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Lista de Exercicios Cálculo 2 1º Estágio

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo II
Professor: Jefferson Abrantes
Lista de Exercícios para a Primeira Avaliação
1. Calcule as integrais:
a).
∫ ∞
0
dx
x2 + 1
. d).
∫ 1
0
dx√
1− x2 .
b).
∫ 1
0
dx√
x
. e).
∫ −2
−∞
2dx
x2 − 1dx.
c).
∫ 1
−1
dx
x2/3
. f).
∫ +∞
−∞
2xdx
(x2 + 1)2
.
2. Utilize o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite
para testar as integrais quanto à convergência.
a).
∫ pi/2
0
tgθ dθ. d).
∫ ln2
0
x−2e−1/xdx. g).
∫ ∞
2
dx
lnx
.
b).
∫ ∞
pi
1 + senx
x2
dx. e).
∫ 1
0
dt
t− sentdx. h).
∫ ∞
1
exdx
x
.
c).
∫ pi
0
senθ dθ√
pi − θ . f).
∫ ∞
2
dx√
x2 − 1 . i).
∫ ∞
−∞
dx√
x4 + 1
.
3. Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os
valores de p > 0 para que a integral imprópria
a).
∫ ∞
1
s
1
p
s1+
1
N
ds divirga.
b).
∫ 1
0
s
1
p
s1+
1
N
ds convirga.
1
Agora, utilizando os itens (a) e (b) conclua para que valores de p > 0
a função
fp(t) =
∫ t
0
s
1
p
s1+
1
N
ds, t > 0,
está bem definida no espaço X, de modo que
lim
t→+∞
fp(t) = +∞.
4. O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = −1
e x = 1. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são discos
circulares cujos diâmetros de estendem da parábola y = x2 à parábola
y = 2− x2.
5. A base de um sólido é a região entre a curva y = 2
√
senx e o intervalo
[0, pi] no eixo x. As seções transversais perpendicalares ao eixo x são:
a. triângulos equiláteros com bases que se estendem do eixo x à curva,
como mostra a figura a seguir.
b. quadrados com bases que se estendem do eixo x à curva.
6. A base do sólido é o disco x2 + y2 ≤ 1. As seções transversais por
planos perpendiculares ao eixo y entre y = −1 e y = 1 são triângulos
retângulos isôsceles com um cateto no disco.
2
7. Determine o volume de tetraedro dado. (Sugestão: considere fatias
perpendiculares às bordas rotuladas.)
8. Determine o volume da pirâmide dada, que tem uma base quadrada de
área 9 e altura 5.
9. Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = 0
e x = 12. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são discos
3
circulares cujos diâmetros vão da reta y = x/2 à reta y = x, conforme
mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.
10. Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombre-
ada em torno do eixo dado.
a). Em torno do eixo x. c). Em torno do eixo y.
b). Em torno do eixo y. d). Em torno do eixo x.
4
11. Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões som-
breadas em torno dos eixos indicados.
a). O eixo x. b). O eixo y.
12. Você é o encarregado de projetar um peso de latão para prumo que
pesará aproximadamente 190g, e decide concebê-lo como o sólido de
revolução mostrado aqui. Determine o volume do peso. Se você espe-
cificar um latão com dendidade 8, 5g/cm3, qual será o peso em gramas
do prumo (arredonde para o inteiro mais próximo)?
13. Você está projetando uma frigideira que terá o formato de uma tigela
esférica com alças. Ao fazer uma experimentação em casa, percebe que
conseguirá um modelo com cerca de 3l de capacidade, se a profundi-
dade for de 9m e o raio da esfera, 16m. Para ter certeza, você desenha
a frigideira como um sólido de revolução, como se vê na figura, e cal-
cula seu volume com uma integral. Arredondando para o inteiro mais
próximo, qual será o volume obtido em cm3? (1l = 1000cm3.)
5
14. O arco y = senx, 0 ≤ x ≤ pi gira em torno da reta y = c, 0 ≤ c ≤ 1,
para gerar o sólido da figura a seguir.
15. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obti-
dos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.
6
a). d).
b). Em torno do eixo y. e). Em torno do eixo y.
c). d). Em torno do eixo y.
7
16. Seja f(x) =
{
(senx)/x, 0 < x ≤ pi
1, x = 0.
a). Mostre que xf(x) = senx, 0 ≤ x ≤ pi.
b). Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região som-
breada em torno do eixo y na figura a seguir.
17. Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos
com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.
a). O eixo x. c). A reta y = 8/5
b). A reta y = 1. d). A reta y = −2/5.
18. A região apresentada aqui gira em torno do eixo x para gerar um sólido.
Qual método (do disco, do anel, da casca) você usaria para determinar
o volume do sólido? Quantas integrais seriam necessárias em cada caso?
Explique.
8
Bons Estudos!
9

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