8ª Aula Funções Exponenciais, Inversas e Logarítmicas

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Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Funções Exponenciais, Inversas e Logarítmicas
Data: 17 de dezembro de 2017
1 Comportamento Exponencial
Além das funções trigonométricas, outras funções não algébricas comuns são as
funções exponenciais, que estão entre as mais importantes da Matemática pela gama de
aplicações.
Definição 1. Chamamos a função f : R→ R dada pela lei
f(x) = ax,
onde a 6= 1 e a > 0, de função exponencial com base a.
Por exemplo,
1. f(x) = 2x é uma função exponencial, pois a base é constante;
2. g(x) = x2 não é, pois a base não é constante.
:::::::::::::
Observação:
1. O domínio da função exponencial são todos os números reais, pois;
(a) Se x = n, n ∈ Z+, então f(x) = an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n vezes
;
(b) Se x = −n, n ∈ Z+, então f(x) = a−n = 1
an
=
(
1
a
)n
;
(c) Se x =
1
n
, n ∈ Z+, então f(x) = a 1n = n√a;
(d) Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, então f(x) = a pq = q√ap = ( q√a)p;
(e) Se x ∈ I, então f(x) = ax = sup{a pq |p
q
< x}, onde sup significa supremo do conjunto
e é a completude dos números reais que garante que esse supremo é único.
2. Essa escolha do valor de saída da função para valores de entrada irracionais garante
que ela não possuirá ”saltos” ou ”buracos” :
Por exemplo, se f(x) = 2x e desejamos obter f(
√
3) = 2
√
3 observamos que x =
√
3
possui uma expansão decimal
√
3 = 1, 732050808 . . . .
1
Então, tomamos os racionais cada vez mais próximos de
√
3 e calculamos
21, 21,7, 21,73, 21,732, 21,7320, 21,73205, 21,732050, . . .
que se aproxima cada vez mais de um número fixo,
x 2x x 2x
1, 0 2, 000000000 1, 73205 3, 321995226
1, 7 3, 249009585 1, 732050 3, 321995226
1, 73 3, 317278183 1, 7320508 3, 321997068
1, 732 3, 321880096 1, 73205080 3, 321997068
1, 7320 3, 321880096 1, 732050808 3, 321997086
que especificamos como 2
√
3.
3. A imagem são os reais positivos, Im(f) = (0,+∞);
4. É crescente, x1 < x2 ⇒ ax1 < ax2 , se a > 1 e decrescente, x1 < x2 ⇒ ax1 > ax2 , se
0 < a < 1:
Por exemplo,
(a) se f(x) = 10x e g(x) = 10−x =
(
1
10
)x
:
(b) se f(x) =
1
2
x
e g(x) =
1
2
−x
= 2x:
Agora, observemos os gráficos:
2
Vemos que as funções exponenciais y = ax assumem valores cada vez mais acentuados à
medida que a base a aumenta. Assim, procura-se uma base cujo gráfico tenha uma inclinação
mais “uniforme”, ou seja, que os valores de saída da função sejam mais “controlados”.
Definição 2. Chamamos de função exponencial natural, a função exponencial cuja base é o
número irracional
e ∼= 2, 718281828,
onde e é a notação introduzida por Leonhard Euler (1707− 1783).
Por exemplo,
(a) se quisermos saber o domínio de f(x) =
1
2 + ex
precisamos saber que ex > 0. Assim,
2 + ex 6= 0 sempre e D(f) = {x ∈ R|2 + ex 6= 0} = R.
(b) ou o gráfico de y = ex − 1 fazendo uma translação vertical:
:::::::::::::
Observação: Com seus valores de saída mais controlados, a exponencial natural é utili-
zada frequentemente como modelo de crescimento, y = y0ekx, y0 constante com k > 0, ou
decaimento exponencial, quando k < 0.
Por exemplo,
1. No cálculo de juros compostos continuamente, o modelo y = Pert, onde P é o inves-
timento inicial, r a taxa de juros e t o tempo em unidades consistentes com r, apresenta
um crescimento exponencial;
2. Em experimentos laboratoriais com alguns átomos que emitem parte de suas massas
como radiação e o restante como um novo elemento. Por exemplo, o carbono-14
radioativo decai para nitrogênio. No cálculo do número remanescente de núcleos
radioativos em qualquer tempo t, o modelo é y = y0e−rt, r > 0, onde y0 é o número de
núcleos radioativos presentes no instante zero e r é a taxa de decaimento, apresenta um
decaimento exponencial.
3
2 Funções Inversas
E a importância da função exponencial natural na modelagem de fenômenos naturais,
físicos e econômicos, deixa a suspeita de que poderíamos modelar processos contrários, como
fazem as funções inversas. Para isto precisamos saber:
Definição 3. Uma função f é injetora em um domínio D se,
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ D.
O que também pode ser abordado por,
x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2), ∀x1, x2 ∈ D.
Por exemplo,
1. f(x) =
√
x é injetora, pois f(x1) = f(x2) ⇒ √x1 = √x2 ⇒ x1 = x2;
2. f(x) = |x| é não é, pois f(x1) = f(x2) ⇒ |x1| = |x2| ⇒ x1 = ±x2;
3. f(x) = sen x não é em [0, pi], pois f(x1) = f(x2) ⇒ sen x1 = sen x2 ⇒ x2 = pi − x1 em
D.
Graficamente, uma função é injetora se, e somente se, seu gráfico cruzar cada reta
horizontal no máximo uma vez.
Assim, como cada valor de saída de uma função injetora tem origem em apenas um
valor de entrada, temos:
Definição 4. Seja f : D → R, onde R = Im(f) ⊂ Y , uma função injetora. A função inversa
f−1 : R→ D é definida por
f−1(b) = a,
onde f(a) = b.
