Espaço de Estado

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Modelagem de Sistemas de Controle por Espac¸o de
Estados
A modelagem por espac¸o de estados possui diversas vantagens.
• Introduz a teoria conhecida como“Controle Moderno”;
• Adequada para sistemas de mu´ltiplas entradas e mu´ltiplas sa´ıdas (MIMO);
• Possibilita o projeto de controladores usando te´cnicas avanc¸adas.
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 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Modelagem de Sistemas de Controle por Espac¸o de
Estados
Algumas definic¸o˜es:
• Estado: O estado de um sistema dinaˆmico e´ o menor conjunto de
varia´veis (chamadas varia´veis de estado) tal que o conhecimento destas
varia´veis para t = t0 ,juntamente com a entrada para t ≥ t0, determina
completamente o comportamento do sistema para qualquer instante
t ≥ t0.
• Varia´veis de estado: As varia´veis de estado de um sistema dinaˆmico sa˜o
o menor conjunto de varia´veis que determinam o estado do sistema
dinaˆmico. Se pelo menos n varia´veis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sa˜o necessa´rias
para descrever completamente o comportamento de um sistema dinaˆmico
(tal que uma vez dada a entrada para t ≥ t0 e o estado inicial em t = t0, o
estado futuro do sistema esta´ completamente determinado), enta˜o as tais
n varia´veis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sa˜o um conjunto de varia´veis de estado.
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Modelagem de Sistemas de Controle por Espac¸o de
Estados
• Se n varia´veis de estado sa˜o necessa´rias para descrever completamente o
comportamento de um sistema, enta˜o estas n varia´veis de estado podem
ser consideradas como as n componentes de um vetor x(t). Tal vetor e´
chamado de vetor de estados.
• O espac¸o n dimensional cujo eixos de coordenadas sa˜o x1, x2, . . . , xn, e´
chamado espac¸o de estados. Qualquer estado pode ser representado por
um ponto no espac¸o de estados.
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Modelagem de Sistemas de Controle por Espac¸o de
Estados
Trabalhamos nesse curso com o sistema linear na forma
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (1)
y(t) = Cx(t) +Du(t), (2)
onde A e´ chamada de matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz de
sa´ıda e D matriz de transic¸a˜o direta. Uma representac¸a˜o do diagrama de
blocos deste sistema de equac¸o˜es lineares pode ser representado em diagrama
de blocos, como mostrado na Figura 1.
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Figura: Diagrama de blocos de um sistema linear de tempo cont´ınuo representado
no espac¸o de estados.
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Exemplo
Representar circuito RLC na forma
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
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Relembrando a lei da tenso˜es de Kirchhoff:
L
di(t)
dt
+ Ri(t) + eo(t) = ei (t) e
Cdeo(t)
dt
= i(t)
Denomine x1(t) = i(t) [corrente no Indutor], x2(t) = eo(t) [tensa˜o no
Capacitor], u(t) = ei (t) [entrada de tensa˜o] para escrever as duas equac¸o˜es:
Lx˙1(t) + Rx1(t) + x2(t) = u(t) Cx˙2(t) = x1(t)
