EXERCCIOS DE MATEMTICA FINANCEIRA 2014

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Universidade Salvador – UNIFACS 
PROFESSORA: TERESA CRISTINA G. BRAGA 
 
 
 
 
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA DDEE FFIINNAANNCCEEIIRRAA 
 
 
1) OBJETIVO: É imprescindível o conhecimento da mesma para profissionais que 
atuem em qualquer área. 
 
2) CONCEITOS BÁSICOS: 
 
A) CAPITAL: (C) ou (PV) 
 Para os economistas é um dos fatores de produção (capital, trabalho e 
recursos naturais). 
 Para a Matemática Financeira representa apenas DINHEIRO 
 Quando usamos o termo PRINCIPAL, em substituição a CAPITAL, este 
representa o valor primário de um empréstimo, ou seja, o valor sem nenhum 
encargo financeiro. 
 
B) JUROS: ( J ) 
 É a remuneração dada ao capital, quando em sua utilização 
 É o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. 
 
 
C) TAXA DE JUROS: ( i ) ou (r) 
 
 É o coeficiente que determina a remuneração do capital em um dado 
intervalo de tempo. 
 É normalmente expressa em porcentagem e refere-se a uma unidade de 
tempo como: semestre, mês, dia... 
 
D) PRAZO: (n) ou (t) 
 
 É o intervalo de tempo entre as datas de efetivação de empréstimo e sua 
amortização total. 
 Ano comercial = 360 dias 
 Mês comercial = 30 dias 
 Ano civil = 365 dias (para calcular os juros exatos) 
 366 dias ano bissexto 
 Mês civil = 31 ou 30 ou 28 ou 29 dias (ano bissexto) 
 
E) CAPITALIZAÇÃO: 
 Consiste no processo de incorporação ao capital, dos juros devidos ao 
mesmo, ao fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros 
considerada. 
 
 
 
 
 
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TAXA DE JUROS ( i ) ou (r) 
 
 A Taxa de Juros pode ser expressa de duas formas: 
 
a) Forma Percentual: 
É a remuneração obtida para cada 100 unidades de capital aplicada, ao 
final de cada período de tempo a que esta se refere. 
Ex.: 3% a.m. = 3 unidades de capital para cada 100 unidades aplicadas por 
mês. 
 
b) Forma Unitária ou Centesimal: 
 É a remuneração obtida para cada unidade de capital aplicada ao final de 
 cada período de tempo a que esta se refere. 
 Ex.: 0,03a.m.= remuneração de 0,03 (três centésimo) para cada unidade 
 de capital, no final de cada mês. 
 
Transformação de Taxas 
 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
24% a.a. 
12% a.s. 
6% a.t. 
2% a.m. 
24 ÷ 100 
12÷ 100 
6 ÷ 100 
2÷ 100 
0,24 a.a. 
0,12 a.s. 
0,06 a.t. 
0,02 a.m. 
 
 Relação Entre Taxas: 
 
A) Taxas Proporcionais: 
 
 i1 é proporcional a i2, para uma mesma unidade de tempo 
 
i1 = n1 ou i1.n2 = i2.n1 
i2 n2 
 
Exemplo: Fórmula: 
i1 = 2%a.m.= 0,02a.m. 0,02 = 1 = 0,24 . 1 = 0,02 . 12 
i2 = 24% a.a. = 0,24a.a. 0,24 12 
n1 = 1mês 
n2 = 12 meses (1ano) 0,24 = 0,24 
i1 e i2 → São proporcionais 
 
B) Taxas Equivalentes: 
 
 Duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por um 
mesmo prazo, produzirem no final valores iguais. 
 
OBS:. a) Duas taxas equivalentes no regime de capitalização simples, não são 
 equivalentes no regime de capitalização composta e vice-versa. 
 b) Na capitalização simples as taxas equivalentes são proporcionais e 
 vice-versa. 
 i1 PV (C) e n FV (M) 
 i2 PV (C) e n FV (M) 
 
3 
 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 Contínua os juros são capitalizados em intervalos de tempo infinitesimais. Os 
juros são instantâneos e não é usado na nossa prática. 
 
 Descontínua Simples 
 
 Composta 
 
 
Os juros são capitalizados ao final de cada período de tempo a que se refere a taxa de 
juros considerada. Esta capitalização descontínua é usado na nossa prática 
 
OBS:. Só estudaremos a capitalização descontínua. 
 
 
Capitalização Simples 
 
 Os juros produzidos ao final de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros 
considerada, não são incorporados ao capital inicial para produzir juros no período 
seguinte. 
OBS:. Os juros não produzem juros. 
 
Capitalização Composta 
 
 Os juros produzidos ao final de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros 
considerada, são incorporados ao capital inicial para produzir juros no período 
seguinte. 
OBS:. Os juros produzem juros. 
 
 
FLUXO DE CAIXA 
 
 É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa), ao longo do tempo. 
 
 Representação do Fluxo de Caixa ( quadros ou diagramas): 
 
Diagramas 
 
 (-) pagamento ou saída de dinheiro (+) recebimento ou entrada de 
 dinheiro 
 ........ n-3 n-2 n-1 n 
 
0 1 2 3 4 5 tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
1) Definição: 
 
Os juros não são capitalizados, no final de cada período de tempo a que se refere a taxa 
de juros, ao capital inicial, para produzir juros no período seguinte. 
 
2) Juros: ( J ) 
 
J é diretamente proporcional ao capital aplicado e o fator de proporcionalidade é a 
própria taxa de juros 
 
Para 1 período J∞ C ou J∞ PV → J = PV. i 
 
 
Assim no final de n períodos de tempo, com a unidade igual ao da taxa de juros 
considerada, termos: 
 
J = C. i . n J = juros 
 C ou PV = capital inicial ou principal 
 ou i = taxa de juros na forma unitária 
 n = nº de períodos 
J = PV. i . n 
 
 
OBS:. A unidade de tempo de taxa de juros tem que ser igual a unidade de tempo 
do prazo ( n ). 
 
