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119 ap1 metdet i 2011 2 gab[1]

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2011.1
NA˜O SERA˜O ACEITAS RESPOSTAS SEM DESENVOLVIMENTO QUE AS JUSTIFIQUEM.
Questa˜o 1 (3 pontos). Considere as seguintes premissas sobre o conjunto A:
1) A ⊂ Z
2) (∃x ∈ A; x < 15)⇒ 10 ∈ A
3) 7 /∈ A ou 6 /∈ A
4) 10 ∈ A⇔ (∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, x ∈ A)
Analise as premissas acima e diga o que se pode concluir a partir delas sobre o conjunto
A. E´ necessa´rio que voceˆ apresente o racioc´ınio que usou para deduzir sua conclusa˜o a partir
das premissas dadas e que aponte sua conclusa˜o de forma destacada do resto de sua
resposta.
Soluc¸a˜o:
Pela primeira premissa, sabemos que A e´ um subconjunto dos inteiros. A quarta premissa
nos diz que 10 pertence a A se e somente se todos os naturais menores que 10 tambe´m
pertencem. Mas a terceira premissa nos diz que 6 na˜o pertence a A ou 7 na˜o pertence a A,
logo nem todos os naturais menores do que 10 pertencem a A. Isso nos permite concluir que
10 na˜o pertence a A. A segunda premissa nos diz que se existe um elemento em A menor
que 15, enta˜o 10 pertence a A. Como ja´ sabemos que 10 na˜o pertence a A, conclu´ımos que
na˜o existe nenhum elemento menor que 15 em A.
Conclusa˜o: A ⊂ {15, 16, 17, 18, . . .} (veja que na˜o temos como saber se vale a igual-
dade).
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Questa˜o 2 (1 pontos). Uma loja vende uma torradeira a` vista por 90 reais. Se o consumidor
na˜o quiser pagar a` vista a loja oferece tambe´m a seguinte opc¸a˜o de pagamento: entrada de
50 reais no ato da compra e parcela de 50 reais um meˆs depois. Qual e´ a taxa de juros
mensal que a loja esta´ adotando neste financiamento? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
O produto a` vista vale 90 reais. Se o consumidor opta pelo parcelamento, paga 50 reais
no ato da compra e fica devendo 40 reais. Um meˆs depois, em vez de pagar os 40 reais que
ficou devendo, pagara´ 50. Isso significa que esta´ pagando 10 reais a t´ıtulo de juros sobre os
40 reais que ficou devendo. Como 10 e´ 25% de 40, esta e´ a taxa de juros adotada pela loja
neste financiamento: 25%.
Questa˜o 3 (3 pontos). Resolva as expresso˜es abaixo (no item b, assumimos que a 6= b e
a 6= −b):
a)
(
2
5
)
−2
×
(
4
81
) 12
24
+
√
3
(
3
8
)
−
3
9
b)
a2 − b2
a+ b
(a− b)− a
√
a4 − b4
a2 − b2 − 2ab
Soluc¸a˜o:
2
a)
(
2
5
)
−2
×
(
4
81
) 12
24
+
√
3
(
3
8
)
−
3
9
=
25
4
×
(
4
81
) 1
2
+
√
3
(
8
3
) 1
3
=
25
4
× 2
9
+
√
3× 2√
3
=
25
18
+ 2
=
25
18
+
36
18
=
61
18
b)
a2 − b2
a + b
(a− b)− a
√
a4 − b4
a2 − b2 − 2ab
=
(a+ b)(a− b)
a+ b
(a− b)− a
√
(a2 − b2)(a2 + b2)
a2 − b2 − 2ab
= (a− b)(a− b)− a
√
(a2 + b2)− 2ab
= a2 + b2 − 2ab− a
√
(a− b)2
= a2 + b2 − 2ab− a(a− b)
= a2 + b2 − 2ab− a2 + ab
= b2 − ab
Questa˜o 4 (2 pontos). Considere o enunciado abaixo:
Se Anderson e´ advogado, enta˜o Bruno e´ balconista ou Celso e´ cozinheiro. Se Celso e´ cozi-
nheiro, Davi e´ dentista. Se Anderson na˜o e´ advogado, enta˜o Fla´vio e´ fiscal de rendas. Mas
Davi e´ dentista se e somente se Elder e´ escriva˜o. Ora, Elder na˜o e´ escriva˜o e Bruno na˜o e´
balconista.
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a) Escreva todas as proposic¸o˜es elementares que aparecem neste enunciado, identificando
cada uma delas com uma letra de nosso alfabeto.
b) Usando as letras que voceˆ escolheu no item acima para identificar as proposic¸o˜es,
reescreva as premissas do enunciado com os s´ımbolos da lo´gica.
c) Analisando as premissas, decida se cada uma das proposic¸o˜es elementares e´ verdadeira
ou falsa.
Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es:
a: Anderson e´ advogado;
b: Bruno e´ balconista;
c: Celso e´ cozinheiro;
d: Davi e´ dentista;
e: Elder e´ escriva˜o;
f : Fla´vio e´ fiscal de rendas;
b) Premissas:
1) a⇒ (b ∨ c)
2) c⇒ d
3) ∼ a⇒ f
4) d⇔ e
5) ∼ e∧ ∼ b
c) Pela premissa 5, temos que e e´ falsa e b e´ falsa. Como e e´ falsa, a premissa 4 nos
garante que d e´ falsa. Como d e´ falsa, a premissa 2 implica que c e´ falsa. Como b e´
falsa e c tambe´m, a premissa 1 nos da´ que a e´ falsa. Como a e´ falsa, ∼ a e´ verdadeira,
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donde podemos concluir, usando a premissa 3, que f e´ verdadeira. Logo a proposic¸a˜o f e´
verdadeira (isto e´, Fla´vio e´ fiscal de rendas) e todas as outras sa˜o falsas.
Questa˜o 5 (1 ponto). Considere os conjuntos B = {5, 7} e D = {5, 7} (que sa˜o iguais).
Classifique cada proposic¸a˜o abaixo em verdadeira ou falsa e justifique suas respostas:
a) Existe x pertencente a B e existe y pertencente a D tais que x = y (V).
Tome, por exemplo, x=5 em B e y=5 em D. Temos que x=y.
b) Existe x pertencente a B tal que para todo y pertencente a D, x = y(F).
Os elementos de B sa˜o 5 e 7. Para x=5, tomando y=7 temos que x e´ diferente de y.
Para x=7, tomando y=5 temos que x e´ diferente de y. Logo na˜o ha´ nenhum x em B
tal que para qualquer y em D vale x=y.
c) Para todo x pertencente a B existe y pertencente a D tal que x = y(V).
Os elementos de B sa˜o 5 e 7. Para x=5, podemos tomar y = 5 em D e temos que x=y.
Para x=7, podemos tomar y = 7 em D e temos que x=y. Logo para todo elemento x
em B existe um elemento y em D que satisfaz x=y.
d) Para todo x pertencente a B e para todo y pertencente a D, x = y(F).
Tome x = 5 em B e y = 7 em D. Temos que x na˜o e´ igual a y. Logo na˜o e´ verdade que
para qualquer x em B e qualquer y em D vale x=y.
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