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Podemos reescrever as duas equac¸o˜es anteriores de modo equivalente a:
[
x˙1(t)
x˙2(t)
]
=
[
−R
L
−1
L
0 1
C
] [
x1(t)
x2(t)
]
+
[
1
L
0
]
u(t) (3)
Se consideramos eo(t) a sa´ıda, enta˜o
y(t) = [0 1]
[
x1(t)
x2(t)
]
.
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Circuitos RLC
Para um circuito ele´trico RLC, pode-se empregar o seguinte procedimento
para obtenc¸a˜o da representac¸a˜o em espac¸o de estados:
1. Escolha cada tensa˜o independente de capacitores e toda corrente
independente de indutor como varia´veis de estado;
2. Encontre um conjunto de correntes de malha e expresse as varia´veis de
estado e suas respectivas derivadas primeiras em termos das correntes de
malha;
3. Escreva as equac¸o˜es de malha e elimine todas as varia´veis, exceto as de
estado e suas primeiras derivadas, das equac¸o˜es encontradas nos passos
anteriores.
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Circuitos RLC
Exemplo
Obtenha uma representac¸a˜o em espac¸o de estados para o circuito da Figura
abaixo.
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Passo 1: Ha´ um capacitor e um indutor no circuito. Assim a corrente x1 no
indutor e a tensa˜o x2 no capacitor sera˜o escolhidas como varia´veis de estado.
Passo 2: A relac¸a˜o entre as correntes de malha e as varia´veis de estado sa˜o
dadas por:
x1 = i2 (4)
1
2
x˙2 = i2 − i3 (5)
Passo 3: As equac¸o˜es de malha sa˜o:
4i1 − 2i2 = v (6)
2 (i2 − i1) + x˙1 + x2 = 0 (7)
−x2 + 3i3 = 0 (8)
Eliminando i1, i2 e i3 das equac¸o˜es anteriores, segue que:
x˙1 = 2 (−i2 + i1)− x2 = −x1 +
1
2
v − x2, (9)
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E
x˙2 = 2x1 −
2
3
x2. (10)
Portanto, [
x˙1
x˙2
]
︸ ︷︷ ︸
x
=
[
−1 −1
2 −2/3
]
︸ ︷︷ ︸
A
[
x1
x2
]
︸ ︷︷ ︸
x
+
[
1/2
0
]
︸ ︷︷ ︸
B
v . (11)
Considere que a sa´ıda seja a tensa˜o no resistor de 2Ω da malha mais a` direita,
ou seja,
y = 2i3 =
2
3
x2, (12)
ou seja,
y =
[
0 2/3
]
︸ ︷︷ ︸
C
[
x1
x2
]
︸ ︷︷ ︸
x
+ 0︸︷︷︸
D
v . (13)
Vale lembrar que a forma de representac¸a˜o em espac¸o de estados na˜o e´ u´nica.
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Representac¸a˜o em Espac¸o de Estados de Sistemas de
EDO Lineares com derivadas na entrada
Considere um sistema dinaˆmico descrito pela equac¸a˜o diferencial
(n)
y +a1
(n−1)
y + · · · an−1y˙ + any = b0
(n)
u +b1
(n−1)
u + · · ·+ bn−1u˙ + bnu, (14)
ou, equivalentemente, pela func¸a˜o de transfereˆncia
T (s) =
Y (s)
U(s)
=
b0s
n + b1s
n−1 + · · ·+ bn−1s + bn
sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an
(15)
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Uma das poss´ıveis representac¸o˜es em espac¸o de estados que pode ser obtida,
neste caso, consiste em definir as n varia´veis de estado da seguinte forma:
x1 = y − β0u
x2 = x˙1 − β1u
x3 = x˙2 − β2u
...
xn = x˙n−1 − βn−1u
onde,
β0 = b0
β1 = b1 − a1b0
β2 = b2 − a1β1 − a2b0
...
βn = bn − a1βn−1 − · · · − an−1β1 − anb0
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Com tal escolha, pode-se mostrar que:
x˙1 = x2 + β1u
x˙2 = x3 + β2u
...
x˙n−1 = xn + βn−1u
x˙n = −anx1 − an−1x2 − · · · − a1xn + βnu
Em termos de vetor e matriz, tem-se:


