7ª Aula Combinando funções e as funções trigonométricas

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Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Combinando funções e as funções trigonométricas
Data: 17 de dezembro de 2017
1 Combinando funções
Depois de conhecer um conjunto, procuramos a forma de trabalhar com seus elementos.
No caso das funções, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir.
Definição 1. Sejam f : D(f) → R e g : D(g) → R funções. Para qualquer x ∈ D(f) ∩ D(g)
definimos as funções f + g, f − g, fg e f
g
dadas por:
(f + g)(x) =f(x) + g(x),
(f − g)(x) =f(x)− g(x),
(fg)(x) =f(x)g(x),(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
, se g(x) 6= 0.
Por exemplo, se as funções f e g são dadas por f(x) =
√
x e g(x) =
√
1− x, já que
D(f) = [0,+∞) e D(g) = (−∞, 1],
donde D(f) ∩D(g) = [0, 1]:
podemos ter as seguintes combinações algebricamente:
1. f + g : [0, 1]→ R com (f + g)(x) = √x+√1− x;
2. f − g : [0, 1]→ R com (f − g)(x) = √x−√1− x;
3. g − f : [0, 1]→ R com (g − f)(x) = √1− x−√x;
4. f · g : [0, 1]→ R com (f · g)(x) = √x√1− x =
√
x(1− x);
E com g(x) 6= 0
1
ou f(x) 6= 0
obter
1.
f
g
: [0, 1)→ R com (f
g
)(x) =
√
x
1− x ,
2.
g
f
: (0, 1]→ R com ( g
f
)(x) =
√
1− x
x
,
Outra forma de combinar funções é a composição:
Definição 2. Sejam f : D(f) → R e g : D(g) → R funções. Chamamos de função composta,
f ◦ g : D → R, a função dada por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)),
onde D = {x ∈ D(g)|g(x) ∈ D(f)}.
Por exemplo,
1. se f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x, então:
(a) (f ◦ g)(x) =
√
g(x) =
√√
2− x = 4√2− x, onde
D(f ◦ g) = {x ≤ 2|g(x) ≥ 0} = {x ∈ R|2− x ≥ 0} = (−∞, 2];
(b) (g ◦ f)(x) =
√
2− f(x) =
√
2−√x, onde
D(g ◦ f) = {x ≥ 0|f(x) ≥ 0} = {x ≥ 0|2−√x ≥ 0} = [0, 4);
(c) (f ◦ f)(x) =
√
f(x) =
√√
x = x
1
4 , onde
D(f ◦ f) = {x ≥ 0|f(x) ≥ 0} = {x ∈ R|x ≥ 0} = [0,+∞);
(d) (g ◦ g)(x) =
√
2− g(x) =
√
2−√2− x, onde
D(g ◦ g) = {x ≤ 2|g(x) ≤ 2} = {x ≤ 2|√2− x ≤ 2} = {x ≤ 2|x ≥ −2} = [−2, 2].
2
2. se g(x) = 2x− 3 e (f ◦ g)(x) = 2x2 − 4x+ 1, então:
(a) Fazemos
2x = g(x) + 3 ⇒ x = g(x) + 3
2
;
(b) E substituímos
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) ⇒ 2x2 − 4x+ 1 = f (g(x))
⇒ 2
(
g(x) + 3
2
)2
− 4
(
g(x) + 3
2
)
+ 1 = f (g(x))
⇒ 1
2
(g(x))2 + g(x)− 1
2
= f (g(x)) ,
daí, f(x) =
1
2
x2 + x− 1
2
:::::::::::::
Observação: Também podemos obter novas funções
(a) quando adicionamos uma constante ao resultado da função, f(x) + k, ou ao seu valor
de entrada, f(x+ k), ditas translações;
(b) quando multiplicamos uma constante c > 1 ao resultado da função, cf(x) ou
1
c
f(x),
ou ao seu valor de entrada, f(cx) ou f
(
1
c
x
)
, ditas mudanças de escala;
(c) quando multiplicamos −1 ao resultado da função, −f(x), ou ao seu valor de entrada,
f(−x), ditas reflexões, respectivamente, em relação ao eixo x e ao y.
Por exemplo, se f(x) = x2, temos que
1. g(x) = x2 + 1, tem gráfico transladado em 1 unidade para cima a partir do gráfico de f ;
2. m(x) = (x − 2)2, tem gráfico transladado em 2 unidade para direita a partir do gráfico
de f .
Por exemplo, se f(x) =
√
x, temos que
1. g(x) = 2
√
x, tem gráfico alongado verticalmente por um fator de 2 a partir do gráfico
de f ;
3
2. l(x) =
√
2x, tem gráfico comprimido horizontalmente por um fator de 2 a partir do
gráfico de f ;
Por exemplo, também temos que
1. t(x) = −√x, tem gráfico refletido em relação ao eixo x a partir do gráfico de f ;
2. s(x) =
√−x, tem gráfico refletido em relação ao eixo y a partir do gráfico de f .
2 Funções Trigonométricas
E depois de uma visão geral sobre os tipos de funções e como podemos combiná-
las, nos restringimos aquelas não algébricas mais comuns, como as funções trigonométricas.
Para isso relembremos que:
Definição 3. Seja θ o ângulo central de uma circunferência de raio r.
