Livro 02

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Ministério da Educação - MEC
Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Francisco Régis Alves Vieira
Filosofia das Ciências 
e da Matemática
Fortaleza
2011
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Créditos
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Tecnologia em Hotelaria
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Licenciatura em Matemática
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Bernardo Matias de Carvalho
Isabella de Castro Britto
Wagner Souto Fernandes
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Vieira, Francisco Régis Alves
 Filosofia das Ciências e Matemática: semestre VI / Francisco Régis 
Vieira; Coordenação Cassandra Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE, 
2011.
 172p. : il. ; 27cm.
 1. FILOSOFIA DAS CIÊNCIAS 2. FILOSOFIA DA MATEMÁTICA. 
3. MATEMÁTICA I. Joye, Cassandra Ribeiro (Coord.). II. Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE. III. 
Universidade Aberta do Brasil – UAB. IV. Título.
CDD – 510.1
V657f 
Catalogação na Fonte: Islânia Fernandes Araújo (CRB 3 - Nº 917)
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Sumário
Aula 1 - Filosofia das Ciências e da Matemática ................................7
Tópico 1 - Relações entre filosofia das ciências e 
filosofia da matemática e o ensino de matemática ...............................................8
Tópico 2 - A natureza do conhecimento matemático .........................................18
Tópico 3 - Os precursores da filosofia .............................................................24
Aula 2 - Filosofia da Matemática ........................................................35
Tópico 1 - As correntes filosóficas da matemática ..............................................36
Tópico 2 - O construtivismo na matemática e o construtivismo piagetiano ..............50
Aula 3 - Arquimedes e a Noção de Demonstração ..........................59
Tópico 1 - Sobre a natureza das definições matemáticas .....................................60
Tópico 2 - As influências das correntes filosóficas no ensino atual .........................70
Tópico 3 - As características de uma definição matemática e o ensino de álgebra .....82
Aula 4 - As dimensões filosóficas da intuição, seu papel da atividade 
do matemático e alguns paradoxos ...................................................87
Tópico 1 - As dimensões filosóficas da intuição matemática .................................88
Tópico 2 - O papel da intuição da atividade do matemático ................................94
Tópico 3 - Os paradoxos relacionados à intuição matemática ............................102
Aula 5 - A construção axiomática dos números naturais, 
inteiros e racionais ............................................................................ 111
Tópico 1 - Um problema antigo relacionado à equação polinomial 
do segundo grau ......................................................................................112
Tópico 2 - As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática II ................120
Tópico 3 - As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática III ...............128
Aula 6 - A construção dos números reais, 
complexos e considerações finais ................................................... 137
Tópico 1 - As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática III ...............138
Tópico 2 - As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática IV ...............154
Tópico 3 - Uma aplicação de sequência metodológica de ensino 
por meio de sua história ............................................................................162
Referências Bibliográficas ................................................................ 170
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Apresentação
Caro estudante, apresentamos o material referente à disciplina de Filosofia das Ci-
ências e da Matemática. De início, recordamos um ensinamento pertinente, atribu-
ído ao filósofo da ciência Karl Popper, e ao matemático Imre Lakatos. O primeiro 
investigou a Lógica da Descoberta Científica – LDC, enquanto o segundo, em sua 
vida acadêmica, analisou a Lógica da Descoberta Matemática – LDM. Sustentamos 
a “impossibilidade”, do ponto de vista filosófico, de compreensão da LDC, por par-
te do futuro professor, sem um entendimento razoável da LDM, embora muitos 
defendam o contrário. Para tanto, traçamos, nas aulas iniciais, o cenário filosófico, 
epistemológico e político, pelo qual identificamos a evolução e a revolução dos 
paradigmas da Matemática. Nosso objetivo é a busca de um pensamento, de um 
olhar, de um sentimento filosófico do professor com relação à sua disciplina que, 
aos olhos dos incipientes, lhes parece uma “ciência dos números”. Acrescentamos 
que a Matemática é bem mais do que isso, bem mais do que a aplicação tácita de 
fórmulas. Por fim, trazemos a filosofia pessoal de Bertrand Russell, Henri Poincaré e 
Morris Kline, com a intenção de inspirar a pedagogia do futuro docente. 
Francisco Regis Vieira Alves
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 Aula 1
Nesta parte inicial discutiremos algumas noções introdutórias relacionadas aos cam-
pos de investigação da Filosofia da Matemática e das Ciências. Vamos nos deter ini-
cialmente na demarcação e no interesse de cada uma das áreas e em seguida na 
discussão dos elementos mais interessantes com respeito ao ensino de Matemática. 
Nesta aula inicial apresentaremos algumas noções fundamentais no âmbito da Filoso-
fia das Ciências e da Filosofia da Matemática, introduziremos também, a partir desta 
primeira aula e de modo sistemático nas subseqüentes, alguns termos particulares e 
específicos destas áreas de investigação.
Objetivos
•	 Descrever os pressupostos básicos da Filosofia da Matemática comparando-a com Filosofia 
das Ciências.
•	 Discutir
a natureza do saber matemático e alguns exemplos de ordem lógica formal.
•	 Conhecer os principais pensadores que estabeleceram o terreno fértil para a Filosofia da 
Matemática.
Filosofia das Ciências e da Matemática
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8 Licenciatura em Matemática
RELAÇÕES ENTRE FILOSOFIA DAS 
CIÊNCIAS E FILOSOFIA DA MATEMÁTICA 
E O ENSINO DE MATEMÁTICA01
TÓPICO
OBJETIVO
Descrever os pressupostos básicos da Filosofia 
da Matemática comparando-a com Filosofia das 
Ciências.
Na perspectiva do professor de matemática em formação, o que podemos tomar como mais significativo a compreensão da evolução do saber científico ou a compreensão do saber matemático científico? Neste sentido, 
é surpreendente encontrarmos pessoas no ambiente acadêmico que se apoiam na 
crença segundo a qual “é possível compreender o movimento interno impulsionador 
e de evolução da Matemática a partir da compreensão dos movimentos e da 
evolução que marcaram determinados períodos históricos 
num contexto mais amplo e geral”, como o contexto 
das Ciências. De modo inquestionável, encontramos na 
literatura vários pensadores e epistemólogos (JAPIASSU, 
1988) que fornecem um depoimento que assegura o papel 
de modelo deste paradigma para várias outras áreas do 
saber científico.
Neste sentido, para compreendermos o pensamento 
filosófico, necessitamos, em grande parte, nos 
apropriarmos do pensamento epistemológico. A respeito da 
epistemologia, Japiassu (1988) faz a seguinte distinção:
a) Epistemologia, no sentido bem amplo do termo, pode ser considerada 
Epistemologia: Diz respeito ao 
estudo da gênese, da estrutura, da 
organização/evolução dos métodos 
e a validade/confiabilidade do 
conhecimento científico.
SAIBA MAIS!
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9História da Matemática
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o estudo metódico e reflexivo do saber, de sua organização, de sua 
formação, de seu desenvolvimento, de seu funcionamento e de seus 
produtos intelectuais;
b) Epistemologia global (geral), quando trata do saber globalmente 
considerado, com a virtualidade e os problemas do conjunto de sua 
organização, quer sejam especulativos, quer científicos;
c) Epistemologia particular, quando trata de levar em consideração 
um campo particular de saber, quer especulativo, quer científico;
d) Epistemologia específica, quando trata de levar em conta uma 
disciplina intelectualmente constituída em unidade bem definida do 
saber, e de estudá-la de modo próximo, detalhado e técnico, mostrando 
sua organização, seu funcionamento e as possíveis relações que ela 
mantém com as demais disciplinas.
Depois dessas caracterizações, torna-se necessário sublinharmos a ênfase que 
daremos ao longo destas aulas à Epistemologia Específica e, de modo particular, à 
Epistemologia da Matemática, que possui de modo intrínseco um seu viés filosófico. 
Assim, defendemos a compreensão do movimento filosófico da Matemática na medida 
em que identificamos mudanças e substituições de paradigmas epistemológicos. 
Defendemos, assim, a impossibilidade de compreendermos a Filosofia da 
Matemática, muito menos diversos fenômenos que evoluem no universo didático, 
histórico, lógico e metodológico (Figura 1), recorrendo-se apenas à Filosofia 
das Ciências. Deste modo, daremos ênfase aos elementos apresentados abaixo, 
identificados no item (2):
Figura 1: Aspectos do saber matemático (ALVES; BORGES NETO, 2010, p. 2) 
O diagrama da Figura 2, reproduzida a seguir, nos ajuda a defender que 
determinados fenômenos característicos do âmbito das Ciências não explicam/
caracterizam ou significam determinadas dimensões do saber matemático, apesar 
de possuírem uma região de interface comum, todavia tal interface ou região de 
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interseção é observada graças à necessidade e insuficiência que muitas áreas do 
conhecimento científico apresentam; deste modo, necessitam se apoiar, “importar” 
e se ‘apropriar’ de determinados paradigmas e métodos próprios da Matemática para 
seu próprio interior, como garantia de rigor e cientificidade.