x˙1
x˙2
...
x˙n−1
x˙n


︸ ︷︷ ︸
x
=


0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1


︸ ︷︷ ︸
A
·


x1
x2
...
xn−1
xn


︸ ︷︷ ︸
x
+


β1
β2
...
βn−1
βn


︸ ︷︷ ︸
B
u
(16)
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y =
[
1 0 . . . 0
]


x1
x2
...
xn

+ β0u (17)
Em seguida sera˜o vistas algumas outras formas de representac¸a˜o da Equac¸a˜o
(14) no espac¸o de estados.
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Sistemas lineares
No espac¸o de estados, e´ possivel determinar G(s) = Y (s)
U(s) . Note que
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (18)
y(t) = Cx(t) + Du(t) (19)
Aplicando a transformada de Laplace na equac¸a˜o anterior e considerando
condic¸o˜es iniciais nulas, tem-se que
sX (s) = AX (s) + BU(s) (20)
Y (s) = CX (s) + DU(s) (21)
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Da primeira equac¸a˜o, tem-se que
(sI− A)X (s) = BU(s)⇒ X (s) = (sI − A)−1BU(s) (22)
Substituindo X (s) na segunda equac¸a˜o, tem-se que
Y (s) =
[
C(sI− A)−1B+ D
]
U(s) (23)
Portanto,
Y (s)
U(s)
= C(sI− A)−1B+ D = G(s) (24)
Como o termo (sI − A)−1 aparece na expressa˜o de G(s), verifica-se que
G(s) =
Q(s)
det (sI− A)
, (25)
onde Q(s) e´ um polinoˆmio em s e det(·) e´ o determinante de uma matriz.
Note que os polos de G(s) sa˜o os autovalores de matriz A.
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Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es de Estado Homogeˆneas
A soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea do tipo
x˙(t) = ax(t), (26)
e´ dada por
x(t) = eatx(0) (27)
Analogamente para uma equac¸a˜o de estado homogeˆnea do tipo
x˙(t) = Ax(t), (28)
tem-se a seguinte soluc¸a˜o:
x(t) = eAtx(0) (29)
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O termo eAt e´ chamado de matriz exponencial. Pode-se mostrar que
eAt =
∞∑
k=0
Aktk
k!
(30)
Algumas propriedades:
•
d
dt
eAt = AeAt;
• eAte−At = eA(t−t) = I;
• e(A+B)t = eAteBt, se AB = BA;
• e(A+B)t 6= eAteBt, se AB 6= BA;
• eA(t+τ ) = eAteAτ .
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de estados homogeˆnea tambe´m pode ser feita
utilizando a transformada de Laplace. Aplicando-se a transformada na
equac¸a˜o x˙ = Ax , verifica-se que
sX(s)− x(0) = AX(s)⇒ (sI− A)X(s) = x(0) (31)
Portanto,
X(s) = (sI − A)
−1
x(0) (32)
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Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se:
x(t) = L−1
[
(sI− A)
−1
]
x(0) (33)
Portanto, tem-se que:
L
−1
[
(sI− A)−1
]
= eAt (34)
Exemplo
Considere o sistema linear[
x˙1(t)
x˙2(t)
]
=
[
0 −1
1 −2
] [
x1(t)
x2(t)
]
com condic¸o˜es iniciais x0 = [1 1]
′. Determine x(t).
Soluc¸a˜o:
Precisamos determinar eAt para usar a expressa˜o x(t) = eAtx0 .
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Note que
(sI − A)−1 =
[
s 1
−1 s + 2
]
−1
=
1
(s + 1)2
[
s + 2 −1
1 s
]
Aplicando te´cnica de expansa˜o por frac¸o˜es parciais chega-se a:
1
(s + 1)2
[
s + 2 −1
1 s
]
⇒ exp(At) =
[
(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)
t exp(−t) (1− t) exp(−t)
]
Enta˜o [
x1(t)
x2(t)
]
=
[
(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)
t exp(−t) (1− t) exp(−t)
] [
1
1
]
=
[
exp(−t)
exp(−t)
]
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Soluc¸a˜o do Sistema Linear
Considere o sistema linear
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0.
Dada a condic¸a˜o inicial x(0) e a entrada u(t) para todo o instante de tempo
t ≥ 0, a soluc¸a˜o do sistema e´:
x(t) = eAtx(0) +
∫ t
0
eA(t−τ )Bu(τ)dτ
Homework:
Considere o sistema linear[
x˙1(t)
x˙2(t)
]
=
[
0 −1
1 −2
] [
x1(t)
x2(t)
]
+
[
1
0
]
u(t)
com condic¸o˜es x0 = [1 1]
′ e u(t) = 1, ∀t ≥ 0. Determine x(t).
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Realimentac¸a˜o completa de estados
Considere o sistema a controlar representado no espac¸o de estados por:
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (35)
Supondo a existeˆncia de sensores ou medidores de todas as varia´veis de
estado em x(t) = [x1(t), . . . , xn(t)]
′, podemos enta˜o usar elementos
x1(t), . . . , xn(t) para implementar a realimentac¸a˜o de estados.
• A sa´ıda y(t) = Cx(t) pode ser reescrita com C igual a matriz identidade.
Isso significa que y(t) = x(t).
• Se cada uma das varia´veis de estado xi (t) for empregada no controle
atrave´s de um ganho ki , havera´ n ganhos ki , representados pelo vetor
K = [k1 · · · kn] que podem ser ajustados para produzir os valores desejados
dos polos de malha fechada atrave´s da formula
u(t) = Kx(t) + r(t),
no qual r(t) representa a entrada de referencia (pode ser degrau, rampa,
senoide, ou outra entrada qualquer).
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Com a realimentac¸a˜o estados, tem-se que:
x˙ = Ax+ B (Kx+ r) = (A+ BK) x+ Br (36)
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• No problema de rastreamento consideramos r(t) 6= 0 qualquer (degrau,
rampa, etc).
• No problema de regulac¸a˜o consideramos r(t) = 0 (sempre nulo).
Vamos supor que desejamos trabalhar a regulac¸a˜o. Disto a equac¸a˜o
caracter´ıstica do sistema descrito em (36) e´ dada por
det (sI− [A+ BK]) (37)
Suponha que desejamos alocar os po´los da malha fechada em p1, . . . , pn.
Enta˜o
pc(s) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) , (38)
e por isso o vetor K pode ser obtido como
det (sI− [A+ BK]) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) (39)
Se o sistema dinaˆmico x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) e´ controla´vel, enta˜o sempre
existe K = [k1 k2 · · · kn], tal que
det (sI− [A+ BK]) = pc(s)
para qualquer polinoˆmio pc(s) de grau n especificado.
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Controlabilidade
• Conceito importante: Controlabilidade.
• Dizemos que um sistema linear x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) e´ controla´vel se a
matriz
C =
[
B AB A2B · · · An−1B
]
possui rank(C)=n. Isso significa que todas as linhas de C obrigatoriamente
devem ser linearmente independentes entre si.
Exemplo
Considere o sistema descrito por
x˙(t) =