Para utilizarmos a fórmula acima temos: 
 
a) Usar a taxa de juros ( i ) na forma unitária ou centesimal 
 
b) Devem estar na mesma unidade de tempo a taxa de juros e o período de 
tempo: n e i 
 
3) Montante: (Mn) ou (M) ou (FV) 
 
É a soma do capital mais os juros produzidos durante o tempo de aplicação 
 
M = C + J, substituindo J 
 M = C + (C. i.n), colocando o C em evidência 
 
M = C [1 + i.n] ou FV = PV. [1 + i.n] 
 
 
 
4) Valor Nominal (Valor Futuro) e Valor Atual (Valor Presente) 
 
VN ou VF ou FV = Valor Nominal ou Valor Futuro é o valor de resgate na data do 
vencimento. 
 
Valor Nominal ou Valor de Face pois é o valor que aparece na face dos títulos. 
 
5 
 
 
VA ou VP ou PV = Valor Atual ou Valor Presente é o valor na data de emissão ou em 
qualquer data compreendida entre as datas de emissão e vencimento. 
 
 FV = 
 PVn 
 
 PV(n-1) 
 PV (n-2) 
 PV3 J 
 PV2 
 PV1 
PV0 
 PV 
 
 
0 1 2 3 n-2 n-1 n 
 
 
5) Descontos 
 
É a percentagem que o devedor recebe como prêmio por antecipar o pagamento de 
determinado título (duplicata, nota promissória, fatura, etc.). 
 
5.1) Desconto Racional ou Por Dentro (DR) 
 
DR é o desconto que usa como base de cálculo o valor atual racional (VAR) de um 
título, na data que está sendo efetuada a operação. 
 
DR = VAR . i . n ou DR = PV. i. n 
 
 
 
OBS.: Como na data do resgate não conhecemos o valor atual racional e sim o seu 
valor nominal, temos que determiná-lo. 
 
 
 Valor Atual Racional (VAR ) ou (PV) ou (VP): 
 
Partindo da fórmula de montante: 
 
M = C (1+ i.n ) M = VN = FV 
 C = VAR = PV 
 
VN = VAR (1+ i.n) 
 
 VAR = VN 
 1+ i.n 
 
 ou 
 
 PV = FV 
 1+ i.n 
 
 
6 
 
 
 
 
Substituindo em DR: 
 
 DR= VN . i . n1+ i.n 
 
 ou 
 
 DR = FV. i. n 
 1+ i.n 
 
 
5.2) Desconto Comercial ou por Fora (Dc ou DC): 
 
É o desconto que usa como base de cálculo o valor nominal (VN) do título. 
 
 DC = VN . i. n 
 
 
 ou 
 
 
 DC = FV. i. n 
 
 
 Valor Atual Comercial (PV ou VAC): 
 
É o valor do título após o desconto. 
 
PV = FV – DC , Substituindo por 
PV= FV – (FV .i. n) 
PV = FV – FV .i. n , evidência, FV 
 
 PV = FV(1 – i.n) 
 
 ou 
 
 VAC = VN.(1 – i.n) 
 
 
6) Taxa de Juros Implícita: 
 
Como FV < PV DR < DC 
 i* (DR) > i (DC) 
 
 A taxa de juros implícita iguala o DR = DC 
 
 DR (i*) = DC (i) 
 
 FV i* n = FV.i.n 
 1 + i*n 
 
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FV . i* . n = FV i.n(1 + i*.n), simplificando FV e n 
i* n = i n (1 + i* n) 
i* = i.(1 + i*.n) 
i* = i + i.i*.n 
i* i*. i.n = i 
i* (1 – i.n) = i 
 
 i* = i ou i = i* 
 1- i.n 1 + i*.n 
 
 
7) Equivalência Financeira 
 
É comum nas operações financeiras antecipar ou prorrogar o pagamento de títulos, 
como também substituir um conjunto de títulos por outro com vencimentos em diferentes 
datas. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
 0 1 2 3 n = 0 1 2 3 n 
 
 FV1 FV2 FV3 FVn FV1' FV2' FV3' FVn' 
 
 
Dizemos que os conjuntos são equivalentes numa mesma data local, se determinado o 
valor de cada conjunto nesta data, obtivermos no final valores iguais. 
 
A data focal é a data que se considera como base para comparação do valor de cada 
conjunto de títulos. 
 
Data Focal = Data Avaliação. 
 
Na Equivalência Financeira pode-se criar dois critérios: 
 
1º) Critério do Desconto Racional ou Por Dentro (DR) 
 
PV = FV ou FV = PV (1 + i.n) 
 1 + i.n 
 
2º) Critério do Desconto Comercial ou Por Fora (DC) 
 
 PV = FV (1 – i.n) ou FV = PV 
 1 – i.n 
 
OBS:.: 
a) Títulos equivalentes em uma data focal, não são equivalentes em outra data focal; 
b) Quando não for especificado a data focal para a equivalência, deve-se considerar a 
data focal zero (0). 
c) Quando não especificar o Critério da Equivalência Financeira a ser usado, considerar 
o Critério do Desconto Comercial. 
d) O Desconto Comercial Simples é, na prática, o único desconto utilizado. 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
1) Definição: 
 
Os juros são capitalizados, no final de cada período de tempo a que se refere a taxa de 
juros, ao capital inicial, produzindo juros no período seguinte. 
 
 Juros produzem juros. 
 