Figura 2: Relações entre Ciências e Matemática (elaboração própria)
Por outro lado, destacamos, também na Figura 2, uma região pertencente ainda 
à Filosofia da Matemática que possui vigor próprio, que indicamos por (?), a qual 
não é encontrada e/ou identificada em mais nenhuma outra área do conhecimento 
científico. Sua importância se explicita na medida em que desenvolvermos nossas 
considerações acerca do ensino de Matemática que não pode desprezar a dimensão 
filosófica do saber matemático.
Para exemplificar, são esclarecedoras as considerações do professor Jairo José da 
Silva, quando, em seu livro intitulado Filosofias da Matemática, destaca:
A matemática entrou na cultura primeiramente como uma técnica, a 
de fazer cálculos aritméticos e geométricos elementares, e suas origens 
perdem-se nos primórdios da história. Dentre os povos antigos, os 
egípcios foram bons matemáticos, como suas realizações técnicas o 
atestam, mas os babilônios foram ainda melhores. Mas, ainda que 
essas culturas tenham produzido uma matemática reconhecível como 
tal, faltava a ela o caráter sistemático, rigoroso, puro – isto é, não 
empírico – e, em grande medida, a indiferença com respeito a aplicações 
práticas e imediatas que caracterizam o conhecimento matemático, tal 
como entendemos hoje (SILVA, 2007, p. 31). 
Identificamos em suas palavras uma passagem e transição de um saber 
matemático especulativo, empírico e desinteressado, apontado e produzido por 
algumas civilizações mais antigas para um saber matemático de caráter “rigoroso”, 
“sistemático” e “puro”, como o próprio autor acentua. Ora, este movimento de 
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transição, encontrado em determinadas fases históricas mais proeminentes, como 
as fases históricas discutidas por Silva, são objeto de estudo do que Hilton Japiassu 
chamou acima da epistemologia específica da Matemática.
A Filosofia da Matemática que por ora discutimos se interessa por questões 
desta natureza. Além disso, vamos discutir, ainda, outros interesses que podem ser 
identificados apenas nesta área e em mais nenhuma outra área do conhecimento 
científico (Figura 2). 
Destacamos outro trecho de Silva (2007, p.34) com a intenção de ilustrar, em 
nossa discussão filosófica inicial, a significação do termo Filosofia da Matemática.
O gênio de Euclides, porém, estava no modo como ele fez isso. A 
partir de um sistema mínimo e supostamente completo de verdades 
não-demonstradas e indemonstráveis – axiomas e postulados 
(posteriormente verificou-se que faltavam pressupostos substituídos 
pela intuição espacial) -, Euclides, demonstrava racionalmente 
todos os enunciados de Os elementos. Estava assim criado o método 
axiomático-dedutivo que viria a servir de modelo para toda a 
matemática a partir de então: a redução racional (preferivelmente 
lógica) de todas as verdades de uma teoria e uma base mínima e 
completa de verdades evidentes ou simplesmente pressupostas. Não 
havia nada de remotamente similar na matemática não grega.
Nas palavras do autor, observamos um dos elementos 
peculiares ao pensamento matemático que influenciou, 
séculos mais tarde, várias áreas do conhecimento 
científico. Note-se que a dimensão epistêmica é sempre 
exigida para que possamos compreender o caráter 
filosófico dos saberes científicos constituídos até nossos 
dias. De fato, Silva (2007) fez menção explicita ao método 
axiomático-dedutivo, inaugurado pela civilização jônica. 
Sua função naquela época assumiu um papel fundamental
do ponto de vista epistemológico, principalmente quando 
adotamos a seguinte significação:
A epistemologia pode, então ser definida 
como o ‘estudo da constituição dos conhecimentos válidos’. O termo 
‘constituição’ recobre ao mesmo tempo as ‘condições de acesso’, 
isto é, os processos de aquisição dos conhecimentos, e as ‘condições 
propriamente constitutivas, quer dizer, as condições formais ou 
experimentais que dizem respeito à validade dos conhecimentos, e as 
O Método axiomático–dedutivo 
foi sistematizado a partir dos gregos 
evoluiu e se aperfeiçoou, alcançando 
seu apogeu com o grupo Bourbaki. 
A intenção principal consiste em 
formalizar e descrever o conhecimento 
matemático por meio de estruturas 
gerais e abstratas.
SAIBA MAIS!
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12 Licenciatura em Matemática
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condições que dizem respeito, quer às contribuições do sujeito, que às 
do objeto no processo de estruturação do conhecimento. Portanto, para 
Piaget, só há ciência quando estiverem reunidos esse três elementos: (1) 
elaboração de fatos; (2) formalização lógico-matemática; (3) controle 
experimental (JAPIASSU, 1988, p. 44).
Notamos no trecho acima o registro de um grande pensador recordado pelo 
epistemólogo Hilton Japiassu, trata-se do epistemólogo geneticista Jean Willian 
Fritz Piaget (1896-1980) . Destacamos o grande pesquisador Piaget não só por sua 
importância no campo científico, mas, sobretudo pelo valor de seu estudo sobre a 
análise e os processos de reformulação de certos conceitos científicos por meio de uma 
análise lógica (JAPIASSU, 1988, p. 44). A Matemática para Piaget assumiu um papel 
imprescindível para a explicação e previsão de inúmeros fenômenos observados no 
âmago do conhecimento científico moderno.
Antes, porém, de discutirmos um pouco mais a respeito do caráter epistemológico 
do saber matemático e sua função no interior de Filosofia da Matemática, sublinhamos 
a explicação do pesquisador inglês Paul Ernest (1991, p. 3):
A filosofia da Matemática é um ramo da filosofia cuja tarefa se reflete 
ao tomar em consideração a natureza da Matemática. Esta é um caso 
especial de epistemologia que leva em consideração o conhecimento 
humano em geral. A filosofia da Matemática se orienta no sentido 
de responder algumas questões: Qual é a base do conhecimento 
matemático? Qual é a natureza da verdade matemática? O que 
caracteriza a verdade em matemática? O que é uma afirmação e sua 
justificação? Por que as verdades em matemática são necessariamente 
verdades? 
Ernest confirma a presença e necessidade da adoção de vários pressupostos 
epistemológicos, corroborando com o que mencionamos nos parágrafos anteriores, 
quando menciona que, ao adotarmos largamente uma abordagem epistemológica, 
assumimos que conhecimento é qualquer área representada por um conjunto de 
proposições, aliado a um conjunto de procedimentos capazes de realizar verificação 
e assegurar sua confiabilidade (1991, p. 4).
Na citação anterior, observamos alguns questionamentos intrínsecos ao que 
chamamos de Filosofia da Matemática, que se apresenta como um campo distinto da 
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Filosofia das Ciências. Retomando a Figura 2, lembramos 
que a Filosofia da Matemática é marcada por elementos 
particulares que não são encontrados nas outras áreas do 
conhecimento científico humano. No início sublinhamos 
uma “crença” equivocada segundo a qual muitos ainda 
acreditam na possibilidade de se compreender o particular 
partindo-se do geral (). Assumimos que este ponto de 
vista encontrado no locus acadêmico é completamente 
equivocado e interpretamos esta atitude e posicionamento 
epistemológico como uma espécie de “miopia acadêmica”. 
Adotamos, por outro lado, o percurso inverso () por acreditarmos que assim 
poderemos proporcionar melhor entendimento.
Figura 3: Relação entre o caráter particular e o geral dos saberes científicos (elaboração própria)
 
Para exemplificar de que modo os sintomas da “miopia” e mesmo, em terminados 
casos, cegueira acadêmica pode ocorrer, recordamos a seguinte caracterização 
fornecida por Bicudo & Guarnica (2001, p. 19), ao defenderem a supremacia da 
Filosofia da Educação sobre a Filosofia da Matemática:
A Filosofia da Educação, por proceder de modo analítico, crítico 
e abrangente, volta-se para questões que tratam de como fazer 
educação, de aspectos básicos presentes ao ato do educador como é o 
caso do ensino, da aprendizagem, de propostas político-pedagógicas, 
do local onde a educação se dá e, de maneira sistemática e abrangente, 
as analisa, buscando estender seu significado para o mundo e para o 
próprio homem. 
De modo semelhante, os mesmos autores definem a Filosofia da Matemática como 
uma área em que:
Proceder conforme o pensar filosófico, ou seja, mediante a análise critica, 
reflexiva, sistemática e universal, ao tratar de temas concernentes à 
Para conhecer um pouco mais sobre a 
Filosofia das Ciências, acesse o site:
h t t p : / / w w w. m o l w i c k . c o m / p t /
metodos-cientificos/528-metodos-
experimental.html
SAIBA MAIS!
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14 Licenciatura em Matemática
região de inquérito da matemática, diferencia-se da matemática, pois 
não se dispõe a fazer matemática, construindo o conhecimento desta 
ciência, mas dedica-se a entender o seu significado no mundo, o sentido 
que faz para o homem, de uma perspectiva antropológica e psicológica, 
a lógica da construção do seu conhecimento, os modos de expressão 
pelos quais aparece e materializa-se, cultural e historicamente, a 
realidade dos seus objetos, a gênese do seu conhecimento (BICUDO; 
GUARNICA, 2001, p. 27).
