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1 Respostas Nem sempre é necessário calcular por caminhos o limite. Só utilizaremos este artifício se a função f (x,y) não estiver definida naquele caminho. Exemplo: Calcule, caso exista, . Não existe um número estipulado de caminhos para tentar. Recomendamos, caso tenham sido feitos três ou quadro caminhos e não se conseguiu provar que o limite não existe, pois os limites estão dando sempre o mesmo resultado, se passe para a demonstração que veremos a seguir. Lembre-se que se estamos fazendo por caminhos é porque a função não esta definida no ponto estudado. Observe ainda que não é porque tentou n caminhinhos e todos tiveram o mesmo resultado para o limite que poderemos afirmar que a função tem limite e este é o valor que encontramos nos n limites. Pode existir o caminho n+1 e este não ter o mesmo valor do limite encontrado para os n limites anteriores. Lembre-se: temos infinitos caminhos. Portanto, só poderemos afirmar que o limite existe utilizando a demonstração a seguir. Caso especial: O limite está sendo o mesmo em n caminhos diferentes tomados. Exemplo: Calcule, caso exista, 2 Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y =0 e f(x,y) = f(x,0) = , para x ≠ 0. Portanto Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x = 0 e f(x,y) = f(0,y) = , para y ≠ 0. Portanto Terceiro caminho: Sobre a reta y = mx e f(x,y) = f(x,mx) = , colocando x em evidência podemos simplificar a expressão. para x ≠ 0. Portanto, . Mesmo com as três tentativas tendo o mesmo resultado não podemos concluir que limite existe e é igual a , podemos apenas suspeitar que este seja o limite. Portanto vamos recorrer ao Teorema do Confronto e a definição de limite que: Definição de limite (regra 4): Usando a definição de limite temos |f(x,y) - L| = |f(x,y) - 0| = |f(x,y)|, L é o limite que achamos nas três tentativas. Portanto |f(x,y)| = . Pelo teorema do confronto podemos tomar x2 ≤ x2 + y2. Se multiplicarmos a expressão por y e em seguida dividirmos por x2 + y2. Encontraremos: 3 Passando o módulo na expressão encontramos: Portanto, substituindo |f(x,y)| = e simplificando a expressão podemos escrever que: Perguntas: Como decidiu por x2 ≤ x2 + y2 ? Observe que o denominador da expressão possui x2 + y2, portanto temos que ter uma função que seja menor que ela mas que tenha relação com o numerador da função f(x,y). O objetivo é sempre realizar operações de forma a construir f (x,y) para podermos usar o teorema do confronto. Lembre-se: Se f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) para e se . Então Agora, então, temos que: Usando a definição de distância dada anteriormente ( ) e o Teorema do Confronto podemos concluir: Podemos também concluir que |y| ≤ . Segue então, que |y| ≤ e |f(x,y)| ≤ ( . 4 Portanto, |f(x,y)| tende a zero quando tende a zero. Podemos concluir que o limite da função existe e é zero.
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