AP2 2013-1 gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1
Questa˜o 1. Encontre o conjunto soluc¸a˜o para a inequac¸a˜o apresentada em cada item abaixo:
a) (1 ponto) −5x− 4 ≥ −2x+ 23
b) (2 pontos) |2x+ 3| − 2 > 3
Soluc¸a˜o:
a)
−5x− 4 ≥ −2x+ 23
−3x ≥ 27
x ≤ −9
Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−9]
b) |2x+ 3| − 2 > 3⇔ |2x+ 3| > 5 o que significa que 2x+ 3 < −5 ou 2x+ 3 > 5. No
primeiro caso temos 2x < −8 ⇔ x < −4 e no segundo caso temos 2x > 2 ⇔ x > 1.
Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ S = (−∞,−4) ∪ (1,+∞).
Questa˜o 2 (2 pontos). Resolva o sistema:


−2y + 3x2 − 10x = 3
2x+ y = 3
1
Soluc¸a˜o: Da segunda equac¸a˜o temos que y = 3 − 2x. Substituindo na primeira,
obtemos:
−6 + 4x+ 3x2 − 10x = 3⇔ 3x2 − 6x− 9 = 0
Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do
produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −1 e x2 = 3. Para resolver o sistema
ainda temos que encontrar os valores de y e montar os pares ordenados da resposta.
Para x1 = −1 temos y1 = 3 + 2 = 5. Para x2 = 3 temos y2 = 3 − 6 = −3. Logo as
soluc¸o˜es do sistema sa˜o (x1, y1) = (−1, 5) e (x2, y2) = (3,−3).
Questa˜o 3 (5 pontos). Considere que as func¸o˜es de demanda e oferta de certo produto
sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P
2
4
+ 2 e Q(P ) =
2
3
P − 1
3
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q nos da˜o a demanda e a oferta em milho˜es
de unidades.
a) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for de R$ 0,90?
b) Qual e´ o prec¸o mı´nimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo?
c) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o
ha´ demanda pelo mesmo?
d) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
e) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e oferta deste produto.
Soluc¸a˜o:
a) D(0, 90) = −0, 92/4+2 = 2−0, 81/4 que e´ aproximadamente 1,8. Logo, a demanda
sera´ de aproximadamente um milha˜o e oitocentas mil unidades quando o prec¸o for 90
centavos.
2
b) Para encontrar o prec¸o mı´nimo, devemos descobrir para qual valor de P temos
Q(P ) = 0.
Q(P ) = 0⇔ 2
3
P − 1
3
= 0⇔ 2
3
P =
1
3
⇔ P = 0, 5
Logo, o prec¸o mı´nimo e´ de R$ 0,50.
c) Para encontrar o prec¸o ma´ximo, devemos descobrir para qual valor de P temos
D(P ) = 0.
D(P ) = 0⇔ −P
2
4
+ 2 = 0⇔ P
2
4
= 2⇔ P 2 = 8⇔ P =
√
8
Logo, o prec¸o ma´ximo corresponde a aproximadamente 2,83 reais (e´ suficiente concluir
que P =
√
8).
d) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos
D(P ) = Q(P ).
D(P ) = Q(P )⇔ −P
2
4
+2 =
2
3
P − 1
3
⇔ −P
2
4
− 2
3
P +2+
1
3
= 0⇔ −P
2
4
− 2
3
P +
7
3
= 0
⇔ 3P 2 + 8P − 28 = 0
Resolvendo por Bhaskara, obtemos ∆ = 400 e duas ra´ızes, sendo uma negativa (que
na˜o nos interessa) e outra dada por P = 2. Logo, conclu´ımos que o prec¸o de equil´ıbrio
para este produto e´ de 2 reais.
e)
3
4