Neste ponto registramos que a “miopia” acadêmica acontece quando pensamos 
que, de um ponto de vista prático e utilitarista, seria mais importante para o 
professor de matemática um razoável conhecimento em Filosofia da Educação 
em detrimento da Filosofia da Matemática. Tal patologia intelectual pode ocorrer 
também quando acreditamos de modo ingênuo que, compreendendo a Filosofia da 
Educação, consequentemente, o professor compreenderá a Filosofia da Matemática. 
E, por fim, com vistas finais ao ensino de matemática propriamente dito, qual das 
duas se apresenta de maior relevância para o futuro professor de matemática?
Recordamos um pressuposto simples e recorrentemente descuidado por 
profissionais que desconhecem o real e o concreto efetivo significado da regência 
numa aula de Matemática, que se refere ao fato de que a maior parte do tempo 
despendido pelo professor na escola é dedicada à ação de dar aula de Matemática. 
Assim, a retórica que identificamos na definição fornecida por Bicudo & Guarnica 
(2001) relativa à Filosofia da Educação, em termos práticos, em nada melhorará ou 
aperfeiçoará a ação que mencionamos. Nesse sentido, destacamos a relevância de um 
saber vinculado e determinado pelo saber matemático que poderá proporcionar o 
aperfeiçoamento da ação docente, de acordo com o que exibimos na Figura 1. 
Antes de apresentarmos nosso argumento final, discutiremos outras questões 
levantadas por Bicudo & Guarnica (2001, p. 27) quando afirmam que:
As perguntas básicas da filosofia – “O que existe?”, “O que é o 
conhecimento?”, “O que vale?” -, são trabalhadas pela filosofia da 
matemática, focalizando-se especificamente nos objetos da matemática. 
Desdobram-se em termos de “Qual a realidade dos objetos da 
matemática?”, “Como são conhecidos os objetos matemáticos e quais 
os critérios que sustentam a veracidade das afirmações matemáticas?”, 
“Os objetos e as leis matemáticas são inventadas (construídas) ou
descobertas?”.
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15História da Matemática
Mais adiante os autores destacam que o tratamento destas questões é relevante 
para a autocompreensão da Matemática e necessário para a definição de propostas 
curriculares, por determinar escolhas de conteúdos, atitudes de ensino, expectativas 
de aprendizagem, indicadores de avaliação (BICUDO; GUARNICA, 2001, p. 27). 
Depois destas ponderações, acreditamos ser insustentável a crença de que a 
formação em Filosofia da Educação deve anteceder qualquer formação e informação 
relativa à Filosofia da Matemática. Além da maior importância da Filosofia da 
Matemática, no que diz respeito à instrumentalização efetiva do futuro mestre, 
assumir este posicionamento implica aceitar o diagrama que propomos (Figura 3), 
ou melhor, significa compreender o particular, para depois compreender o geral. 
Vários epistemólogos nos fornecem esta lição, entre eles podemos citar Karl Popper 
e Thomas Khun .
Como tencionamos nesta primeira parte descrever os pressupostos iniciais que 
adotaremos neste curso, inclusive suas implicações para o ensino de Matemática, 
recordamos ainda que a Filosofia da Matemática interessa-se por questões de caráter: 
(i) ontológico: o que existe em Matemática; (ii) epistemológico: como se conhece o 
que existe em Matemática e o que pode ser considerado conhecimento matemático; 
(iii) axiológico: quando um conhecimento matemático pode ser considerado como 
verdadeiro. Estes questionamentos podem nos fornecer elementos para compreender 
os processos necessários que tornam nossas crenças matemáticas em conhecimento 
matemático válido. 
Figura 4: Relações entre conhecimento e crença matemática
Muitas destas questões serão discutidas e significadas dentro da própria 
Matemática, uma vez que esta é, em tese, a área de maior interesse do futuro 
professor de Matemática. 
Para finalizar, destacamos uma área de investigação, internacionalmente firmada 
e reconhecida, chamada Filosofia da Educação Matemática. Tal área de inquérito 
investigativo é assim caracterizada:
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16 Licenciatura em Matemática
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Por focalizar a matemática no contexto da educação, a Filosofia da 
Educação Matemática também se coloca questões sobre o conteúdo a 
ser ensinado e a ser apreendido e, desse modo, necessita de análises 
e reflexões da filosofia da matemática sobre a natureza dos objetos 
matemáticos, da veracidade do conhecimento matemático, do valor da 
matemática (BICUDO; GUARNICA, 2001, p. 30).
Esta área de investigação será retomada por nós no final de nossos estudos. Assim, 
para prosseguir de acordo com o que acreditamos ser o mais compreensível para o 
leitor (Figura 3), detalharemos a partir deste ponto outras questões relacionadas ao 
saber matemático. 
Nesta lição, discutimos e demarcamos alguns elementos essenciais relacionados 
com a Filosofia das Ciências e Filosofia das Matemáticas. No próximo tópico 
introduziremos outros elementos que diferenciam e distinguem a evolução do saber 
matemático no contexto científico de qualquer outro saber acadêmico.
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18 Licenciatura em Matemática
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A NATUREZA DO 
CONHECIMENTO MATEMÁTICO02
TÓPICO
OBJETIVO
Discutir a natureza do saber matemático e alguns 
exemplos de ordem lógica formal.
Como mencionamos sem maiores detalhes na seção anterior, a Matemática, tradicionalmente, foi vista como paradigma para certos conhecimentos, 
desde que foi erigida há 2500 anos com Euclides, como 
bem atesta Ernest (1991, p. 4). Nos séculos subsequentes, 
sua influência continuou a se mostrar promissora e 
frutífera para inúmeros campos do saber. De fato, Ernest 
(1991, p. 4) recorda que:
Desde a época de Euclides até o final do século XIX, seu 
paradigma foi explorado para estabelecer a verdade e a 
certeza. Newton usou alguns elementos no seu Principia 
encontrados ainda nos Elementos de Euclides; Spinoza em 
sua estética [...] A matemática desde muito tempo tem sido 
tomada como fonte de muitos saberes da raça humana. 
Ernest adverte que conhecimento é a base na qual 
assentamos todas nossas afirmações. Explica ainda 
que conhecimento a priori consiste em proposições que 
são produzidas unicamente assentadas ou sustentadas 
Conhecimento a priori: a 
priori (do latim, « partindo daquilo 
que vem antes »), expressão do âmbito 
filosófico que designa uma etapa para 
se chegar ao conhecimeto válido, que 
consiste o pensamento dedutivo. Note-
se que o conhecimento proposicional 
não pode ser adquirido, incorporado 
por meio da percepção, introspecção, 
memória ou testemunho. É, deste 
modo, uma anterioridade lógica e 
não cronológica que é designada na 
noção “a priori”. Tal conhecimento se 
complementa com o conhecimento 
a posteriori, que designa aquele 
que adquirimos com a experiência 
mundana.
VOCÊ SABIA?
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19História da Matemática
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pela razão, sem o recurso da observação do mundo real (1991, p. 4). Aqui, a razão 
empregada pelo autor consiste no recurso de lógica dedutiva e significados de termos, 
tipicamente encontrados em definições. Em oposição, conhecimento a posteriori ou 
conhecimento empírico consiste em proposições produzidas com respeito a uma base 
de experimentos e observações do mundo real.
Mais adiante, Ernest (1991, p.4) esclarece: 
O conhecimento matemático é classificado como conhecimento a priori, 
desde que consista de proposições e seja fundamentado a partir da 
razão. Razão que inclui lógica dedutiva e definições que são usadas 
em conjunção de axiomas e postulados, como base para a obtenção de 
inferências. Todavia, a fundação do conhecimento matemático consiste 
em investigar a verdade nas proposições matemáticas, consiste no 
método dedutivo.
Vamos trazer para ilustrar nossa discussão o problema relacionado ao princípio 
de indução matemática abordado pelo matemático Giuseppe Peano (1858-1932). Para 
tanto, é importante recordarmos o conjunto ={1,2,3,.....,....,...} , que é chamado 
de conjunto dos números naturais que estão relacionados de modo íntimo com a 
noção de conjunto enumerável (LIMA, 2004, p. 32). Lima (2004, p. 32) explica que os 
axiomas de Peano exibem os números naturais como “números ordinais”, isto é, objetos 
que ocupam lugares determinados numa sequencia ordenada. O axioma de Peano é 
enunciado do seguinte modo:
Existe uma função injetiva ®:s   . A imagem ( )s n de cada número natural 
În  chama-se o sucessor de ‘n’;
Existe um único número natural Î1  tal que ¹1 ( )s n para todo În  ;
Se um conjunto ÌX  é tal que Î1 X e Ì( )s X X , isto é, se Î ® Î( )n X s n X , 
então =X  .
Tais condições podem ser reformuladas do seguinte modo:
(i’) Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; 
números diferentes têm sucessores diferentes;
(ii’) Existe um único número natural ‘1’ que não é sucessor de nenhum outro;
(iii’) Se um conjunto de números naturais contém o número ‘1’ e contém também 
o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse número contém todos os 
números naturais. 
Lima (2004, p. 33) principia uma discussão filosófica ao declarar que:
Do ponto de vista de Peano, os números naturais não são definidos. É 
apresentada uma lista de propriedades gozadas por eles (os axiomas) e 
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tudo decorre daí. Não interessa i que os números são; (isto seria mais um 
problema filosófico) o que interessa é como eles se comportam. Embora
os axiomas por ele adotados já fossem conhecidos por Dedekind, tudo 
indica que Peano trabalhou independentemente. O mais importante 
não são quais os axiomas ele escolheu e sim qual a atitude que ele 
adotou, a qual veio a prevalecer na Matemática atual, sob o nome de 
método axiomático. 