Ex.: PV = $1.000,00 
 i = 50% a.a. 
 n = 4 anos 
 
N 
(anos) 
Cap. Simples Cap. Composta 
Memória de 
Calculo 
J M ou FV Memória de 
Calculo 
J M ou FV 
1 J = 1000 x 0,5 500,00 1.500,00 J = 1.000 x 0,5 500,00 1.500,00 
2 J = 1000 x 0,5 500,00 2.000,00 J = 1.500 x 0,5 750,00 2.250,00 
3 J = 1000 x 0,5 500,00 2.500,00 J = 2.250 x 0,5 1.125,00 3.375,00 
4 J = 1000 x 0,5 500,00 3.000,00 J = 3.375 x 0,5 1.687,50 5.062,50 
 
 
2) Juros: (J) 
 
 
J = PV [( 1 + ie)n – 1] 
 J = juros 
 ie = taxa de juros efetiva 
 n = nº de períodos 
 PV = capital inicial 
 
 
 
3) Montante: (M) ou (FV) 
 
M = PV + J 
M = PV + PV [(1 + ie)n – 1] 
 
M = PV [ 1 + ( 1 + ie)n – 1] M = C (1 + ie)n ou FV = PV (1 + ie)n 
 
 
 
 
4) Convenção Linear e Exponencial 
 
 Convenção - é o método para se determinar o montante ou valor futuro quando o 
prazo é fracionário ou decimal. Essa pode ser: 
 
4.1) Convenção Linear - FV= PV. ( 1+ ie)n. ( 1+ i. p/q) , onde n é a parte inteira do 
prazo e p/q é a parte fracionária do prazo, ie = taxa efetiva e i = taxa proporcional. 
 
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4.2) Convenção Exponencial - FV= PV ( 1+ ie)n, onde n é o período fracionário. 
 
OBS.: Na convenção linear o capital rende juros compostos na parte inteira do prazo e 
juros simples na fracionária. 
 
OBS.: Na convenção exponencial o capital rende juros compostos durante todo o prazo. 
 
OBS.: Em juros compostos, quando não especificar, usar a convenção exponencial. 
 
 
5) Taxa de Juros 
 
 a) Nominal (iN) 
Taxa de Juros pode ser: 
 b) Efetiva (ie) 
 
5.1) Taxa de Juros Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide 
com a unidade de tempo da capitalização. 
 
Ex.: iN = 36% a. a., capitalizados mensalmente. 
 
5.2) Taxa de Juros Efetiva é a taxa de juros proporcional à taxa de juros nominal, 
cuja unidade de tempo coincide com a unidade de tempo da capitalização. 
 
Ex.: iN = 36% a. a., capitalizados mensalmente 
 
 iN = n1 36 = 12 
 ie1 n2 ie1 1 
 
ie1 = 36 = 3% a.m. 
 12 
 ie1 = 3% a.m, cap. mensalmente 
 
Taxa Nominal Memória de Cálculo Taxa Efetiva 
 
30% a.a. capitalizados 
mensalmente 
30% a.a. 
12 meses 
2,5 a.m. 
30% a.a. capitalizados 
trimestralmente 
30% a.a. 
4 trimestres 
7,5% a.t. 
30% a.a. capitalizados 
semestralmente 
30% a.a. 
2 semestres 
15% a.s. 
 
 
 
OBS:. Se não especificar a unidade de tempo da capitalização a taxa de juros 
já é a efetiva. 
 
 
5.3) Relação entre Taxas Efetivas Equivalentes: 
 
ie e ie’ são equivalentes, se somente se, aplicadas sobre o mesmo capital, pelo 
mesmo prazo, produzirem no final valores iguais. 
 
 ie > ie’ 
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No final de 1 período, o montante referente a taxa ie é igual a: 
 
FV1 = PV.(1 + ie)1 
 
No final de “n” períodos, o montante referente a taxa ie' é igual a: 
 
FVn = PV.(1 + ie’)n 
 
 
OBS.: Na aplicação, a taxa ie para 1 período corresponde a “n” períodos para a taxa ie’. 
 
FV1 = FVn 
 
 PV.(1 + ie)1 + PV.( 1+ ie’)n 
 
 1 + ie = (1 + ie’)n 
 
 ie = (1 + ie’)n – 1 ie > ie’ 
 
 ou 
 
 1 + ie = (1 + ie’)n 
 
 n √(1+ ie) = 1 + ie’ ie’= (1 + ie)1/n –1 
 
ie’< ie 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a taxa de 3% a.m., capitalizados mensalmente, determinar a taxa efetiva 
equivalente anual. 
ie' = 3% a.m. 
ie = ? 
ie= (1+0, 03)12 -1 
ie= 1,4 2 5 7 6 1 – 1 = 
ie = 0,4 2 5 7 6 1 a.a. 
ie = 42, 5 7 6 1 % a.a. 
 
2) Dada a taxa de 40% a.a., capitalizados anualmente, determinar a taxa afetiva 
equivalente mensal. 
ie = 40% a.a. 
ie = [(1+ ie)1/n - 1] 
ie = [(1+ 0,40)1/12 –1] 
ie = 1, 028436 – 1 
ie = 0, 0283436 a.m. 
ie = 2,8436 % a.m. 
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6) Valor Nominal e Valor Atual: 
VN ou FV ou VF valor do título na data de vencimento. 
VA ou PV ou VP valor do título em qualquer data entre a data de emissão e a data de 
vencimento do mesmo. 
 
 
 J 
 FV 
 PV 
 0 1 2 3..................n–2 n–1 n 
 
7) Descontos: 
 
É o prêmio recebido pelo devedor por saldar uma dívida antes do seu vencimento. 
 
OBS:. O desconto composto guarda analogia com o desconto simples. Existem duas 
modalidades de desconto composto: o racional e o comercial. 
Contrariamente com o que ocorre no caso do desconto simples, aqui o desconto racional 
é muito mais usado que o comercial (DR < DC) 
 
 
7.1) Desconto Racional ou Por Dentro (DR) 
 
 DR = FV – PV 
 
OBS.: Na capitalização composta, quando não disser qual critério de desconto, 
utilizar o RACIONALVAR = VN 
 (1+ ie) n 
 
 ou 
 
 FV = PV 
 (1+ ie) n 
 
 
 DR = VN – VN = VN (1+ie) n-VN 
 (1+ie)n (1+ie)n 
 
 DR = VN [(1+ie)n-1] 
 (1+ie)n 
 
 
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7.2) Desconto Comercial ou Por Fora (DC) 
 
 
 DC = FV - PV 
 
 PV = FV.(1- ie)n 
 
 DC = FV.[1- (1-ie) n ] 
 
7.3) Taxa de Juros Implícita: 
 
DC > DR 
DR ( ie*) = DC ( ie ) 
 É a taxa ( ie*) que aplicada para o DR leva a um valor igual ao do DC a taxa (ie), 
sendo o título descontado na mesma data. 
 
 ie* = ie 
 1 – ie 
 
 ie = ie* 
 1 + ie* 
 
 
8) Equivalência Financeira 
 
As operações de Equivalência Financeira consistem em antecipar ou prorrogar o 
pagamento de títulos, bem como substituí-los por outros títulos com vencimento e 
valores diferentes. 
 
