Lista_3

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Lista 3
Matrizes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
1. Supondo que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:
A4×5 B4×5 C5×2 D4×2 E5×4
Determine quais das seguintes expresso˜es matriciais esta˜o definidas. Para as que esta˜o
definidas, deˆ o tamanho da matriz resultante.
(a) BA
(b) AC +D
(c) AE +B
(d) AB +B
(e) E(A+B)
(f) E(AC)
(g) ETA
(h) (AT + E)D
2. Resolva a seguinte equac¸a˜o matricial em termos de a, b, c e d.[
a− b b+ c
3d+ c 2a− 4d
]
=
[
8 1
7 6
]
3. (a) Mostre que se AB e BA esta˜o ambas definidas, enta˜o AB e BA sa˜o matrizes quadradas.
(b) Mostre que se A e´ uma matriz m × n e A(BA) esta´ definida, enta˜o B e´ uma matriz
n×m.
4. Encontre a matriz A = [aij] de tamanho 4× 4 cujas entradas satisfazem a condic¸a˜o dada.
(a) aij = i+ j
(b) aij = i
j−1
(c) aij =
{
1 se |i− j| > 1
−1 se |i− j| ≤ 1
5. Sem efectuar eliminac¸a˜o (use um teorema da pg. 25 da teoria) calcule as inversas das
seguintes matrizes.
(a) A=
[
3 1
5 2
]
(b) B=
[
2 −3
4 4
]
(c) C=
[
6 4
−2 −1
]
(d) D=
[
2 0
0 3
]
6. Considere a matriz
A =

a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
...
0 0 . . . ann

Onde a11a22 . . . ann 6= 0. Determine a inversa de A
1
7. A soma de duas matrizes invert´ıveis e´ sempre uma matriz invert´ıvel?
8. Sejam A e B duas matrizes quadradas tais que AB = 0. Mostre que se A e´ invert´ıvel enta˜o
B = 0 .
9. Se A e´ uma matriz quadrada e n e´ um inteiro positivo, e´ verdade que (An)T = (AT )n ?
10. Mostre que
A =

0 a 0 0 0
b 0 c 0 0
0 d 0 e 0
0 0 f 0 g
0 0 0 h 0

e´ na˜o-invert´ıvel quaisquer que sejam os valores de a, b, c, d, e, f, g e h.
11. Voceˆ acredita que existe uma matriz A2×2 tal que
A.
[
a b
c d
]
=
[
b d
a c
]
para todos e quaisquer valores de a, b, c e d ? Explique o seu racioc´ınio.
12. Em cada al´ınea (parte), determine se a matriz esta´ em forma escalonada, escalonada reduzida
por linhas, ambas ou nenhuma das duas
(a)

1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0

(b)
 1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4

(c)
[
1 0 3 1
0 1 2 4
]
(d)
[
1 −7 5 5
0 1 3 2
]
(e)

1 3 0 2 0
1 0 2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

(f)

0 0
0 0
0 0
0 0

13. Resolva o exerc´ıcio 7 da lista 2 por eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.
14. Reduza  2 1 30 −2 −29
3 4 5

a` forma escalonada reduzida por linhas sem introduzir quaisquer frac¸o˜es.
Sugesta˜o: Use operac¸o˜es elementares mas na˜o siga o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.
2
15. Obtenha duas formas escalonadas por linhas, diferentes, da matriz[
1 3
2 7
]
16. Resolva o sistema de equac¸o˜es na˜o-lineares para os aˆngulos inco´gnitos α, β e γ , onde
0 ≤ α ≤ 2pi, 0 ≤ β ≤ 2pi e 0 ≤ γ < pi
2.sen(α) − cos(β) + 3.tg(γ) = 3
4.sen(α) + 2.cos(β) − 2.tg(γ) = 2
6.sen(α) − 3.cos(β) + tg(γ) = 9
17. Encontre um sistema linear inconsistente que tem mais inco´gnitas do que equac¸o˜es.
18. Considere as matrizes
A =
 3 4 12 −7 −1
8 1 5
 , B =
 8 1 52 −7 −1
3 4 1
 e C =
 3 4 12 −7 −1
2 −7 3

Encontre as matrizes elementares E1, E2, E3 e E4 tais que
(a) E1A = B (b) E2B = A (c) E3A = C (d) E4C = A
19. Resolva o seguinte sistema linear geral invertendo a matriz de coeficiente do sistema (use o
segundo teorema da pa´gina 26)
x1 + 2x2 + x3 = b1
x1 − x2 + x3 = b2
x1 + x2 = b3
Indique a soluc¸a˜o como uma fo´rmula envolvendo b1, b2 e b3 .
20. Resolva a seguinte equac¸a˜o em X 1 −1 12 3 0
0 2 −1
 .X =
 2 −1 5 7 84 0 −3 0 1
3 5 −7 2 1

21. Se A e´ uma matriz n× n e b e´ uma matriz n× 1, quais as condic¸o˜es que voceˆ imporia para
garantir que a equac¸a˜o matricial x = Ax + b tem uma u´nica soluc¸a˜o em x ?
22. Supondo que A e´ uma matriz n × n invert´ıvel. O sistema Ax = x precisa ter uma soluc¸a˜o
u´nica? Explique o seu racioc´ınio.
23. E´ poss´ıvel ter AB = I e B na˜o ser inversa de A? Explique o seu racioc´ınio.
24. Sem efectuar nenhum ca´lculo (por inspecc¸a˜o) encontre A2, A−2 e Ak.
3
(a)
[
1 0
0 −2
]
(b)
 12 0 00 1
3
0
0 0 1
4

25. Encontre todos os valores de a, b e c para os quais a matriz A e´ sime´trica 2 a− 2b+ 2c 2a+ b+ c3 5 a+ c
0 −2 7

26. Seja A uma matriz sime´trica, mostre que
(a) A2 e´ sime´trica (b) A2 − 3A+ 3I e´ sime´trica.
27. Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistema
ax + by − 3z = −3
−2x − by + cz = −1
ax + 3y − cz = −3
tenha a soluc¸a˜o x = 1, y = −1 e z = 2 ?
28. Se A e´ uma matriz m×n e B n×p, quantas operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o sa˜o necessa´rias
para calcular AB?
29. Encontre valores de a, b e c tais que o gra´fico da func¸a˜o polinomial f(x) = ax2 + bx+ c passe
pelos pontos de coordenadas (1, 2), (−1, 6) e (2, 3)
30. Encontre um sistema linear homogeˆnio de duas equac¸o˜es que na˜o sa˜o mu´ltiplas uma da outra
tal que
x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2
e
x1 = 2, x2 = 0, x3 = 3, x4 = −1
sa˜o soluc¸o˜es do sistema.
4