Por outro lado, o que destacamos há pouco nada possui ou apresenta de filosófico, 
todavia a descrição que fizemos acima, com destaque para o item (iii), que caracteriza 
o princípio de indução matemática, é pura Filosofia da Matemática. Caraça (1951, p. 
4) referenda nosso posicionamento quando comenta que:
A ideia de numero natural não é um produto puro do pensamento 
humano, independentemente da experiência; os homens não adquirem 
primeiro os números naturais para depois contarem; pelo contrário, os 
números naturais foram-se formando lentamente pela prática diária 
de contagens. A imagem do homem criando de uma maneira completa a 
ideia de número, para depois aplicar à prática da contagem, é cômoda, 
mas falsa.
Note-se que, dependendo do sistema matemático formal, 
o conjunto ={0,1,2,3,.....,.....} ou ={1,2,3,.....,.....}
. De fato, quando consideramos a teoria aritmética dos 
números, o primeiro conjunto é assumido, e quando 
estudamos os conteúdos de Análise Real, o conjunto  é 
assumido sem o zero ‘0’. Lima (2004, p. 150) se manifesta 
do seguinte modo:
Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto dos 
números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, 
mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou 
autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever Î0  ou Ï0  . 
Como assim? Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente em 
todos eles encontramos ={0,1,2,3,.....,.....} . Vejamos um livro de 
Análise. Lá achamos quase sempre ={1,2,3,.....,.....} . 
Ernest (1991) discute o exemplo da verificação que de fato + =1 1 2 , segundo 
o sistema axiomático de Peano. Para tanto, assumimos os axiomas que garantem 
que podemos escrever que =(0) 1s e =(1) 2s . Também a partir da Aritmética 
A criação de um símbolo para 
representar o nada constitui um dos 
atos mais audazes do pensamento, 
uma das maiores aventuras da razão. 
Essa criação é relativamente recente 
(talvez pelos primeiros séculos da era 
cristã) e foi devida às exigências da 
numeração escrita. (CARAÇA, 1951, 
p. 6).
SAIBA MAIS!
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de Peano, sabemos que + = = +0 0x x x , para todo Îx  . Temos também que 
+ = +( ) ( )x s y s x y , onde Î,x y  . Na sequência, o fato banal simbolizado por 
+ =1 1 2 , é verificado formalmente por Ernest (1991, p. 5), após executar dez passos 
de inferências lógicas como vemos na Figura 5.
Figura 5: Passos de inferências lógicas (ERNEST, 1991, p. 5)
Alguns dos elementos discutidos anteriormente apontam para a direção de 
considerar o conhecimento matemático dotado de verdades universais, infalível e 
não questionável. Essencialmente construído a partir de verdades estabelecidas a 
priori. Tal perspectiva é o que Ernest (1991, p. 7) chama de visão absolutista da 
matemática. De acordo com tal visão, o conhecimento matemático fornece o único 
modo de alcançarmos a verdade.
O autor explica ainda que parte deste poder e caráter absolutista é fortalecido 
por meio do método dedutivo formal. Tal terreno é construído a partir da lógica e 
pode fornecer absoluta certeza ao conhecimento. Ernest (1991, p. 7- 8) salienta ainda 
que, no primeiro momento, todos os pressupostos básicos são assumidos a partir da 
exploração de suas provas e demonstrações. Ademais, os axiomas matemáticos são 
assumidos como verdade e, a partir da necessidade de considerações anteriores, as 
definições formais matemáticas são construídas assumindo também valores lógicos 
verdadeiros.
No segundo momento, as regras lógicas e modelos de inferência devem preservar 
a verdade e conduzir também à verdade. E, verdade deve ser obtida a partir de 
verdades, por meio do emprego destes modelos lógicos. Ernest (1991, p. 8) acrescenta 
ainda que toda afirmação ou proposição estabelecida num sistema dedutivo deverá 
conter suas conclusões e, uma vez estabelecido um teorema por meio do método 
dedutivo, o conhecimento extraído deste teorema deve ser sempre verdadeiro.
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22 Licenciatura em Matemática
A visão absolutista da matemática encontrou e enfrentou vários problemas 
(ERNEST, 1991, p. 8) séculos mais tarde, todavia nos deteremos neste assunto, 
de modo pormenorizado, nas próximas aulas. Para concluir, destacamos algumas 
características do saber matemático, fornecidas por Morris Kline:
Outro uso básico da matemática, sobretudo nestes tempos modernos, tem 
sido fornecer uma organização racional para a natureza dos fenômenos. 
Os conceitos, os métodos e conclusões a respeito de que a matemática 
constitui o substratum das ciências físicas. (KLINE, 1964, p. 5).
Em outro trecho, Kline (1964, p. 6-7) enaltece algumas características da beleza 
do conhecimento matemático ao declarar que: 
Além da beleza da estrutura concluída, o uso indispensável da intuição, 
imaginação árida na criação de provas e conclusões oferece satisfação 
estética de alta para o criador. Se a percepção e a imaginação, simetria 
e proporção, a falta de superfluidade, e adaptação exata entre meios 
e fins são compreendidas em beleza e são características das obras 
de arte, então a matemática é uma arte com uma beleza própria [...] 
Grandes pensadores cedem às modas intelectuais do seu tempo como as 
mulheres fazem a moda no vestuário. Mesmo os gênios criativos para 
quem a matemática era puramente um hobby prosseguido os problemas 
que agitavam os matemáticos e cientistas profissionais. No entanto, 
esses “amadores” e matemáticos em geral, não têm se preocupado 
principalmente com a utilidade do seu trabalho.
Vários autores discutem a natureza do conhecimento matemático. Neste âmbito de 
reflexão, podemos perceber que determinadas facetas filosóficas dificilmente seriam 
percebidas por um estudante que não apresente uma formação em Matemática além 
da escolar. Este assunto será retomado por nós adiante, por ora, apresentamos, 
na seção seguinte, alguns dos precursores do pensamento matemático filosófico 
ocidental.
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OS PRECURSORES DA FILOSOFIA03
TÓPICO
OBJETIVO
Conhecer os principais pensadores que 
estabeleceram o terreno fértil para a Filosofia da 
Matemática.
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Nesta parte discutiremos alguns dos principais pensadores gregos que mais contribuíram para o estabelecimento inicial de algumas 
doutrinas na Matemática, com destaque para Platão e 
Aristóteles. 
 A primeira figura ilustre a ser lembrada quando 
falamos de Filosofia da Matemática é Platão. No que diz 
respeito ao período de formação de Platão, Barbosa (2009, 
p. 27) explica:
É muito provável que Platão, em torno de seus vinte anos, 
tenha conhecido Sócrates e freqüentado o seu círculo, não 
com o intuito de se tornar um filósofo, mas com o propósito 
Platão é sempre lembrado pelas ideias 
e concepções que influenciou os 
românticos da matemática. Nasceu 
em 428/427 a.C. e foi descendente de 
uma família ateniense de classe alta. 
VOCÊ SABIA?
Platão sustenta que há ideias eternas 
e independentes dos sentidos, como 
o um, o dois, etc., ou seja, as Formas 
Aritméticas e outras como o ponto, 
a reta, plano, que são as Formas 
Geométricas. Quando enunciamos 
propriedades ou relações entre esses 
entes, estamos descrevendo relações 
entre as Formas (CURY, 1994, p. 42).
SAIBA MAIS!
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de, mediante o estudo da filosofia, aprimorar seus conhecimentos para 
a vida política. Todavia, o destino, sempre caprichoso, mudaria por 
completo os rumos de seus objetivos.
Platão identifica, nas discussões de sua época, a 
dicotomia instalada entre a retórica e a filosofia. Neste 
contexto, os sofistas que tinham como objetivo a formação 
do espírito e a multiplicidade de métodos determinam esta 
discussão. Neste sentido, Barbosa (2009, p. 28) declara: 
Enquanto matemática e filosofia se animam 
mutuamente na ampliação dos horizontes 
especulativos da realidade circundante, a 
sofística vem a preencher, no contexto do 
conhecimento, um espaço outrora vazio, 
visto que, ao contrário das duas primeiras, 
não tem como escopo um saber teórico ou científico, mas trata de uma 
exigência de ordem estritamente prática.
O resultado desta discussão foi a primazia do conhecimento enciclopédico e 
intelectualizante que herdamos até nossos dias; assim sendo, esse novo “saber 
enciclopédico” (polimathia) e estruturado passou a 
representar um fenômeno que veio a formular os conceitos 
ocidentais da educação como difusão do saber (BARBOSA, 
2009, p. 28). No que se refere à contribuição específica 
de Platão com respeito à Filosofia da Matemática, Barbosa 
(2009, p. 37) adverte:
Quando nos referimos ao platonismo na 
esfera da filosofia da matemática, não 
podemos atribuir uma doutrina a Platão 
da mesma forma como associamos, por 
exemplo, o logicismo a Frege e Russell, 
isto é, como um corpo de preceitos, um 
sistema filosófico em sua acepção moderna. 