 0 1 00 0 1
−1 −5 −6

 x(t) +

 10
1

 u(t)
E´ poss´ıvel alocar os polos de malha fechada do sistema controlado em
s = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10? Se sim determine K tal que
u(t) = Kx(t) realiza essa tarefa.
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Soluc¸a˜o:
O Sistema e´ controla´vel pois n = 3,
C =

 1 0 10 1 −7
−1 −7 37


e o rank(C)=3 pois todas as linhas de C sa˜o linearmente independentes.
Portanto a resposta e´ sim.
Projeto do controle: defina K = [k1 k2 k3]
A+ BK =

 k1 k2 + 1 k30 0 1
k1 − 1 k2− 5 k3− 6


tem-se que:
det (sI− [A+ BK]) =

 s −1 00 s −1
1− k1 5− k2 s + 6− k3


= k2 − 6k1 + 5s − 6k1s − k2s + k3s − k1s
2 − k3s
2 + 6s2 + s3 + 1
= s3 + (6− k1 − k3) s
2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)
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Usando os polos em s = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10 podemos escrever
(s − (−2 + j4))(s − (−2− j4))(s + 10) = s3 + 14s2 + 60s + 200
Logo,
s3 + (6− k1 − k3) s
2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)
= s3 + 14s2 + 60s + 200
Da igualdade acima obtemos (Homework: determine k1, k2, k3)
K = [k1 k2 k3]
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Realimentac¸a˜o de sa´ıda
Considere o sistema a controlar representado no espac¸o de estados por:
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) (40)
Suponha que exista somente alguns sensores ou medidores dispon´ıveis. Isso
quer dizer que na˜o temos sensores simultaneamente para x1(t), . . . , xn(t).
Equivalentemente, a matriz C e´ “deitada”, ou seja, rank(C ) e´ menor que n.
Adotamos
u(t) = Fy(t) = FCx(t)
• Problema: determinar F = [f1, . . . , fq] de modo que os polos de malha
fechada de A+ BFC satisfac¸am especificac¸o˜es de projeto
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Realimentac¸a˜o de sa´ıda
Homework
Considere o sistema linear descrito por
x˙ =