 0 1 2 3 n = 0 1 2 3 4 n 
 
 
 FV1 FV2 FV3 FVn FV1' FV2' FV3' FV4' 
 
 Os conjuntos são equivalentes numa determinada data focal, se somente se, 
obtivermos no final valores iguais. 
 
OBS:. No Regime de Capitalização Composta 
 
a) Os conjuntos de títulos equivalentes em uma data focal qualquer, serão 
 equivalentes em qualquer outra data focal. 
 
b) Quando não especificar o critério para a equivalência, utilizar o critério de 
 Desconto Racional ou Desconto por Dentro 
 
 
 
 
 
 
ie = ie* 
 1+ ie* 
 
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Dois Critérios de Equivalência: 
 
 
1) Critério de 
Desconto 
Racional 
ou 
Desconto 
Por Dentro 
 
 
2) Critério de 
Desconto 
Comercial 
ou 
Desconto 
Por Fora 
 
 
 
 PV = FV 
 (1 + ie)n 
 
 
 
 
 
 PV = FV.(1 –ie) n 
 
 
OBS.: Quando não especificar o tempo considerar anual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANUIDADES OU SÉRIES OU RENDAS CERTAS 
 
 Definição: 
 
Chama-se Anuidade ou Renda Certa a uma sucessão, FINITA ou INFINITA, de 
pagamentos ou recebimentos, p1, p2, p3, ..., pn , denominados de Termos da Anuidade e 
que devem ocorrer em datas pré-estabelecidas, t1, t2, t3, ..., tn. 
 
 Classificação: 
 
1. Quanto ao prazo: 
 
a) Temporários - quando apresentam um número finito de termos. 
b) Perpétuas - quando apresentam um número infinito de termos. Ex.: 
Pensões vitalícias. 
 
2. Quanto ao valor dos termos: 
 
a) Constante – quando todos os termos são iguais. 
b) Variável – quando os termos não são iguais entre si. 
 
 
3. Quanto à periodicidade: 
 
a) Periódicas – se todos os períodos são iguais. 
b) Não periódicas – se os períodos não são iguais entre si. 
 
OBS.: Período é o intervalo de tempo entre os termos consecutivos da 
 Anuidade. 
 
4. Quanto à forma de Pagamento ou Recebimento: 
 
a) Imediatas – quando o pagamento ou recebimento dos termos, ocorre a partir 
do primeiro período 
 
a.1) Postecipadas – quando o pagamento ou recebimento dos termos 
ocorrem no final de cada período. 
 
 0 1 2 3----- n 
 
 p’ p’ p’ p’ 
 
a.2) Antecipadas - quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorrem 
no início de cada período. 
 
0 1 2 -------n-1 n 
 
 
 
 p p p p 
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b) Diferidas – quando o pagamento ou recebimento do primeiro termo da 
anuidade ocorre após um determinado período de carência (m). 
 
b.1) Postecipadas – quando, após o término do período de carência, o 
pagamento ou recebimento do primeiro termo ocorre no final do primeiro 
período. 
 
 0 1 2 3 4 5 --- n 
 
 
 m = 3 p p p 
 carência 
 
 
 
b.2) Antecipadas – quando, após o término do período de carência, o 
pagamento ou recebimento do primeiro termo ocorre no início do primeiro 
período. 
 
 0 1 2 3 4 ----- n-1 n 
 
 
 m = 3 p p p 
 carência 
 
 
 
ESTUDO DAS ANUIDADES TEMPORÁRIAS, CONSTANTES E PERIÓDICAS 
OU 
SÉRIES UNIFORMES 
 
 Valor Atual da Anuidade 
É a soma dos valores atuais ou presentes de cada um de seus termos. 
 
 Montante da Anuidade 
É a soma dos valores futuros ou montantes de cada um de seus termos. 
 
 I - Anuidade Imediata Postecipada (Modelo Básico) 
 
 Considerando “n” termos unitários: 
 
 0 1 2 3 n-1 n 
 
 p p p p p 
 
 Valor Presente ou Atual da Anuidade: 
 
 PV = FV 
 (i + ie)n 
 
 
 
 
16 
 
 
Data Focal : zero 
 
PV= p + p + p + .....+. p + p 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1 (1 + i)n 
 
 Colocando p em evidência 
 
 PV = p.[(i + i) -1 + (i + i) -2 + ---- (i + i) -n-1 + (i + i) -n ] 
 
 a n i = a, n cantoneira i 
 
 a n i = (i + i) -1 + (i + i) -2 + ---- (i + i) -n-1 + (i + i) -n 
 
 PV = VA = PMT. a n i 
 
 PV = valor presente ou VA = valor atual da anuidade 
p ou PMT = termo ou parcela ou prestação 
 a n i = fator do valor atual 
 n = n.º de termos ou parcelas 
i = taxa de juros 
 
OBS.: O fator a n i é obtido pela soma dos coeficientes que representam uma 
progressão geométrica com um n.º limitado de termos. 
 
