AP2 - 2012-2 GABARITO

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1
Questa˜o 1 (3 pontos). Encontre o conjunto das respostas das inequac¸o˜es a seguir.
a) 2x+ 7 ≤ −3x+ 4
Soluc¸a˜o: 2x+ 7 ≤ −3x+ 4⇔ 5x ≤ −3⇔ x ≤ −3/5.
Resposta: (−∞,−3/5]
b) −|3− 4x| < −5
Soluc¸a˜o: −|3 − 4x| < −5⇔ |3− 4x| > 5⇔ (3− 4x > 5 ou 3− 4x < −5)
⇔ (−4x > 2 ou − 4x < −8)⇔ (x < −1/2 ou x > 2).
Resposta: (−∞,−1/2) ∪ (2,∞).
c) 2(x+ 5)2 ≥ 2x+ 14
Soluc¸a˜o: 2(x+ 5)2 ≥ 2x+ 14⇔ 2x2 + 20x+ 50 ≥ 2x+ 14⇔ 2x2 + 18x+ 36 ≥ 0
⇔ x2 + 9x+ 18 ≥ 0⇔ (x+ 3)(x+ 6) ≥ 0
(o u´ltimo passo acima pode ser obtido tanto por Bhaskara quanto pela fo´rmula da
soma e do produto das ra´ızes). Conclu´ımos que as ra´ızes da equac¸a˜o x2 + 9x+ 18 = 0
sa˜o -3 e -6. Pela concavidade da para´bola (a > 0) vemos que o conjunto procurado e´
(−∞,−3]∪[−6,∞) (tambe´m poder´ıamos ter usado ana´lise de sinais em (x+3)(x+6) ≥
0 para chegar a esta conclusa˜o).
Questa˜o 2 (2 pontos). Resolva o sistema:


y + x2 − 2x = −4
x+ y = −8
1
Soluc¸a˜o: Da segunda equac¸a˜o temos que y = −8−x. Substituindo na primeira, obtemos:
−8− x+ x2 − 2x = −4⇔ x2 − 3x− 4 = 0
Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do
produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −1 e x2 = 4. Para resolver o sistema ainda
temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta. Para x1 = −1
temos y1 = −8 − (−1) = −7. Para x2 = 4 temos y2 = −8 − 4 = −12. Logo as soluc¸o˜es do
sistema sa˜o (x1, y1) = (−1,−7) e (x2, y2) = (4,−12).
Questa˜o 3 (2 pontos). Represente geometricamente o conjunto abaixo:
{(x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0 e | − 3x− 2y + 6| < 4}
Soluc¸a˜o: Temos que resolver a inequac¸a˜o modular | − 3x− 2y + 6| < 4.
Para que valha |−3x−2y+6| < 4 devemos ter uma das seguintes opc¸o˜es: −4 < −3x−2y+6 <
4⇔ −10 < −3x− 2y < −2⇔ −10 + 3x < −2y < −2 + 3x⇔ 5− 3x
2
> y > 1− 3x
2
.
Primeiro representamos as retas r : y = 1− 3x
2
e s : y = 5− 3x
2
, depois demarcamos a regia˜o.
Para representar r observamos que quando x = 0 temos y = 1 e quando y = 0 temos
x = 2/3.
Para representar s observamos que quando x = 0 temos y = 5 e quando y = 0 temos
x = 10/3.
2
Em seguida demarcamos a regia˜o observando que, pelas desigualdades dadas, esta deve
estar abaixo de s e acima de r, e ainda respeitar a positividade de x e y. Vale notar que
os pontos pertencentes a`s retas desenhadas (incluindo os ve´rtices da regia˜o demarcada) na˜o
pertencem ao conjunto (pois as desigualdades sa˜o estritas). Ja´ os intervalos dos eixos entre
estas duas retas pertencem ao conjunto. Essa diferenciac¸a˜o e´ representada no gra´fico atrave´s
de segmentos cont´ınuos ou tracejados.
Questa˜o 4 (3 pontos). Certo produto tem sua demanda dada por uma func¸a˜o afim. Ale´m
disso, quando o produto e´ vendido a 2 reais, a demanda e´ de 3000 unidades e, se o prec¸o
for elevado a 6 reais, a demanda cai para 1000 unidades. Sabe-se, ainda, que a oferta deste
produto e´ dada pela fo´rmula Q(x) = 500(x2 − 3x).
a) Qual a fo´rmula da func¸a˜o D(x) que representa a demanda relacionada a este produto
em func¸a˜o de seu prec¸o x?
Soluc¸a˜o: Sabemos que a func¸a˜o e´ afim, logo sua fo´rmula pode ser expressa como
D(x) = ax + b onde a e b sa˜o nu´meros reais. Quando o produto custa 2 reais, sa˜o
3
demandadas 3000 unidades, logo a × 2 + b = 3000 e quando o produto custa 6 reais
sa˜o demandadas 1000 unidades, donde a×6+ b = 1000. Da primeira equac¸a˜o obtemos
b = 3000−2a, que substituindo na segunda, nos da´ 6a+3000−2a = 1000. Resolvendo
esta, obtemos 4a = −2000, isto e´, a = −500. Agora podemos obter b = 3000 − 2a =
3000− (−1000) = 4000. Logo a func¸a˜o demanda e´
D(x) = −500x+ 4000
.
b) Qual e´ o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta (prec¸o mı´nimo do produto) e qual o valor
acima do qual na˜o ha´ demanda (prec¸o ma´ximo)?
Soluc¸a˜o: Para achar o prec¸o abaixo do qual na˜o ha´ oferta, basta igualar a oferta a zero.
500(x2 − 3x) = 0⇔ (x2 − 3x) = 0⇔ x(x− 3) = 0
Vemos, portanto, que para que a oferta seja positiva e´ necessa´rio que o prec¸o seja maior
que 3 reais (abaixo disso ter´ıamos “oferta negativa”).
Ja´ quanto a` demanda, vemos que esta se anula quando −500x + 4000 = 0, isto e´,
quando 4000 = 500x. Dividindo, obtemos que o prec¸o ma´ximo acima do qual na˜o ha´
demanda para o produto e´ 8 reais.
c) Qual o prec¸o e a quantidade de equil´ıbrio do produto? Para responder a esta pergunta
devemos encontrar qual o prec¸o que torna a demanda igual a` oferta:
500(x2−3x) = −500x+4000⇔ x2−3x = −x+8⇔ x2−3x+x−8 = 0⇔ x2−2x−8 = 0
. Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o por Bhaskara ou por soma e produto, obtemos como
ra´ızes x = 4 e x = −2. Observamos que x representa o prec¸o do produto, logo na˜o
4
deve ser negativo. Portanto o prec¸o de equil´ıbrio deve ser 4 reais.
Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio, vamos substituir este valor na fo´rmula da
demanda:
D(4) = −500× 4 + 4000 = 2000
Logo a quantidade de equil´ıbrio e´ de duas mil unidades.
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