Lista_4

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Lista 4
Determinantes
1. Encontre o nu´mero de inverso˜es em cada uma das seguintes permutac¸o˜es de {1, 2, 3, 4, 5}
(a) (41352)
(b) (53421)
(c) (32541)
(d) (12345)
(e) (12345)
(f) (14235)
(g) (54321)
2. Classifique cada uma das permutac¸o˜es do exerc´ıcio 1 como par ou impar.
3. Calcule os determinantes.
(a)
∣∣∣∣ 3 5−2 4
∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣ 4 18 2
∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣ −5 6−7 −2
∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣ a− 3 5−3 a− 3
∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
−2 7 6
5 1 −2
3 8 4
∣∣∣∣∣∣ (f)
∣∣∣∣∣∣
−2 1 4
3 5 −7
1 6 2
∣∣∣∣∣∣ (g)
∣∣∣∣∣∣
−1 1 2
3 0 −5
1 7 2
∣∣∣∣∣∣
(i)
∣∣∣∣∣∣
3 0 0
2 −1 5
1 9 −4
∣∣∣∣∣∣ (j)
∣∣∣∣∣∣
c −4 3
2 1 c2
4 c− 1 2
∣∣∣∣∣∣
4. Encontre os valores de λ para os quais det(A) = 0.
(a) A =
[
λ− 2 1
−5 λ+ 4
]
(b) A =
 λ− 4 0 00 λ 2
0 3 λ− 1

5. Classifique cada pemutac¸o˜es de {1, 2, 3, 4} como par ou impar.
6. Use as respostas do exerc´ıcio anterior para construir uma fo´rmula para o determinante de
uma matriz 4× 4
7. Use a fo´rmula obtida no exerc´ıcio anterior para calcular o determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 −9 9 2
−2 5 6 4
1 2 −5 −3
1 −2 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
8. Calcule
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 0 0 0 0
0 0 0 0 −4
0 0 3 0 0
0 0 0 1 0
0 −2 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
9. Calcule os determinantes simplificando (se necessa´rio) as matrizes.
(a)
∣∣∣∣∣∣
3 −17 4
0 5 1
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
√
2 0 0 0
−8 √2 0 0
7 0 −1 0
9 5 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)
∣∣∣∣∣∣
1 −2 3
2 −4 6
5 −8 1
∣∣∣∣∣∣
10. Calcule os determinantes reduzindo as matrizes a` sua forma escalonada por linhas.
(a)
∣∣∣∣∣∣
3 6 −9
0 0 −2
−2 1 5
∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣
0 3 1
1 1 2
3 2 4
∣∣∣∣∣∣ (c)
∣∣∣∣∣∣
1 −3 0
−2 4 1
5 −2 2
∣∣∣∣∣∣ (d)
∣∣∣∣∣∣
3 −6 9
−2 7 −2
0 1 5
∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ (f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ (g)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
11. Use a reduc¸a˜o de linhas (colunas) para mostrar que∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b)
12. Fazendo uso dos resultados obtidos na aula teo´rica, indique quais das seguintes matrizes sa˜o
invert´ıveis.
(a)
 1 0 −19 −1 4
0 9 −1
 (b)
 4 2 8−2 1 −4
3 1 6
 (c)
 √2 −√7 03√2 −3√7 0
5 −9 0

(d)
 −3 0 15 0 6
8 0 3

2
13. Seja
A =
 a b cd e f
g h i

Assumindo que det(A) = −7, determine
(a) det(3A) (b) det(A−1) (c) det(2A−1) (d) det((2A)−1) (e)
∣∣∣∣∣∣
a g d
b h e
c i f
∣∣∣∣∣∣
14. Sejam A e B matrizes n× n. Mostre que se A e´ invert´ıvel enta˜o det(B) = det(A−1BA).
15. Seja
A =
 1 −2 36 7 −1
−3 1 4

(a) Encontre todos os menores de A.
(b) Encontre todos os cofactores.
16. Seja
A =

4 −1 1 6
0 0 −3 3
4 1 0 14
4 1 3 2

Determine
(a) M13 e C13 (b) M23 e C23 (c) M22 e C22 (d) M21 e C21
17. Calcule o determinante do exerc´ıcio anterior por expansa˜o de cofactores ao longo
(a) da primeira linha (b) da primeira coluna
(d) da segunda coluna (e) da terceira linha
18. Para a matriz do exerc´ıcio 15, calcule
(a) adj(A) (b) A−1
19. Calcule por expansa˜o de cofactores ao longo de uma linha ou coluna qualquer, o determinante
das matrizes.
3
(a) P =
 3 3 11 0 −4
1 −3 5
 (b) X =
 k + 1 k − 1 72 k − 3 4
5 k + 1 k

(c) Y =

3 3 0 5
2 2 0 −2
4 1 −3 0
2 10 3 2
 (d) Z =

4 0 0 1 0
3 3 3 −2 0
1 2 4 2 3
9 4 6 2 3
2 2 4 2 3

20. Resolva utilizando a Regra de Cramer, onde esta for aplica´vel.
(a)
{
7x1 − 2x2 = 3
3x1 + x2 = 5
(b)

4x+ 5y = 2
11x+ y + 2z = 3
x+ 5y + 2z = 1
(c)

x− 4y + z = 6
4x− y + 2z = − 1
2x+ 2y − 3z = −20
(d)

−x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −32
2x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14
−x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11
x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = −4
(e)

3x1 − x2 + x3 = 4
−x1 + 7x2 − 2x3 = 1
2x1 + 6x2 − x3 = 5
21. Use a Regra de Cramer para resolver o sistema para y sem o resolver para x, z, e w.
4x+ y + z + w = 6
3x+ 7y − z + w = 1
7x+ 3y − 5z + 8w = −3
x+ y + z + 2w = 3
4