Sn = a1 – an . q Sn = somatório de uma P.G limitada 
 1- q a1 = primeiro termo 
 an = n-ésimo termo 
a1 = (1+ i) -1 q = razão da P.G.= divisão de um termo pelo seu 
 antecessor 
q = (1+i) -1 
an = (1+i) -n 
 
 a n i = [ (1+ i) -1 - (1+i) –n] (1+i) -1 x (1+i) +1 
 1 – (1 +i) -1 x (1+i) +1 
 
 a n i = [ 1- (1+i) -n ] = 1- (1 + i) -n x (1+i) n 
 (1+i) - 1 i x (1+i) n 
 
 a n i = (1 + ie) n - 1 
 ie.(1+ie)n 
 
 Valor Futuro ou Montante da Anuidade: 
 
 FV = M = p + p (1+i) 1 + (1+i) 2 +---p (1+i) n - 1 
 
 Colocando p em evidência: 
 
 FV = M = p [1+ (1+i) 1 + (1+i) 2 +--- (1+i) n - 1 ] 
 
 FV = M = p. s n i 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 FV = Mn = Montante da Anuidade no período “n” 
 p = termo ou parcela 
 s n i = fator do valor futuro ou montante 
 n = nº de termos ou parcelas 
 i = taxa de juros 
 
O fator s n i é obtido pela soma dos coeficientes que representam uma P.G com nº de 
termos limitados. 
 
s n i = s,n cantoneira i 
 
Sn = a1- an.q a1= 1 
 1 – q q = (1+i) 
 an =(1+i) n - 1 
 
 s n i = [1- (1+i) n – 1] . (1+ i) 
 1 – (1 + i) 
 
 s n i = 1- [ (1+i) n ] x (-1) 
 - i x (-1) 
 
 s n i = (1+ie) n – 1 
 ie 
 
 
II - Anuidade Imediata Antecipada 
 
 0 1 2 3 n – 1 n 
 
 p p p p p 
 
 Valor Presente ou Atual da Anuidade: 
 
 
 
 PV = VA = p . a n i . (1 + ie) 
 
 
 a n i = ( 1 + ie)n - 1 
 (1 + ie)n . ie 
 
 
 Valor Futuro ou Montante da Anuidade: 
 
 
 FV = M = p . s n i (1 + ie)s n i = (1 + ie)n – 1 
 ie 
 
 
 s n i = (1+ie) n -1 
 ie 
18 
 
 
 
 III - Anuidade Diferida Postecipada 
 
 5 6 7 n – 1 n 
 
 0 1 2 3 4 p p p p p 
 
 
 m = 4 
 
 Valor Presente ou Atual da Anuidade: 
 
 
 PV = PMT . a n i 
 (1 + ie)m 
 
 
 
 a n i = (1 + ie) n - 1 
 ie .( 1 + ie) n 
 
 
 
 Valor Futuro ou Montante da Anuidade: 
 
 
 FV = PMT . s n i 
 
 
 
 s n i = (1 + ie) n - 1 
 ie 
 
 
 
IV - Anuidade Diferida Antecipada 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 n-1 n 
 
 m = 4 p p p p 
 
 m = 4 
 
 Valor Presente ou Atual da Anuidade: 
 
 PV = PMT . a n i 
 (1 + ie) m – 1 
 
 
 a n i = ( 1 + ie)n - 1 
 (1 + ie)n. ie 
 
 
19 
 
 
Valor Futuro ou Montante da Anuidade: 
 
 
 
 FV = PMT. s n i . (1 + ie) 
 
 
 
 s n i = (1 + ie)n – 1 
 ie 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 Empréstimos: 
 
É uma dívida, que surge quando uma dada importância é emprestada por um certo 
prazo. 
 
Quem assume a dívida assume devolver o principal + juros, no prazo estipulado. 
 
 Curto prazo dívida é saldada em até 3 anos 
Empréstimo Médio prazo 
 Longo prazo dívida é saldada depois de 3 anos. 
 
Os empréstimos de curto e médio prazo são os já estudados em Anuidades. 
 
Os empréstimos a longo prazo serão estudados agora e implicam em contratos entre 
as partes (credor e devedor), estabelecendo previamente as condições. 
 
No Sistema de Amortização que estudaremos vamos considerar sempre os juros 
calculados sobre o saldo devedor. 
 
Portanto, o não pagamento dos juros em um dado período levará a um saldo devedor 
maior, então os juros produzem juros, por isso consideramos o regime de capitalização 
composta. 
 
 
1 – Definições: 
 
a) mutuante ou credor aquele que dá o empréstimo. 
b) mutuário ou devedor aquele que recebe o empréstimo. 
c) taxa de juros é a taxa de juros contratada entre as partes. 
d) IOF imposto sobre operações financeiras. 
e) Planilhas é um quadro padronizado ou não, é o cronograma dos valores de 
recebimento e de pagamentos. 
 
f) Parcelas de amortização correspondem as parcelas de devolução do principal ou 
seja do capital emprestado (AK). 
 
g) Prestação é a soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos 
em um dado período. 
 
h) Saldo devedor é o estado da dívida, ou seja, de um débito, em um determinado 
instante de tempo. 
 
i) Período de amortização é o intervalo de tempo entre duas amortizações 
sucessivas. 
 
j) Prazo de utilização corresponde ao intervalo de tempo, durante o qual o 
empréstimo é transferido do credor para o devedor. Caso o empréstimo seja transferido 
em uma só parcela este prazo é unitário. 
 
21 
 
 
l) Prazo de carência período compreendido entre o prazo de utilização e o 
pagamento da primeira prestação. Na carência o devedor paga somente os juros ou não 
paga nada. 
 
m) Prazo de amortização é o intervalo de tempo, durante o geral são pagas as 
amortizações. 
 
n) Prazo total de financiamento é a soma do prazo de carência com o prazo de 
amortização. 
 
 
2 – Classificação das Modalidades de Amortização ou Sistema de Amortização: 
 
2.1. Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período 
 
 
 As parcelas de amortização (AK) são iguais entre si, isto é, as parcelas de 
amortização são constantes. 
 
 Os juros (JK) são calculados, a cada período multiplicando-se a taxa de juros 
contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior. 
 
 
A) SAC, com prazo de carência e prazo de utilização unitário. 
 