4
:::::::::::::
Observação: Compondo uma função com sua inversa obtemos a função identidade:
1. (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(y) = x;
2. (f ◦ f−1)(y) = f(f−1(y)) = f(x) = y.
Por exemplo, se f(x) = x2 em [0,+∞) e sua inversa é f−1(x) = √x, então
f−1(f(x)) = f−1(x2) =
√
x2 = |x| = x
E
f(f−1(x)) = f(
√
x) = (
√
x)2 = |x| = x.
Definição 5. Chamamos de gráfico da inversa de uma função f , o conjunto
Gr(f−1) = {(y, x) ∈ R2|f(x) = y é injetora, ∀x ∈ D}.
Ou seja, determinamos o gráfico de y = f−1(x) a partir do gráfico de y = f(x) refle-
tindo o gráfico de f em torno da reta y = x.
Por exemplo,
Assim, o processo para obter de f sua inversa f−1 consiste em:
1. Resolver a equação y = f(x) para x;
2. Permutar x e y, obtendo y = f−1(x).
5
Por exemplo,
(a) para a inversa de y =
x+ 3
x− 2 :
1. Fazemos (x−2)y = x+3 ⇒ xy−2y−x−3 = 0 ⇒ x(y−1) = 2y+3 ⇒ x = 2y + 3
y − 1 ;
2. Logo, y =
2x+ 3
x− 1 é a inversa procurada.
(b) para a inversa de y = x3 + 2:
1. Fazemos y = x3 + 2 ⇒ x3 = y − 2 ⇒ x = 3
√
y − 2;
2. Logo, y = 3
√
x− 2 é a inversa procurada.
3 Função Logarítmica
Agora, dentre as funções inversas temos:
Definição 6. A função logarítmica com base a é a inversa da função exponencial de base
a, ou seja,
y = loga x ⇔ x = ay, a 6= 1 e a > 0.
E para ela temos:
1. Seu domínio é D(y) = (0,+∞), pois é a imagem da exponencial;
2. Sua imagem é Im(y) = (−∞,+∞), que é o domínio da exponencial.
3. A inversa da exponencial natural, y = ex, é dita função logarítmica natural e recebe
notação especial, y = lnx, ou seja,
lnx = y ⇔ ey = x.
4. Também, a inversa de y = 10x é escrita como y = log x e dita função logarítmica
comum;
5. E o gráfico da função logarítmica é uma reflexão por y = x do gráfico da exponencial:
Por exemplo, se g(x) = log2 x, então será a inversa de f(x) = 2
x:
6
E não podemos esquecer que compor y = ax com y = loga x resulta na função identi-
dade.
1. a(loga x) = x e loga(a
x) = x, a > 0, a 6= 1, x > 0;
2. e(lnx) = x e ln(ex) = x, x > 0.
Por exemplo, para resolver y em função de t quando ln y = 2t+ 4, fazemos,
eln y = e2t+4 ⇒ y = e2t+4.
Nesse momento é importante lembrarmos que:
Teorema 1. Para quaisquer números b > 0 e x > 0
1. ln bx = ln b+ lnx;
2. ln
b
x
= ln b− lnx;
3. ln
1
x
= − lnx;
4. lnxr = r lnx;
E isso pode ser estendido:
(a) a(loga x) = x ⇒ ln a(loga x) = lnx ⇒ (loga x) ln a = lnx ⇒ loga x =
lnx
ln a
.
(b) e(ln a
x) = ax ⇒ e(x ln a) = ax ⇒ ax = ex ln a .
E fechando as principais funções inversa temos as trigonométricas inversas, que
existem quando restringimos o domínio das seis funções básicas trigonométricas para
torna-las injetivas e possuírem inversas:
Por exemplo, y = sen x não é injetora em D = [−pi, pi], pois sen x = sen (pi − x) em [0, pi],
mas restrita a
[
−pi
2
,
pi
2
]
será.
Definição 7. Denotamosas seis funções inversas trigonométricas básicas por:
1. f : [−1, 1]→ R dada por y = sen−1x ou y = arc senx;
2. f : [−1, 1]→ R dada por y = cos−1 x ou y = arc cosx;
3. f : R→ R dada por y = tg−1x ou y = arc tg x;
4. f : (−∞,−1] ∪ [1,∞)→ R dada por y = cossec−1x ou y = arc cossecx;
5. f : (−∞,−1] ∪ [1,∞)→ R dada por y = sec−1 x ou y = arc secx;
6. f : R→ R dada por y = cotg−1x ou y = arc cotg x;
que lemos como “y igual ao arco seno de x” ou “y igual ao arc seno de x” e assim por diante.
7
:::::::::::::
Observação: O −1 não significa função recíproca, como por exemplo, a função recíproca do
seno é dada por (sen x)−1 =
1
sen x
.
E obtemos os gráficos das trigonométrica inversas por reflexão:
Dito de forma mais detalhada, por exemplo, y = sen−1x é o número no intervalo [−pi
2
,
pi
2
]
tal que sen y = x, ou também, y = cos−1 x é o número no intervalo [0, pi] tal que cos y = x.
Por exemplo, para a função f(x) = sen−1x tem-se f
(√
3
2
)
=
pi
3
, pois sen
pi
3
=
√
3
2
e
pi
3
∈
[
−pi
2
,
pi
2
]
.
Por fim, observemos que sen−1x e cos−1 x são ângulos complementares e cos−1 x e
cos−1(−x) são suplementares, isto é,
cos−1 x+ cos−1(−x) = pi e sen−1x+ cos−1 x = pi
2
.
8
	Comportamento Exponencial
	Funções Inversas
	Função Logarítmica