O número de radianos de θ é definido como o número de ”unidades de
raio r contidas no arco s delimitados pelos lados de θ, isto é,
θ =
s
r
radianos.
Por exemplo, se a circunferência é unitária, então r = 1. Logo, para θ = 360◦, temos
θ = 2pi radianos.
Ou seja,
pi rad = 180◦
4
donde, temos algumas equivalências básicas
grau −180 −135 −90 −45 0 30 45
rad −pi −3pi
4
−pi
2
−pi
4
0
pi
6
pi
4
grau 60 90 120 135 160 180 270
rad
pi
3
pi
2
2pi
3
3pi
4
5pi
6
pi
3pi
2
Também precisamos lembrar que
Definição 4. Um ângulo no plano xy está na forma padrão quando seu vértice está posicio-
nado sobre a origem e sua semirreta inicial está sobre o eixo x positivo.
Assim,
• ângulos medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, têm medidas
positivas;
• ângulos medidos no sentido horário a partir do eixo x positivo, têmmedidas negativas;
:::::::::::::
Observação: Assumiremos que todos os ângulos nesse curso são medidos em radiando.
Definição 5. Sejam θ um ângulo na posição padrão em um círculo de raio r e P (x, y) o ponto
de intersecção da semirreta final do ângulo e o círculo. Definimos as funções trigonométricas
básicas por:
1. Seno, onde sen : R→ R e sen θ = y
r
;
2. Cosseno, onde cos : R→ R e cos θ = x
r
;
3. Tangente, onde tg : R−
{pi
2
+ kpi
}
→ R e tg θ = y
x
;
4. Cossecante, onde cossec : R− {kpi} → R e cossec θ = r
y
;
5. Secante, onde sec : R−
{pi
2
+ kpi
}
→ R e sec θ = r
x
;
6. Cotangente, onde cotg : R− {kpi} → R e cotg θ = x
y
;
5
:::::::::::::
Observação: Esta definição amplia as definições de funções trigonométricas de um ângulo
agudo segundo os lados de um triângulo retângulo.
Agora, como o fato do valor de saída de uma função trigonométrica depender da
semirreta final do ângulo, obtemos que um ângulo de medida θ e um ângulo de medida θ+2pi
têm a mesma imagem, ou seja,
Definição 6. Uma função f é periódica se existir um número positivo p tal que f(x+p) = f(x),
para todo x. E o menor valor de p é o período de f .
Por exemplo, se sen
(pi
2
x
)
, então P = 4, pois para o período fazemos:
1. t =
pi
2
x;
6
2. Como para sen t, o período é 2pi, tem-se:
0 ≤ t ≤ 2pi ⇒ 0 ≤ pi
2
x ≤ 2pi ⇒ 0 ≤ x ≤ 4.
E para verificarmos a periodicidade e fazermos outras manipulações na lei de for-
mação das funções trigonométricas, é necessário relembrarmos que:
Definição 7. Chamamos de identidades trigonométricas as igualdade:
1. cos2 θ + sen2 θ = 1;
2. 1 + tg2θ = sec2 θ;
3. 1 + cotg2θ = cossec2 θ;
4. sen (−α) = − senα;
5. cos(−α) = cosα
6. cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ;
7. sen (α+ β) = senα cosβ + senβ cosα;
8. tg (α+ β) =
tg α+ tg β
1− tg α · tg β .
Por exemplo,
(a) para dizer que as funções tangente e cotangente tem período p = pi, fazemos
tg (x+ pi) =
tg x+ tg pi
1− tg x · tg pi = tg x e cotg (x+ pi) =
1
tg (x+ pi)
= cotg x.
Outras identidades importantes são:
Definição 8. Chamamos as seguintes identidade de fórmulas para o arco duplo e arco
metade, duas a duas, respectivamente:
1. cos 2θ = cos2 θ − sen2θ;
2. sen 2θ = 2 sen θ cos θ;
3. cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
;
4. sen2θ =
1− cos 2θ
2
.
Por exemplo,
(a) podemos determinar x ∈ [0, 2pi] tal que sen x = sen 2x fazendo:
sen x = 2sen x cosx ⇒ sen x(1− 2 cosx) = 0 ⇒ sen x = 0 ou cosx = 1
2
.
7
(b) podemos usá-las para encontrar o valor de
cos2
pi
8
=
1 + cos 2 · pi8
2
=
1 +
√
2
2
2
=
2 +
√
2
4
E finalizando,
:::::::::::::
Observação:
I) Temos a fórmula da função seno geral ou senoide
f(x) = A sen
(
2pi
B
(x− C)
)
+D,
onde |A| é a amplitude, que é um alongamento ou compressão vertical ou reflexão em
relação a x,
2pi
B
, que é o alongamento ou compressão horizontal ou reflexão em relação a y,
|B| é o período, C é a translação horizontal e D é a vertical.
II) Além demais duas desigualdades especiais,
−|θ| ≤ sen θ ≤ |θ| e − |θ| ≤ 1− cos θ ≤ |θ|.
Por exemplo,
(a) um modelo razoável para o número de horas de luz solar na Filadélfia em x dias após 1o
de janeiro é
L(x) = 2, 8 sen
[
2pi
365
(x− 80)
]
+ 12;
(b) período em sen
(pix
2
)
é dado por
pi
2
=
2pi
B
que implica B = 4.
8
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	Funções Trigonométricas