Ex.: Uma empresa pede emprestado $100.000,00 que o banco entrega no ato. 
Sabendo-se que o banco concedeu 2 anos de carência, que os juros serão pagos 
anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado 
em 4 parcelas anuais, construir a planilha: 
 
A amortização anual (constante) é: 
 
AK = 100.000 = $25.000 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prestação 
Juros 
Amortização 
22 
 
 
ANOS 
(K) 
Saque Saldo Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(AK) 
Juros (JK) Prestação (AK + JK) 
0 100.000 100.000 - - - 
1 - 100.000 - 10.000 10.000 
2 - 100.000 - 10.000 10.000 
3 - 75.000 25.000 10.000 35.000 
4 - 50.000 25.000 7.500 32.500 
5 - 25.000 25.000 5.000 30.000 
6 - - 25.000 2.500 27.500 
Total - - 100.000 45.000 145.000 
 
 
a) JK = SDK-1 . i juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior. 
 
b) Prestação = Amortização + Juros 
 
 
B) SAC, com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário: 
 
B.1) Os juros capitalizados são pagos no 1º. período da amortização 
ANOS 
(K) 
Saque Saldo Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(AK) 
Juros (JK) Prestação (AK + JK) 
0 100.000 100.000 - - - 
1 - 110.000 - - - 
2 - 121.000 - - - 
3 - 75.000 25.000 33.100 58.100 
4 - 50.000 25.000 7.500 32.500 
5 - 25.000 25.000 5.000 30.000 
6 - - 25.000 2.500 27.500 
Total - - 100.000 48.100 148.100 
 
 Não tem interesse na prática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
B.2) Os juros são capitalizados durante a carência e as amortizações são 
calculadas em relação ao valor inicial emprestado + juros capitalizados durante 
a carência. 
 
ANOS 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor (SDK) 
Amortização 
(AK) 
Juros (JK) Prestação 
(AK + JK) 
0 100.000 100.000 - - - 
1 0 110.000 - - - 
2 0 121.000 - - - 
3 0 99.825 33.275 0 33.275 
4 0 66.550 33.275 9.983 43.258 
5 0 33.275 33.275 6.655 39.930 
6 0 - 33.275 3.328 36.602,50 
Total 0 - 133.100 19.965 153.065 
 
 No 3º mês SDK = $133.100,00 
 
 Ak = 133.100 = $33.275,00 
 4 
 
B.3) SAC, com prazo de carência e prazo de utilização não-unitário: 
 
Anos 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(AK) 
Juros 
(JK) 
Prestação (AK + JK) 
0 50.000 50.000 - - - 
1 100.000 100.000 - 5.000 5.000 
2 - 100.000 - 10.000 10.000 
3 - 75.000 25.000 10.000 35.000 
4 - 50.000 25.000 7.500 32.500 
5 - 25.000 25.000 5.000 30.000 
6 - - 25.000 2.500 27.500 
Total - - 100.000 40.000 140.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
2.2. Sistema de Amortização Francês (SF) 
 
 
Prestação 
 
 
 
 
 
 
 Período 
 
 
 As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma 
parte paga os juros e a outra o principal. 
 A dívida fica totalmente saldada na última prestação. 
 
 
 OBS.: Com algumas peculiaridades de cálculo, esse sistema é conhecido como 
 TABELA PRICE. 
 
 
A) SF, com prazo de utilização unitário e sem prazo de carência: 
 
Ex: Um banco empresta $100.000,00 entregues no ato, sem prazo do carência. 
Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros contratada foi10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha. 
 
Resolução: 
 
5 prestações iguais e postecipadas Anuidade Postecipada 
 
 PV = p. a n i 
 
 PMT = PV = 100.000 = $26.379,75 
 a 5 10% 3,790787 
 
JK são calculados multiplicando a taxa de juros pelo saldo devedor do período 
anterior 
 
JK = i . SDK-1 
 Ak = PMT – Jk 
 
Saldo devedor = saldo devedor do período anterior menos a amortização do 
período. 
 
SDK= SDK-1 – Ak 
 
 
 
 
 
Juros 
Amortização 
25 
 
 
Anos 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SDK ) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i.SDk-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000 100.000 - - - 
1 - 83.620,53 16.379,75 10.000 26.379,75 
2 - 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 
3 - 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 
4 - 23.981,58 21.801,45 4.578,16 26.379,75 
5 - - 23.981,58 2.398,16 26.379,75 
Total - - 100.000,00 31.898,74 131.898,74 
 
 
 
B) SF, com prazo de utilização unitário e com prazo de carência: 
 
B.1 O mutuário paga os juros durante a carência 
B.2 Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao 
 principal, para serem amortizados nas prestações. 
 
Ex.: Carência de 2 anos. 
 
 B.1- O mutuário paga os juros durante a carência 
Anos 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SDK ) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i. SDk-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
3 - 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75 
4 - 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75 
5 - 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75 
6 - 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75 
7 - - 23.981,59 2.398,16 26.379,75 
Total - - 100.000,00 51.898,74 151.898,74 
 
 
B.2 - Durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao 
principal, para serem amortizados nas prestações. 
 
Devemos inicialmente, capitalizar o saldo devedor à taxa de 10%a.a., durante 2 anos de 
carência, já que a amortização só começa no fim do 3º ano de carência. 
 
S1 = (100.000 x 0,10) + 100.000 
S1 = 100.000 x 1,10 = 110.000 
S2 = 110.000 x 1,10 = 121.000 
 
Valor da prestação: 
26 
 
 
PMT = PV = 121.000 = $31.919,49 
 a 5 10% 3,790787 
 
 
Anos 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i. SDK-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 110.000,00 - - - 
2 - 121.000,00 - - - 
3 - 101.180,50 19.819,50 12.100,00 31.919,50 
4 - 79.379,06 21.801,44 10.118,05 31.919,50 
5 - 55.397,47 23.981,59 7.937,91 31.919,50 
6 - 29.017,72 26.379,75 5.539,75 31.919,50 
7 - - 29.017,72 2.901,77 31.919,50 
Total - - 121.000,00 38.597,48 159.597,48 
 
OBS.: Quando a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização 
temos que achar a taxa de juros equivalente. 
 