E isso ocorre justamente porque não era essa a intenção de Platão. Ele 
estaria mais preocupado em estimular as pessoas a pensar, colocando 
deste modo as almas no caminho certo do conhecimento puro e 
desinteressado, que outrora vislumbraram antes de serem condenadas 
Platonismo: Corrente filosófica 
baseada no pensamento do seu 
precursor, Platão, talvez a mais 
conhecida, recordada e de implicações 
ainda hoje discutida por estudos 
acadêmicos. Sua escola, dos séculos 
IV até I a.C. foi responsável pela 
sistematização e aprofundamento de 
suas concepções.
ATENÇÃO!
Sofistas: constituíram de grupos de 
mestres que viajavam pelas cidades 
realizando aparições e eventos 
públicos para distrair curiosos e 
estudantes. Os mesmos cobravam 
taxas pelo serviço fornecido. Seu foco 
principal concentrou-se no logos ou 
no discurso, com preocupação nas 
estratégias de argumentação.
ATENÇÃO!
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ao devir mundano, a esse doloroso vir-a-ser, e sofrer as tribulações do 
corpo e a ignorância da mente. 
Barbosa (2009), no excerto acima, faz referência a uma corrente filosófica absolutista 
da Matemática conhecida como logicismo. Discutiremos as principais características 
desta corrente nas próximas aulas. De qualquer modo, são esclarecedoras suas 
palavras na medida em que explicam as intenções iniciais do antigo filósofo, e é 
interessante conhecer as consequências que tiveram e as implicações desta ideologia 
ou doutrina do platonismo com relação ao saber matemático. Neste contexto, Barbosa 
(2009, p. 37) acrescenta ainda: 
Uma boa parte do platonismo, assim como nós o conhecemos hoje, é, 
portanto, uma criação posterior a Platão. O platonismo na moderna 
filosofia matemática é descrito como uma teoria que trata das verdades 
das proposições matemáticas, sendo “usualmente tomado como um 
tipo de realismo, equivalente a crença de que os objetos da matemática 
tais como os números literalmente existem independentes de nós e de 
nossos pensamentos a respeito deles”.
Segundo Silva (2007, p. 37), para Platão, as entidades matemáticas constituem um 
domínio objetivo independente e auto-suficiente, ao qual temos acesso pelo entendimento. 
Para outro importante personagem grego, Aristóteles, os entes matemáticos têm uma 
existência parasitária dos objetos reais – uma vez que os objetos matemáticos só 
existem encarnados em objetos reais – e só nos são revelados com o concurso, ao 
menos em parte, dos sentidos. Silva (2007, p. 37-38) diferencia de modo eficiente as 
duas perspectivas desenvolvidas por estes dois pensadores ao declarar que:
Para Platão, o mundo real apenas reflete imperfeitamente um mundo 
puro de entidades perfeitas, imutáveis e eternas – os conceitos 
matemáticos entre elas. Para Aristóteles, o mundo sensível é a 
realidade fundamental, os entes matemáticos são ‘extraídos’ dos 
objetos sensíveis por meio de operações do pensamento, e os conceitos 
matemáticos são apenas modos de tratar o mundo real. [...] De um 
lado o racionalismo de Platão, que atribui à razão humana o poder de 
penetrar nos domínios supra-sensíveis da matemática, e o seu realismo 
ontológico transcendente, que afirma que a existência independente dos 
entes matemáticos num reino fora deste mundo; de outro, o empirismo 
de Aristóteles, que se recusa a dar morada aos entes matemáticos em 
qualquer outro reino que não o deste mundo, e o seu realismo ontológico 
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imanente, que garante, ele também, uma existência dos objetos 
matemáticos independentemente de um sujeito [...].
Silva (2007, p. 40) sublinha que, para Platão, existe uma pluralidade de números 
matemáticos. Para ele, não existem vários números ‘2’, e sim a ideia de dois. Se existisse 
no mundo ideal apenas um número 2, que sentido teria a identidade + =2 2 4 , na qual 
comparecem duas instâncias da ideia de ‘2’ (SILVA, 2007, p. 40). Essa identidade não 
pode ser uma relação entre Ideias numéricas – sendo entidades singulares elas não 
admitem cópias de si próprias – mas entre números, que precisam então existir em 
abundância. Platão teve assim que admitir a existência, além da perfeita Ideia de 2, 
das várias instâncias perfeitas desta Ideia (SILVA, 2007, p. 40).
Outros conceitos estudados por Platão que merecem atenção são os conceitos de 
números pares e números ímpares. Barbosa (2009, p. 48) acrescenta que os conceitos 
de par e ímpar permeiam toda a aritmética platônica, sendo eles capazes de gerar 
todos os outros números. Esta dualidade pode indicar certa concordância com o 
pitagorismo. E ainda, Platão teria utilizado os números dois e três precisamente por 
se tratarem dos primeiros par e ímpar, respectivamente. Na Antiguidade, em geral, 
não se considerava o um como número (BARBOSA, 2009, p. 48).
Não podemos esquecer as preocupações de Platão com o ensino e, com respeito a 
isto, Barbosa (2009, p. 49) ilustra: 
Voltando ao método da hipótese, ele é também utilizado no Mênon. 
Nesse diálogo, Platão faz uma brilhante exposição do método socrático 
como instrumento de ensino, quando primeiramente leva o escravo a 
reconhecer o próprio erro, e depois o induz ao conhecimento certo. O 
problema colocado para o escravo é o de calcular a área de um quadrado 
de lado 2. Feito isso, Sócrates questiona o 
jovem escravo sobre o que aconteceria com 
cada linha deste quadrado se a sua área 
fosse duplicada [...] Sócrates constrói com 
o escravo um novo quadrado sobre aquele 
inicialmente dado, o que tem lados com 
medida de 2 pés, prolongando os seus lados 
até que atinjam a medida 4 pés. O escravo 
parece estarrecido ao notar que o quadrado 
construído com as linhas duplicadas do 
quadrado original tem o quádruplo de sua 
área.
A filosofia da Matemática de Aristóteles 
foi desenvolvida, em parte, em 
oposição a de Platão, pois ele critica 
a Teoria das Formas, dizendo que ela 
não é racional. Para Aristóteles, cada 
objeto
empírico, cada ser existente, é 
uma unidade e não existe separado de 
sua forma ou essência (CURY, 1994, p. 
47).
ATENÇÃO!
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O discípulo de Platão, Aristóteles (384 – 322 a. C.), permitia-se discordar do 
mestre. Em primeiro lugar, Aristóteles não admitia a existência de um reino 
transcendente de Ideias e formas matemáticas. As formas geométricas e numéricas 
existem, para Aristóteles, apenas como aspectos de objetos e coleções de objetos reais 
(SILVA, 2007, p. 43). 
Para Aristóteles, os objetos matemáticos são uma abstração apenas ou, na pior 
das hipóteses, uma ficção útil (SILVA, 2007, p. 44). Eles não têm existência separada 
dos objetos empíricos, são apenas aspectos delas, e se por vezes pensamos como 
independentes, isto é, não tem maiores consequências. Um objeto empírico é um 
objeto matemático na medida em que nós podemos considerá-lo do ponto de vista de seu 
aspecto matemático, ou seja, como um objeto matemático (SILVA, 2007, p. 44).
Machado (1994, p. 21) fornece uma distinção interessante quando declara:
Enquanto que para Platão, os enunciados matemáticos eram 
verdadeiros por serem descrições de, ou relações entre, formas 
matemáticas de existência objetiva. Aristóteles reabilita o mundo 
empírico bem como o trabalho do matemático. E recoloca a questão 
de os objetos matemáticos e os enunciados serem verdadeiros ou falsos 
não em termos absolutos, mas por serem mais ou menos adequados à 
representação do mundo empírico, adequação esta relativa a algum 
fim que se objetiva.
Diferentemente de Platão, Aristóteles se volta à estrutura das teorias matemáticas, 
aos sistemas de proposições. Aristóteles vislumbra a necessidade e o método que 
identificamos até nossos dias que diz respeito à organização das proposições nas 
hipóteses iniciais, logicamente necessárias e nas proposições dedutíveis a partir delas, 
tratando especificamente de estruturar as possíveis deduções (MACHADO, 1994, p. 21). 
Suas concepções podem ser consideradas as precursoras do pensamento que motivou 
os princípios que passaram a regular e caracterizar as subdivisões sucessivas da 
matemática em várias ramificações (no caso das geometrias: Geometria Euclidiana, 
Geometria Diferencia, Geometria Hiperbólica, Geometria Riemanniana, etc).
Silva (2007, p. 45) diferencia o pensamento aristotélico do seguinte modo:
Analogamente, para Aristóteles, a matemática estuda objetos sob certos 
aspectos apenas, uma bola como uma esfera, um par de dois livros como 
dois. Ao fazer isso, abstraímos da bola a sua forma geométrica e da 
coleção de livros sua forma aritmética. Visto assim, Aristóteles, é um 
empirista em ontologia, pois, para ele, apenas os objetos dos sentidos 
existem realmente, com um sentido pleno de existência.