4 2 41 0 0
0 1 0

 x +

10
0

 u
y =
[
1 0 1
0 1 0
]
x
(a) Encontre (se poss´ıvel; se na˜o for poss´ıvel, justifique) uma realimentac¸a˜o
de estados u = Kx , K ∈ R1×3, que aloque os autovalores do sistema em
malha fechada A+ BK em −1,−2,−3.
(b) Encontre (se poss´ıvel; se na˜o for poss´ıvel, justifique) uma realimentac¸a˜o
de sa´ıda u = Fy , F ∈ R1×2, quealoque os autovalores do sistema em malha
fechada A+ BFC em −1,−2,−3.
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Conversor DC-DC buck
Conversor DC-DC buck
Este conversor e´ muit´ıssimo utilizado em aplicac¸o˜es de Eletroˆnica. Sua
caracter´ıstica ba´sica e´ prover na sa´ıda (ou seja em vo(t)) uma tensa˜o inferior
aquela da entrada vg (t). Determine a representac¸a˜o em Espac¸o de Estados.
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Conversor DC-DC buck
Soluc¸a˜o
O conversor DC-DC opera em dois modos: ON ou OFF. Note na Figura que o
Driver envia ao MOSFET um sinal PWM que liga-desliga o MOSFET. Tal
comportamento faz o MOSFET atuar como uma chave“fechada”ou“aberta”.
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Conversor DC-DC buck
• CASO 1: MOSFET no modo ON:
MOSFET se comporta como chave
fechada e o diodo na˜o conduz. Enta˜o
o circuito do conversor DC-DC buck
pode ser reescrito na forma da figura
acima. [Considere sempre iinj(t) = 0].
Escreva RON = RL + Rt
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Conversor DC-DC buck
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Conversor DC-DC buck
• CASO 2: MOSFET no modo OFF:
MOSFET se comporta como chave
aberta e o diodo conduz. Enta˜o o
circuito do conversor DC-DC buck
pode ser reescrito na forma da figura
acima. [Considere sempre iinj(t) = 0].
Escreva Roff = RL + Rd
Observac¸a˜o: Neste Caso 2
as equac¸o˜es sa˜o as mesmas
do Caso 1, exceto que deve-
se fazer al´ı vg (t) = 0 e tro-
car RON por Roff para re-
cuperar as expresso˜es exa-
tas para o Caso 2.
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Conversor DC-DC buck
Importante
Observe que obtemos dois sistemas distintos, o primeiro va´lido para ON e o
segundo para OFF. Qual deles devemos adotar?
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Conversor DC-DC buck
• Qual dos sistemas devemos adotar? Resposta: Sistema me´dio obtido como
combinac¸a˜o linear de ambos.
Fato: Quando a frequeˆncia do PWM e´ superior a 10 KHz, a representac¸a˜o
me´dia apresenta-se muito adequada para capturar o comportamento real do
conversor buck.
0 ≤ δ(t) ≤ 1
δ(t) representa a porcentagem do tempo ON do Duty-cycle do PWM.
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Conversor DC-DC buck
Representar me´dia do Conversor DC-DC buck
O sistema me´dio do conversor buck e´
dx(t)
dt
= δ(t)[A1x(t) + B1u(t)] + (1 − δ(t))[A2x(t) + B2u(t)]
Lembrando que iinj(t) = 0 e que A1 = A2 temos
dx(t)
dt
= A1x(t) + B1Vg (t)δ(t)
y(t) = C1x(t)
Normalmente supomos a entrada Vg (t) um valor constante, enta˜o δ(t) passa
a ser a entrada de controle restrita a assumir valores somente no intervalo
[0, 1].
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Exerc´ıcio do conversor DC-DC buck
Exerc´ıcio
Considere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:
Rt = RL = RC = 1mΩ L = 20mH C = 100µF R = 10Ω Vg (t) = 25V
1. Determine a equac¸a˜o de espac¸o de estados do conversor.
2. Determine se o sistema e´ controla´vel.
3. Determine o ganho K = [k1 k2] de modo que a matriz do sistema em
malha fechada A+ BK seja esta´vel.
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Exerc´ıcio do conversor DC-DC buck
Exerc´ıcio
Considere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:
Rt = RL = RC = 0 L = 2H C = 1F R = 2Ω Vg (t) = 4V
(a) Determine a soluc¸a˜o de x(t) considerando x(0) = [0 0]′ e δ(t) = 0.5,
∀t ≥ 0.
(b) Determine a corrente e tensa˜o do conversor quando o tempo tende a
infinito.
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Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exerc´ıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia de
Controle Moderno”.
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	Modelagem de Sistemas de Controle por Espaço de Estados
	Controle por Realimentação de Estados