de função polinomial, quando uma função tem a forma
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1 + a0,
onde n ∈ Z+ e a0, a1, . . . , an são constantes reais.
Além disso,
• Um quociente de funções polinomiais, f(x) = p(x)/q(x), é dito função racional;
• Uma função construída pelas operações algébricas é dito função algébrica.
Por exemplo,
E para finalizar, temos:
Definição 10. Chamamos de função Transcendental quando uma função não é algébrica.
Como é o caso das
1. funções trigonométricas, por exemplo f(x) = sinx;
2. funções exponenciais, que tem a forma f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1;
3. logarítmicas, que são da forma f(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1.
Por exemplo,
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	Funções: domínio e imagem
	Gráficos de funções
	Tipos de funções