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Mas o posicionamento aristotélico produziu respostas inclusive para os limites da 
abstração humana. Neste sentido, Silva (2007, p. 45) questiona: poderíamos, porém, 
perguntar, e os números tão grandes que não podem numerar nenhuma coleção real, e 
as formas geométricas tão esdrúxulas que não podem dar forma a nenhum objeto real 
(como o miriágono, o polígono de dez mil lados)?
O autor acrescenta que a saída vislumbrada por Aristóteles foi admitir que entre 
os objetos matemáticos também encontramos formas fictícias. Essas, no entanto, por 
serem construtíveis a partir de certas formas reais, são possíveis na realidade (SILVA, 
2007, p. 45). De fato:
Um número muito grande pode ser construído, por adição sucessiva de 
unidades, a partir de qualquer número pequeno dado, e o miriágono 
pode ser construído a partir de figuras geométricas reais, como 
círculos e segmentos de reta. Assim, numa compreensão mais ampla, 
a matemática, segundo Aristóteles, trata não apenas de formas 
abstratas atuais, mas também de formas abstratas possíveis (SILVA, 
2007, p. 45).
Para concluir nossas considerações sobre Aristóteles, vale destacar as ponderações 
devidas a Machado (1994, p. 22) quando destaca:
Em resumo, poderíamos dizer que a posição de Aristóteles no que se 
refere à relação da Matemática com a realidade pode ser situada, 
simultaneamente, na origem tanto do realismo como do idealismo 
modernos, na medida em que, por um lado, reabilita o mundo empírico 
e, por outro lado, o trabalho do matemático deixa de ser um mero 
caçador de borboletas no mundo perfeito das Formas, vislumbrando a 
possibilidade dele mesmo ser um ‘fabricante’ de borboletas. 
O posicionamento assumido por Aristóteles em relação à Matemática pode ser 
compreendido também nas palavras de Silva (2007, p. 46), quando explica: 
Como a entendo, a abstração aristotélica, a operação pela qual 
consideramos objetos e coleções de objetos empíricos como objetos 
matemáticos, comporta também um elemento de idealização. Tratar 
uma bola como uma esfera é uma operação complexa: abstrair-se da 
bola a sua forma mais ou menos esférica e, simultaneamente, idealiza-
se essa forma, isto é, desconsideram-se as diferenças entre ela e a esfera 
matemática perfeita (determinada pela sua definição como o lugar 
geométrico dos pontos espaciais eqüidistantes de um centro). Uma esfera 
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matemática é, assim, a idealização de um aspecto da bola, e só assim 
ela existe.
A Matemática como a conhecemos hoje é o exemplo mais puro e clássico de 
ciência dedutiva, e várias outras áreas do conhecimento buscaram e adaptaram, na 
medida do possível, alguns de seus pressupostos e paradigmas de rigor. De fato, é 
relevante a influencia do pensamento aristotélico no desenvolvimento da ciência em 
geral (SILVA, 2007, p. 50). Aristóteles entendia a Matemática como um edifício 
logicamente estruturado de verdades encadeadas em relações de conseqüência lógica a 
partir de pressupostos fundamentais não demonstrados (2007, p. 50).
Aristóteles contribuiu também com relação às noções metamatemáticas 
(propriedades elementares da metodologia das ciências dedutivas) fundamentais, 
como as de axioma, definição, hipótese e demonstração. Aristóteles critica o modelo 
de demonstrações em Matemática que conhecemos por redução ao absurdo. O mesmo 
considera-as não explicativas, isto é, sabe-se que algo é verdadeiro sem saber por que é 
verdadeiro (SILVA, 2007, p. 52). A este respeito, Silva (2007, p. 52) comenta:
Demonstrações por redução ao absurdo (para se demonstrar que 
uma asserção qualquer A, supõe-se a falsidade de A e obtêm-se como 
conseqüência uma falsidade qualquer ou, equivalentemente uma 
contradição. O que mostra que A não pode ser falsa, sendo, portanto, 
verdadeira) ocorrem com freqüência na matemática grega, 
em particular no método da exaustão de Arquimedes, que 
envolve uma dupla redução ao absurdo. A introdução de 
métodos infinitarios na matemática do século XVII, em 
especial por Cavalieri, visava em grande medida substituir 
demonstrações por exaustão por demonstrações diretas, 
causais, respondendo assim às demandas aristotélicas.
Em vários aspectos podemos dizer que os germes da 
ideia da importância de uma ciência dedutiva e o poder 
da lógica puramente formal encontram-se nas concepções 
aristotélicas. Nesta perspectiva, à matemática formal não 
importa o significado nem a veracidade das asserções, mas 
apenas as relações formais entre elas (SILVA, 2007, p. 51). 
Mas isto quer dizer que podemos tomá-la apenas como 
um jogo formal sem nenhuma intenção cognitiva? Este 
questionamento, fruto de intensas querelas e embates 
Zenão de Eléia foi um filósofo pré-
socrático e foi
discípulo de Parmênides. 
Das suas descobertas, destacamos 
a dialética clássica, o modo de 
argumentar que consiste em derivar 
contradições das teses do opositor 
ao seu discurso. Zenão utilizou o 
método na defesa das ideias de 
Parmênides acerca da unidade do ente 
e da impossibilidade do movimento, 
propondo algumas contradições 
ou aporias, que desafiaram os seus 
contemporâneos e intrigam até nossos 
dias. Ver sua descrição no curso de 
História da Matemática.
VOCÊ SABIA?
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31História da Matemática
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políticos entre os matemáticos, será retomado nas próximas aulas, uma vez que não 
se tem uma resposta de argumentação satisfatória.
Outro aspecto que merece ser destacado diz respeito às contribuições de 
Aristóteles com relação a algumas noções que funcionam até nossos dias como 
pedras angulares para o saber matemático. Um destes exemplos e que foi objeto de 
reflexão para Aristóteles diz respeito à noção de infinito.
Em virtude das ponderações aristotélicas, 
desenvolveram-se as noções de infinito atual e infinito 
potencial, entretanto, no que diz respeito ao aspecto 
matemático desta noção, Georg Cantor (1845-1918) 
forneceu o acabamento final, acrescentando alguns 
elementos descuidados por Aristóteles. Com relação a tais 
noções, Silva (2007, p. 51) acrescenta:
Devemo-lhes a distinção fundamental entre 
o infinito atual e o infinito potencial, ou seja, 
entre a noção de uma totalidade finita em 
que sempre cabe mais um indefinidamente 
– o infinito potencial – e uma totalidade 
infinita acabada. Segundo Aristóteles, aos matemáticos bastava a 
noção de infinito potencial. Se bem que esta ideia não corresponde à 
realidade da prática matemática, uma vez que a noção de infinito 
atual é essencial a muitas teorias matemáticas, uma vez que a noção 
de infinito atual é essencial a muitas teorias matemáticas, ela foi, e 
ainda é, aceita por muitos matemáticos, que não vêem na matemática 
do infinito senão uma fonte de absurdos e contradições.
Nas próximas aulas, nos deteremos um pouco mais nestas duas noções 
importantes para a Matemática. Para concluir esta seção, discutiremos ainda parte 
das contribuições devidas à Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) e Immanuel 
Kant (1724-1804) . Machado (1994) explica que cerca de dois mil anos se passaram 
para que a obra aristotélica, enquanto Lógica, fosse retomada e desenvolvida.
Segundo Machado (1994, p. 22), Leibniz fornece uma intensa contribuição 
ao aceitar a pressuposição aristotélica da forma sujeito-predicado de todas as 
proposições. E vai além, ao afirmar que o predicado de uma proposição sempre está 
contido, em algum sentido, no sujeito. Machado (1994, p. 22) esclarece que:
Para Leibniz há duas classes de verdades: as verdades da razão e 
as verdades dos fatos. As verdades da razão são necessárias e sua 
negação não faz sentido. A necessidade se exprime através da análise 
Acreditamos que a radical mudança na 
abordagem sobre o infinito promovida 
por Cantor no final do século XIX pode 
ser melhor destacada com uma análise 
sob três ângulos, que interpretamos 
como três pontos de vista sobre o 
infinito: o histórico, o filosófico e o 
matemático.
ATENÇÃO!
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32 Licenciatura em Matemática
e da conseqüente decomposição em proposições mais simples até que 
se chegue a um ponto em que a necessidade lógica seja transparente. O 
princípio que regula a análise é o da não-contradição, que engloba o da 
não identidade e o do terceiro excluído.
Acrescenta ainda que não só as tautologias como também os axiomas, os postulados 
e os teoremas são verdades da razão, ou seja, são verdades cuja negação é impossível 
de sustentar sem incorrer em contradições (MACHADO, 1994, p. 23). As verdades da 
razão enunciam que uma coisa é necessária e universal, não podendo de modo algum 
ser diferente do que é e de como é. 
Um exemplo evidente das verdades da razão são as ideias matemáticas. É 
inquestionável que o triângulo não possua três lados e que a soma dos seus ângulos 
seja diferente de dois ângulos retos. Outro exemplo interessante de verdade da razão 
é que um circulo não tenha todos os pontos eqüidistantes do centro. Outra verdade 
da razão é que não se pode contradizer o que 2+2 seja diferente de 4; é impossível 
questionar que o todo é maior do que suas partes constituintes. 
