exercícios+Teoria+de+Controle+Moderno+II

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Curso: Engenharia Elétrica
	Série: 7ª / 8ª
	Turma:
	Disciplina: Teoria de Controle Moderno II
	Período: B2
	Data: 17/11/2017
	Professor(a): Walter Pereira da Silva Jr
	Sala: 106
Exercícios:
Projete um controlador de realimentação de variáveis de estado para resultar em uma ultrapassagem de 20,8% e um tempo de acomodação de 4 segundos para a planta.
CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE SÃO PAULO
Rua: Afonso Celso 235 – Vila Mariana – São Paulo (SP) 04119-001 – (11) 5085-9000
𝐺(𝑠) =
(𝑠 + 4)
 
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)
Solução:
O diagrama de sinal para a planta acima mostrando os controladores é:
Na planta acima temos um zero sendo - 4 e três polos sendo -1, -2 e -5.
O polo da planta é de 3ª ordem como segue:
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 5) = 𝑠3 + 8𝑠2 + 17𝑠 + 10
Em uma ultrapassagem de 20,8% e um tempo de acomodação de 4 segundos, temos:
−ln(%𝑈𝑃)
𝜏 = 	100	= 0,447
100√𝜋2 + 𝑙𝑛2( %𝑈𝑃)
𝜋
𝜔𝑛 =	 	= 0,878 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑇𝑝√1 − 𝜏2
Onde: τ é o coeficiente de amortecimento e ωn é a frequência angular. A equação característica é: 𝑠2 + 2𝜏𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 𝑠2 + 0,785𝑠 + 0,771
Adicionando um polo em – 4 para cancelar o zero em – 4 temos a equação característica desejada (𝑠2 + 0,785𝑠 + 0,771). (𝑠 + 4), 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎:
𝑠3 + 4,785𝑠2 + 3,911𝑠 + 3,084 (𝐸𝑞. 𝐼)
A matriz de sistema compensada na forma de variáveis de fase é A – BK:
A – BK = [
0	1	0
0	1	0	]
−(10 + 𝐾1)	−(17 + 𝐾2)	−(8 + 𝐾3)
Para os polos da planta temos: (s+1)(s+2)(S+3) = 𝑠3 + 𝟖𝑠2 + 𝟏𝟕𝑠 + 𝟏𝟎
A equação característica para esse sistema é:
𝑠𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾) = 𝑠3 + (8 + K3) 𝑠2 + (17 + 𝐾2)𝑠 + (10 + 𝐾1) (Eq. II)
Igualando os coeficientes da equação característica desejada (Eq. I) aos coeficientes da equação característica para esse sistema (Eq. II), podemos calcular os ganhos de controle como segue:
𝑠3 + 4,785𝑠2 + 3,911𝑠 + 3,084 (𝐸𝑞. 𝐼)
𝑠3 + (8 + K3) 𝑠2 + (17 + 𝐾2)𝑠 + (10 + 𝐾1) (Eq. II)
Fazendo (Eq. I) = (Eq. II), tem-se: 3,084 = 10 + K1 ; K1 = - 6,916
3,911 = 17 + K2 ; K2 = - 13,089
4,785 = 8 + K3 ; K3 = - 3,215
Resposta: K1 = - 6,916 ; K2 = - 13,089 e K3 = - 3,215 K = [K1 K2 K3] = [- 6,916 -13,089 – 3,215]
Para a planta abaixo, pede-se o diagrama de fluxo de sinal simplificado mostrando o esboço dos nós, a conexão dos nós e os nomes dos subsistemas.
Solução:
O diagrama de fluxo de sinal para a função de transferência à frente:
O diagrama de fluxo de sinal para o sistema completo:
Para a planta abaixo, determine os ganhos dos controladores para um coeficiente de amortecimento de 0,69 e uma frequência angular de 5,3 rad/s.
𝐺(𝑠) =
2(𝑠 + 4)
 
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 6)
Converta o diagrama de bloco abaixo em diagrama de fluxo de sinal.
Para a planta abaixo, projete os ganhos de realimentação das variáveis de fase para resultar em 5% de ultrapassagem e um instante de pico de 0,3 segundos.
𝐺(𝑠) =
100(𝑠 + 10)
 
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 + 12)
Solução:
O diagrama de sinal para a planta acima mostrando os controladores é:
Na planta acima temos um zero sendo -10 e três polos sendo 0, -3 e -12.
O polo da planta é de 3ª ordem como segue:
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 + 12) = 𝑠3 + 15𝑠2 + 36𝑠
Em uma ultrapassagem de 5% e um tempo de acomodação de 0,3 segundos, temos:
−ln(%𝑈𝑃)
𝜏 = 	100	= 0,69
100√𝜋2 + 𝑙𝑛2( %𝑈𝑃)
𝜋
𝜔𝑛 =	 	= 14,47 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑇𝑝√1 − 𝜏2
Onde: τ é o coeficiente de amortecimento e ωn é a frequência angular.
A equação característica é: 𝑠2 + 2𝜏𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 𝑠2 + 19,97𝑠 + 209,4
Adicionando um polo em – 10 para cancelar o zero em – 10 temos a equação característica desejada (𝑠2 + 19,97𝑠 + 209,4). (𝑠 + 10), 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎:
𝑠3 + 29,97𝑠2 + 409,1𝑠 + 2094 (𝐸𝑞. 𝐼)
A matriz de sistema compensada na forma de variáveis de fase é A – BK:
A – BK = [
0	1	0
0	1	0	]
−𝐾1	−(36 + 𝐾2)	−(15 + 𝐾3)
Para os polos da planta temos: s(s+3)(s+12) = 𝑠3 + 𝟏𝟓𝑠2 + 𝟑𝟔𝑠
A equação característica para esse sistema é:
𝑠𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾) = 𝑠3 + (𝟏𝟓 + K3) 𝑠2 + (𝟑𝟔 + 𝑲𝟐)𝑠 + 𝐾1 (Eq. II)
Igualando os coeficientes da equação característica desejada (Eq. I) aos coeficientes da equação característica para esse sistema (Eq. II), podemos calcular os ganhos de controle como segue:
𝑠3 + 𝟐𝟗, 𝟗𝟕𝑠2 + 𝟒𝟎𝟗, 𝟏𝑠 + 𝟐𝟎𝟗𝟒 (𝐸𝑞. 𝐼)
𝑠3 + (15+ K3) 𝑠2 + (𝟑𝟔 + 𝑲𝟐)𝑠 + 𝑲𝟏 (Eq. II)
Fazendo (Eq. I) = (Eq. II), tem-se: K1 = 2094
409,1 = 36 + K2 ; K2 = 373,1
29,97= 15 + K3 ; K3 = 14,97
Resposta: K1 = 2094 ; K2 = 373,1 e K3 = 14,97 K = [K1 K2 K3] = [2094 373,1 14,97]