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exercício resolvido de cálculo lll

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1 
 
Respostas 
 
 
Nem sempre é necessário calcular por caminhos o limite. Só utilizaremos este 
artifício se a função f (x,y) não estiver definida naquele caminho. 
 
Exemplo: Calcule, caso exista, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Não existe um número estipulado de caminhos para tentar. Recomendamos, caso 
tenham sido feitos três ou quadro caminhos e não se conseguiu provar que o 
limite não existe, pois os limites estão dando sempre o mesmo resultado, se 
passe para a demonstração que veremos a seguir. 
 
Lembre-se que se estamos fazendo por caminhos é porque a função não esta 
definida no ponto estudado. 
 
Observe ainda que não é porque tentou n caminhinhos e todos tiveram o mesmo 
resultado para o limite que poderemos afirmar que a função tem limite e este é 
o valor que encontramos nos n limites. 
 
Pode existir o caminho n+1 e este não ter o mesmo valor do limite encontrado 
para os n limites anteriores. Lembre-se: temos infinitos caminhos. Portanto, só 
poderemos afirmar que o limite existe utilizando a demonstração a seguir. 
 
Caso especial: O limite está sendo o mesmo em n caminhos diferentes tomados. 
 
Exemplo: Calcule, caso exista, 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y =0 e f(x,y) = f(x,0) = 
 
 
 , 
para x ≠ 0. Portanto 
 
 
 
 
Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x = 0 e f(x,y) = f(0,y) = 
 
 
 , 
para y ≠ 0. Portanto 
 
 
 
 
Terceiro caminho: Sobre a reta y = mx e f(x,y) = f(x,mx) = 
 
 
 
 
 
, 
colocando x em evidência podemos simplificar a expressão. 
 
 
para x ≠ 0. 
Portanto, . 
 
Mesmo com as três tentativas tendo o mesmo resultado não podemos concluir 
que limite existe e é igual a 
 
 
 , podemos apenas suspeitar 
que este seja o limite. 
 
Portanto vamos recorrer ao Teorema do Confronto e a definição de limite que: 
 
Definição de limite (regra 4): 
 
 
Usando a definição de limite temos |f(x,y) - L| = |f(x,y) - 0| = |f(x,y)|, L é o 
limite que achamos nas três tentativas. 
 
Portanto |f(x,y)| = 
 
 
 . 
 
Pelo teorema do confronto podemos tomar x2 ≤ x2 + y2. Se multiplicarmos a 
expressão por y e em seguida dividirmos por x2 + y2. Encontraremos: 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
Passando o módulo na expressão encontramos: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, substituindo |f(x,y)| = 
 
 
 e simplificando a expressão podemos 
escrever que: 
 
 
 
Perguntas: Como decidiu por x2 ≤ x2 + y2 ? 
Observe que o denominador da expressão possui x2 + y2, portanto temos que ter 
uma função que seja menor que ela mas que tenha relação com o numerador da 
função f(x,y). 
 
O objetivo é sempre realizar operações de forma a construir f (x,y) para 
podermos usar o teorema do confronto. 
 
Lembre-se: Se f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) para e se 
 . Então 
 
Agora, então, temos que: 
 
Usando a definição de distância dada anteriormente ( 
 ) e o Teorema do Confronto podemos concluir: 
 
  
 
 
Podemos também concluir que |y| ≤ . Segue então, que |y| ≤ e 
|f(x,y)| ≤ ( . 
 
 
 
 4 
 
Portanto, |f(x,y)| tende a zero quando tende a zero. 
 
Podemos concluir que o limite da função 
 
 
 existe e é zero.

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