As verdades de fato, por outro lado, são as que dependem de nossa experiência 
captada no mundo em que vivemos. De fato, elas são obtidas através da sensação, 
da percepção e da memória. Elas são empíricas e se referem a coisas que poderiam 
ser diferentes do que são, mas podemos identificar causas que sejam assim. Quando 
dizemos que uma rosa é branca, nada impede que ela possa ser vermelha ou amarela, 
mas se ela é branca é porque alguma causa a fez deste modo e aparência. Mas não 
é acidental ou contingente que ela tenha cor e é a “cor” que possui e envolve uma 
causa necessária. 
As verdades de fato são verdades porque para elas funciona e empregamos 
o principio da razão suficiente, segundo o qual tudo o que existe, tudo o que 
percebemos e identificamos, e tudo aquilo que temos experiência possui uma causa 
determinada e identificável e conhecida. Pelo princípio da razão suficiente – isto 
é, pelo conhecimento das causas – toda a verdade de fato pode tornar-se verdades 
necessárias e serem consideradas verdades da razão, ainda que para conhecê-las 
dependamos da experiência mundana. 
Machado (1994, p. 23) explica ainda que as verdades dos fatos são proposições 
empíricas cuja negação não encontra óbices do ponto de vista lógico. É uma verdade 
da razão que minha caneta é uma caneta ou que + =2 2 23 4 5 . É uma verdade de fato 
que minha caneta é preta ou que um corpo, abandonado em uma certa altura da Torre 
de Pisa, cairá até o solo. Machado (1994, p. 23) fornece uma importante distinção: 
Diferentemente de Platão, para quem diagramas, figuras, cálculo 
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33História da Matemática
simbólico, foram elementos auxiliares 
ocasionais, Leibniz acreditava que a 
representação concreta do pensamento em 
símbolos adequados era, segundo suas 
próprias palavras, o “fio de Ariadne” 
que conduz a mente. E o desenvolvimento 
que ele imprime à Lógica decorre do seu 
propósito de criar um método de representar 
o pensamento através de signos, de 
características relacionadas com o que se 
está pensando.
Para concluir esta seção, destacamos a figura 
emblemática da Imanuel Kant. Sua proposta inicial 
consiste na distinção de duas classes de proposições. 
As proposições sintéticas: as que são empíricas, ou 
as sintéticas a posteriori e as que não são empíricas, ou 
sintéticas a priori. As proposições sintéticas a posteriori 
dependem, segundo Kant, da experiência sensível, para 
sua verificação, para sua validação e aceitação. Ou ainda 
de modo indireto, uma vez que são consequências de 
inferências proposicionais passíveis de alguma verificação 
experimental.
Por outro lado, Machado (1994, p. 24) explica que: 
Já as proposições sintéticas a priori não 
dependem da percepção sensorial para sua 
validação, nem são analíticas, isto é, nem 
a sua negação conduz a contradições. São 
proposições necessárias por constituírem 
a base, a condição de possibilidade da 
ciência, da experiência objetiva. 
Para Kant, todas as proposições da Matemática são 
sintéticas a priori. Machado (1994, p. 25) explica este 
posicionamento ao mencionar que:
Os objetos do mundo empírico situam-se no 
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Experiência sensível: Este termo possui 
dupla raiz etimológica. A palavra
latina 
experientia de onde deriva a palavra 
experiência, é originária da expressão 
grega. Deriva-se também de um uso 
específico da palavra empírico. 
SAIBA MAIS!
Validação: Este termo aqui é 
empregado no sentido restrito ao 
âmbito da investigação em Matemática 
Pura, assim, diz respeito à aplicação de 
paradigmas de testagem e verificação 
da confiabilidade dos conteúdos 
matemáticos obtidos.
SAIBA MAIS!
Para a Geometria, o espaço puro é 
um dos primeiros pressupostos. A 
Geometria supõe o espaço sob os seus 
conceitos de polígonos. Por exemplo, a 
linha reta é a distância mais curta entre 
dois pontos (qualquer linha reta = 
universalidade, em quaisquer condições 
= necessidade). Embora não tenha 
em si o princípio de não contradição, 
e dependa da intuição de espaço e, 
portanto é sintética, essa afirmação é 
conhecimento puro ou a priori porque a 
intuição do espaço está em nossa mente. 
E uma vez concebida, não depende 
mais da experiência sensível captada 
por nossos órgãos sensórios.
SAIBA MAIS!
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34 Licenciatura em Matemática
espaço e no tempo. Não é possível estudá-los, conhecê-los, investigá-
los, percebê-los sensorialmente, sem uma concepção inicial do espaço e 
do tempo. A estrutura conceitual do par espaço-tempo é que determina 
o modo como o mundo empírico é apreendido. Esta estruturação é, 
a uma só vez, sintética e a priori. Ao descrever o tempo e o espaço, 
descrevemos não impressões sensíveis de algo situado fora de nós, do 
mundo empírico, mas sim as matrizes permanentes, invariantes, de 
tais conceitos, que existem em nós, independentemente das impressões 
sensíveis e que são a condição de possibilidade de atuar no mundo 
empírico. E a matemática, enquanto se refere ao espaço e ao tempo, 
é constituída de proposições sintéticas a priori e não analíticas, como 
anteriormente era considerada.
Para concluir, ressaltamos que Kant destacou que os
matemáticos são os indivíduos “eleitos” para desvendar os segredos 
do harmônico universo platônico preexistente, de perquiridores de tal 
mundo perfeito universo, ou de criadores de abstrações, de conceitos 
gerais para explicar o mundo, a partir do imperfeito material empírico 
(MACHADO, 1994, p. 25). 
O principal mecanismo de acesso a tais entes não se dá mais por meios dos órgãos 
sensoriais, e sim, por meio da razão introspectiva. 
As ideias repercutidas por estes personagens emblemáticos receberam séculos 
mais tarde uma enorme atenção de matemáticos e filósofos modernos. O interessante 
será reservado a uma análise da forma como tais ideologias ainda se manifestam e 
condicionam as formas de veiculação e ensino do saber matemático. Na próxima 
aula, discutiremos as implicações deste pensamento filosófico antigo.
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1. Pesquisar exemplos de infinito atual e infinito potencial dentro da Matemática.
2. Pesquisar exemplos de verdades da razão e de verdades dos fatos. 
3. Pesquisar exemplos de conhecimentos que não derivam da experiência empírica.
ATIVIDADES DE APROFUNDAMENTO
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 Aula 2
Nas próximas seções, nos deteremos em alguns dos pressupostos fundamentais as-
sumidos pelas principais correntes filosóficas da Matemática. Uma das implicações 
mais importantes diz respeito à identificação de distorções e incongruências relacio-
nadas ao ensino de Matemática. Tais distorções se referem à interpretação dos fenô-
menos relacionados a este ensino sob o viés de teorias pedagógicas de campos de 
saberes não aplicáveis e insuficientes ao saber matemático. Assim, o conhecimento 
das correntes filosóficas da Matemática poderá instrumentalizar o futuro professor 
no sentido de proporcionar uma leitura filosófica de sua própria prática docente. 
Objetivo:
•	 Conhecer as principais correntes absolutistas da Matemática.
•	 Conhecer aspectos do “construtivismo” matemático e os fundamentos da teorização de 
Piaget e suas implicações para o ensino.
Filosofia da Matemática
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AS CORRENTES FILOSÓFICAS 
DA MATEMÁTICA01
TÓPICO
OBJETIVO
Conhecer as principais correntes absolutistas da 
Matemática.
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Nesta aula discutiremos as principais correntes filosóficas da Matemática. Alguns dos autores escolhidos e consultados ao longo do texto as denominam de correntes absolutistas, pelo fato de não conceber o caráter 
falível do saber matemático. Um comentário introdutório sobre tais correntes podem 
ser encontradas em Machado (1994, p. 26) quando esclarece que: 
As principais concepções a respeito da natureza da Matemática, de 
sua relação com a realidade, a despeito de suas várias raízes e dos 
inúmeros filósofos envolvidos, convergiram a partir da segunda 
metade do século XIX, para três grandes troncos. Estas três grandes 
correntes do pensamento matemático, cada uma das quais pretendendo 
fundamentar a Matemática, sua produção, seu ensino, são o Logicismo, 
o Formalismo e o Intuicionismo. 
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Certamente que a classificação fornecida por Machado (1994) é de caráter 
esquemático e pedagógico, uma vez que é impossível enquadrar de modo indiscutível 
todas as concepções nesta camisa-de-força (MACHADO, 1994, p. 26). No contexto 
histórico, identificamos que, no final do século passado, a Matemática havia-
se desenvolvido enormemente, com os trabalhos de Leonhard Euler, Johann Carl 
Friedrich Gauss (no século XVIII) e as contribuições, principalmente os resultados 
obtidos por Georg Cantor (no século XIX). 
Cury (1994, p. 53) destaca que alguns filósofos matemáticos, no entanto, estavam 
preocupados com o surgimento de paradoxos e contradições na Lógica e na Teoria dos 
Conjuntos. Assim, com a intenção de identificar critérios mais rigorosos e confiáveis 
no sentido de fundamentar a Matemática, desenvolveram-se três escolas de filosofia, 
cuja influência se faz sentir até os dias atuais: o Logicismo, o Intuicionismo e o 
Formalismo (CURY, 1994, p. 53).