Ex.: Foi emprestada a importância de $100.000,00 para uma empresa a qual deve fazer 
a amortização em 4 parcelas semestrais pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa 
de juros cobrada é de 12 % a.a. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, construir a 
planilha: 
 
Resolução: 
 
ie' = (1 + ie) 1/n - 1 
ie’ = (1 + 0,12) ½ - 1 = 0,058301 a.s. 
ie’ = 5,830052% a.s. 
n = 4 
 a 4 5,830052% = 3,478637 
 
PMT = PV = 100.000 = $28.746,89 
 a 4 5,830052% 3,478637 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semestres 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i.SDK-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
27 
 
 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 77.083,13 22.916,87 5.830,05 28.746,93 
2 - 52.830,19 24.252,94 4.493,99 28.746,93 
3 - 27.163,29 25.666,90 3.080,03 28.746,93 
4 - - 27.163,29 1.583,63 28.746,93 
Total - - 100.000,00 14.987,70 114.987,70 
 
 
 
 Sistema Price (Tabela Price) 
 
É um caso particular do Sistema Francês: 
 
a) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais (anual) 
b) As prestações tem período menor que aquele a que se refere a taxa . Em geral são 
mensais. 
 
Ex.: Um banco emprestou $100.000,00 entregou no ato, sem prazo de carência. 
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% ao ano, Tabela Price, e 
que a devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha. 
 
Resolução: 
 
in= 12% a.a., capitalizados mensalmente 
 
 ie = 0,12 = 0,01 a.m. ou 1% a.m. 
 12 
 
 a 8 1% = 7,651678 
 
 
PMT = PV = 100.000 = $13.069,03 
 a 8 1% 7,651678 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Meses (K) Saque Saldo 
Devedor 
(SDK) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk= i. SDK-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000 100.000 - - - 
28 
 
 
1 - 87.930,97 12.069,03 1.000,00 13.069,03 
2 - 75.741,25 12.189,72 879,31 13.069,03 
3 - 63.429,63 12.311,62 757,41 13.069,03 
4 - 50.994,90 12.434,73 634,30 13.069,03 
5 - 38.435,82 12.559,08 509,95 13.069,03 
6 - 25.751,15 12.684,67 384,36 13.069,03 
7 - 12.939,63 12.811,52 257,51 13.069,03 
8 - - 12.939,63 129,40 13.069,03 
Total - - 100.000,00 4.552,24 104.552,24 
 
 
OBS.: Se eu quiser saber qual a taxa de juros efetiva anual equivalente à taxa de juros 
efetiva mensal cobrada pelo banco 
ie = (1 + ie’) n – 1 
ie = (1 + 0,01)12 – 1 = 1,126825% a.a. 
 
 
2.3. Sistema de Amortização Americano (SA) 
 
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal em uma só parcela, após ter 
decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência 
ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. 
 
 
2.3.1. Sistema de Amortização Americano com devolução dos juros durante a 
carência (SA) 
 
 
 Os juros são calculados sobre o saldo devedor. 
 
Exemplo 01: Um banco empresta $100.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juros de 
6% a.s. com prazo de utilização unitário, para ser devolvido após uma carência de 2 
anos. Sabendo-se que os juros são cobrados semestralmente, calcular a planilha pelo 
Sistema Americano. Qual é a taxa efetiva anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Como já é dada a taxa em termos semestrais, temos: 
 
29 
 
 
Semestres 
( K ) 
Saque Saldo 
Devedor 
( SDK ) 
Amortização 
( Ak) 
Juros 
(Jk = i Sd k-1) 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000 100.000 - - - 
1 - 100.000 - 6.000 6.000 
2 - 100.000 - 6.000 6.000 
3 - 100.000 - 6.000 6.000 
4 - - 100.000 6.000 106.000 
Total - - 100.000 24.000 124.000 
 
 A taxa efetiva anual é: 
 
 ie = ( 1 + ie’ ) n - 1 
 ie = ( 1 + 0,06 )2 - 1 = 0,1236 a.a. = 12,36% a.a. 
 
2.3.2. Sistema de Amortização Americano com a capitalização dos juros 
 
 Os juros de um período são acrescidos ao saldo devedor. Sobre o novo saldo devedor 
correm os juros do período seguinte, como já foi visto nos exemplos anteriores. 
 
 
Exemplo 02: Seja o mesmo exemplo do item interior, em que se admite a capitalização 
dos juros durante a carência. 
 
Semestres 
( K ) 
Saque Saldo Devedor 
( SDK ) 
Amortização 
( Ak) 
Juros 
( Jk = i Sd k-1) 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
 
0 100.000,00 
 
100.000,00 
 
- 
 
- 
 
- 
 
1 
 
106.000,00 
 
- 
 
- 
 
- 
 
2 
 
112.360,00 
 
- 
 
- 
 
- 
 
3 
 
119.101,60 
 
- 
 
- 
 
- 
 
4 
 
- 
 
100.000,00 
 
26.247,70 
 
126.247,70 
 
Total 
 
- 
 
100.000,00 
 
26.247,70 
 
126.247,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SINKING FUND 
 
O chamado SINKING FUND, que muitas vezes éconfundido com o “sistema americano”, 
é um fundo de amortização que é constituído pelo mutuário para pagar o principal 
devido, quando o cálculo é feito pelo sistema americano. Com tal providência o mutuário 
30 
 
 
procura evitar o problema de liquidez que surgiria devido a um grande desembolso de 
uma só vez. 
 
Este fundo é formado aplicando-se recursos de modo que, na data de pagamento do 
principal, o valor do fundo de amortização seja igual ao desembolso a ser efetuado. 
 