Ao declarar que seus efeitos ainda podem ser identificados nos dias de hoje, Cury 
faz um parêntese importante que nos auxiliará no aprofundamento com respeito à 
atividade avaliativa em Matemática. Muitos tentam compreender e descrever este 
fenômeno específico por meio de teorias “importadas” de outros campos do saber, o 
que resulta em uma leitura e significação de caráter retórico, pouco operacional no 
que diz respeito à sua aplicação no ensino efetivo de Matemática.
 Iniciamos nossa discussão com uma reflexão de 
Russell (1920, p. 18) quando alerta que:
Matemática e lógica, historicamente, 
têm sidoestudos inteiramente distintos 
[...] Mas ambos têm se desenvolvido 
em tempos modernos; a lógica tornou-se 
mais matemática e matemática tornou-
se mais lógica. A conseqüência é que 
agora se tornou completamente impossível traçar uma linha entre 
os dois, na verdade os dois são um só [..] A prova da sua identidade é, 
naturalmente, uma questão de detalhe.
No excerto acima identificamos a dificuldade de traçarmos uma linha divisória 
entre Matemática e Lógica. De fato, até mesmo mentes brilhantes, como a de Bertrand 
Russell (1872-1970), destacavam tal empecilho. Mas já que introduzimos a polêmica 
em torno da Lógica, discutiremos inicialmente alguns aspectos relacionados ao 
Logicismo. Para falar do Logicismo, é necessário falar de Gottlob Frege (1848-1925). 
 
Bertrand Russell foi um matemático, 
filósofo, lógico e historiador 
matemático inglês. 
VOCÊ SABIA?
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Silva (2007, p. 127) acentua
que a estratégia logicista de Frege começa com uma 
releitura das distinções kantianas. Frege nos alerta de saída para nunca confundirmos 
o lógico com o psicológico. Em sua concepção:
A razão é simples, representações são “cópias” das coisas em nossa 
mente, elas são objetos mentais, e qualquer tentativa de definir 
analiticidade em termos de representações mentais corre o risco de ser 
contaminada pelo psicologismo. Para Frege, essa distinção entre o a 
priori e o posteriori, é puramente lógica [...] (SILVA, 2007, p. 127).
No trecho acima, Silva expõe a crítica de Frege ao Psicologismo que manifesta 
preocupação com a interpretação que possamos dar às nossas representações mentais 
que construímos no decorrer de nossa existência finita no mundo. 
Seu posicionamento do valor da Lógica é identificado por Silva (2007, p. 126-
127) quando menciona:
Apesar de concordar com Kant quanto à Geometria, Frege acreditava 
que a aritmética é analítica, porém em um sentido de analiticidade 
diferente de Kant. Mais precisamente, para Frege, a aritmética é 
redutível à lógica, ela nada mais é do que pura lógica. Para fazer 
prevalecer esse ponto de vista, Frege engajou-se numa luta sem 
quartel contra as filosofias que, segundo ele, comprometiam o caráter 
da verdade aritmética em particular os empiristas, para os quais a 
verdade aritmética é uma generalização da experiência, fundada em 
sólida base indutiva; e os psicologistas, para os quais os números são 
entidades mentais e as verdades aritméticas dependem de leis empíricas 
que regulam nossos processos mentais; isto é, leis da psicologia.
Para Frege, uma proposição matemática pode apresentar 
duas naturezas distintas. De fato, temos uma proposição 
analítica quando a demonstração desta proposição 
envolve apenas leis lógicas gerais e definições formais. 
Se, pelo contrário, qualquer demonstração de uma 
proposição recorre ao emprego de verdades de escopo 
limitado (como os axiomas da geometria), ela será uma 
proposição sintética. Ademais, quando a mesma proposição 
utiliza verdades particulares, embora não demonstráveis 
(como as asserções que expressam os dados imediatos dos 
sentidos), ela será uma proposição a posteriori. E quando 
O Empirismo é descrito e caracterizado 
pelo conhecimento científico, a 
sabedoria é adquirida por intermédio 
da apreensão perceptual, pela 
origem das ideias por onde captamos 
e percebemos as coisas, de modo 
independe de seus objetivos e 
significados. E pela relação de causa-
efeito por onde fixamos nossa mente, 
o que é percebido/identificado atribui 
à percepção causas e efeitos.
SAIBA MAIS!
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39História da Matemática
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em tal proposição observamos que sua demonstração se fundamenta em fatos e 
verdades gerais, ela será a priori (SILVA, 2007, p. 127). De modo resumido, temos o 
quadro sistemático de classificação segundo as concepções de Frege.
Proposições Características
Quanto à 
demonstração
Proposição sintética
Emprega verdades de 
escopo limitado para 
assegurar sua validade
Quando recorre apenas a 
verdades gerais (a priori)
Proposição analítica
Sua verificação envolve 
o recurso de leis gerais 
da lógica e definições 
formais
Quando se fundamenta 
em verdades 
particulares, não 
demonstráveis (a 
posteriori)
Quadro 1: Propriedades das proposições (SILVA, 2007, p. 133)
Dando continuidade ao pensamento da corrente Logicista, encontramos o 
matemático e filósofo Bertrand Russell. Silva (2007, p. 134) diz que Russell não foi 
tão pessimista quanto Frege sobre o destino do programa logicista. Seu pensamento 
pode ser contemplado no seguinte trecho:
A matemática é um estudo que, quando iniciado de suas partes mais 
familiares, pode ser levado a efeito em duas direções opostas. A mais 
comum é construtivista, no sentido da complexidade gradativamente 
crescente: dos inteiros para as frações, os números reais, os números 
complexos, da adição e multiplicação para a diferenciação e integração 
e daí para a matemática superior. A outra direção, que é menos 
familiar, avança, pela análise, para a abstração e a simplicidade 
lógica sempre maiores; em vez de indagar o que pode ser definido e 
deduzido daquilo que se admita para começar, indaga-se que mais 
ideias e princípios gerais podem ser encontrados, em função dos quais 
o que fora o ponto de partida possa ser definido ou deduzido. É o fato de 
seguir essa direção oposta é que caracteriza a Filosofia da Matemática, 
em contraste comum com a matemática (RUSSELL, 1981, p. 9, apud 
SILVA, 2007, p. 135).
Note-se que, no trecho acima, apesar de extenso, há espaço para a inspiração 
adequada para nossa discussão. Observamos a distinção do termo construtivismo em 
Matemática. Russell faz indicações concretas a respeito da necessidade de construção 
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progressiva dos conceitos matemáticos, passo a passo. Neste sentido, destaca o papel 
da abstração humana como a capacidade ontológica do indivíduo que proporciona 
determinados saltos, avanços e retrocessos qualitativos do indivíduo. 
Nesse sentido, Russell (1981, p. 9) salienta que os antigos geômetras gregos ao 
passarem das regras de agrimensura empíricas egípcias e proposições gerais pelas quais 
se constatou estarem aquelas regras justificadas, e daí para os axiomas e postulados 
de Euclides, estavam praticando a Filosofia da Matemática. Por outro lado, uma vez 
atingido os axiomas e postulados, o seu emprego dedutivo, como testemunhamos em 
Euclides, pertencia à matemática no sentido comum. A distinção entre matemática e 
filosofia da matemática depende do interesse que inspire a pesquisa e da etapa por esta 
atingida e não das proposições às quais a investigação esteja afetada (RUSSELL, 1981, 
p. 9).
Russell, considerado um filósofo logicista, ressaltava alguns aspectos que 
deveriam ser tomados com vigilância pelos próprios logicistas. Em suas palavras, 
percebemos alguma destas ressalvas:
Uma vez toda a matemática pura e tradicional reduzida à teoria dos 
números naturais, o passo seguinte na análise lógica, foi reduzir essa 
própria teoria ao menor conjunto de premissas e termos não definidos 
dos quais se pudesse ser derivada. Esse trabalho foi realizado por Peano. 
Ele mostrou que toda a teoria dos números naturais podia ser derivada 
de três ideias primitivas e cinco proposições primitivas, além daquelas 
da Lógica pura. Essas três ideias e cinco proposições tornaram-se, 
desse modo, por assim dizer, as garantias de toda a matemática pura. 
Seu “peso” lógico, caso se possa usar tal expressão, é igual ao de toda a 
série de ciências deduzidas da teoria dos números naturais; a verdade 
das cinco proposições primitivas, desde que, naturalmente, nada haja 
de errôneo no aparato lógico também envolvido (1981, p. 12). 
A principal tese logicista foi defendida por Russell, Whitehead, na fundamental 
obra Principia Mathematica. O autor pretendia derivar as leias da Aritmética e, de 
resto, toda a Matemática, das leis da Lógica normativa elementar. Muito cedo, porém, 
a Lógica aristotélica, mesmo incorporando os desenvolvimentos de Leibniz, bem como 
os que seguiram, mostrou-se pequena demais para tal tarefa (MACHADO, 1994, p. 
27). Neste sentido, Machado (1994) aponta os seguintes objetivos propostos pelos 
logicistas:
a) todas as proposições matemáticas podem ser expressas na terminologia lógica;
b) todas as proposições matemáticas verdadeiras são expressões de verdades lógicas.
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Cury (1994, p. 54) menciona que alguns dos logicistas