Admitindo que o fundo resulte da aplicação de parcelas iguais, periódicas, postecipadas 
e sem carência a partir do recebimento do empréstimo, resta o problema da taxa de 
juros. 
 
 Teoricamente, a taxa de juros de aplicação pode ser: 
 
 a) maior que a taxa de empréstimo; 
 
 b) igual à taxa de empréstimo; 
 
 c) menor que a taxa de empréstimo. 
 
Via de regra, nas operações financeiras normais a taxa de juros de aplicação é menor 
que a taxa de juros que foi cobrada pelo empréstimo recebido. 
 
Admitindo-se i a taxa de juros de aplicação com n períodos, um valor futuro FV ( igual ao 
principal ) e sendo p o depósito por período, tem-se: 
 
 FV = PMT. s n i 
 
OBS.: Isto porque os depósitos PMT formam uma anuidade postecipada, constante, de n 
termos, segundo modelo básico, da qual se quer calcular o valor futuro ou montante. 
 
Exemplo 03: Um banco empresta $100.000,00 a uma empresa, cobrando a taxa de 
juros de 12% a.a. . Sabendo que o prazo de utilização é unitário, que não há carência, 
que os juros serão cobrados em base anual e que o método utilizado pelo banco é o 
sistema americano com um prazo total de 4 anos, pede-se: 
Construir a planilha do empréstimo. 
 
Resolução: 
 
Semestres 
( K ) 
Saque Saldo 
Devedor 
( SDK ) 
Amortização 
( Ak) 
Juros 
( Jk = i Sd k-1) 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 100.000,00 - - - 
2 - 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00 
3 - 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00 
4 - - 100.000,00 12.000,00 112.000,00 
Total - - 100.000,00 48.000,00 148.000,00 
 
 
Exemplo 04: O valor financiado foi de $100.000,00 a uma taxa de 25% a.a. pelo prazo 
de 4 anos optando pelo Sistema Americano. Construir a planilha de amortização e a 
planilha do fundo de amortização sendo que seus depósitos serão anuais a uma taxa de 
27% a.a. 
31 
 
 
 
Planilha de Amortização 
Anos 
( K ) 
Saque Saldo Devedor 
( SDK ) 
Amortização 
( Ak) 
Juros 
(Jk = i. Sdk-1) 
 Prestação 
 PMT = Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 100.000,00 - 25.000,00 25.000,00 
2 - 100.000,00 - 25.000,00 25.000,00 
3 - 100.000,00 - 25.000,00 25.000,00 
4 - - 100.000,00 25.000,00 125.000,00 
Total - - 100.000,00 100.000,00 200.000,00 
 
 
Planilha do SINKING FUND 
Anos 
( K ) 
Saldo Credor 
( SCk ) 
Depósito Jk 
0 - - - 
1 16.859,76 16.859,76 
2 38.271,65 16.859,76 4.552,13 
3 65.464,76 16.859,76 10.333,35 
4 100.000,00 16.859,76 17.675,48 
Total - 67.439,04 32.560,96 
 
 
 
FV = PMT .s 427% 
 
s 427% = (1 + 0,27 )4 - 1 
 0,27 
s 4 27% = 5,931283 
p = 100.000 = 100.000 = $16.859,79 
 s427% 5,931283 
 
S c k= D + S c K-1 + Jk 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4. Sistema de Amortização Variável 
 
Nesse sistema as parcelas de amortização são determinadas através de um acordo entre 
as partes. 
 
32 
 
 
Ex: O Banco MF concede um financiamento de $750.000,00, a ser liberado em 3 
parcelas iguais semestrais e consecutivas. No tocante aos encargos financeiros, teremos 
juros de 14% a.a., capitalizados semestralmente, e uma comissão de 2% sobre o valor 
de cada parcela liberada, descontada no ato. As amortizações serão semestrais, 
concorrendo a primeira 2 anos após o primeiro saque. As parcelas de amortização, 
seqüencialmente, devem ser: 
 1ª parcela: $ 50.000,00 
 2ª parcela: $100.000,00 
 3ª parcela: $100.000,00 
 4ª parcela: $150.000,00 
 5ª parcela: $150.000,00 
 6ª parcela: $200.000,00 
 
 Qual deve ser a planilha? 
 
Semestres 
( K ) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SD k) 
Comissão 
( 1 ) 
Juros 
( JK ) 
( 2 ) 
Amortização 
( Ak ) 
( 3 ) 
Prestação 
(1) + (2) + 
+ (3) 
0 250.000 250.000 5.000 - - 5.000 
1 250.000 500.000 5.000 17.500 - 22.500 
2 250.000 750.000 5.000 35.000 - 40.000 
3 - 750.000 - 52.500 - 52.500 
4 - 700.000 - 52.500 50.000 102.500 
5 - 600.000 - 49.000 100.000 149.000 
6 - 500.000 - 42.000 100.000 142.000 
7 - 350000 - 35.000 150.000 185.000 
8 - 200.000 - 24.500 150.000 174.500 
9 - - - 14.000 200.000 214.000 
Total - - 15.000 322.000 750.000 1.087.000 
 
 
 
2.5. Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as 
operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. 
 
Representa basicamente a média aritmética entre o Sistema Francês (SF) ou Price e o 
Sistema de Amortização Constante (SAC), daí a sua denominação de Sistema Misto. 
 
Portanto, para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, deve-se somar 
aqueles obtidos pelo SF com os do SAC e dividir o resultado por dois. 
 
 
Exemplo: 
 
SAC sem carência 
 
33 
 
 
EX: Admita um empréstimo de $100.000,00, a ser pago dentro de um prazo de 5 anos, 
em 10 prestações semestrais, sem prazo de carência, sendo a taxa de juros de 30% a.a., 
capitalizados anualmente. 
 
ie = 30% a.a , capitalizados anualmente 
 
ie’ = (1+0,30)1/2 – 1 = 0,140175 a.s., capitalizados semestralmente 
 
ie’ = 14,0175% a.s., capitalizados semestralmente 
 
Sistema de Amortização Constante 
Semestres 
(K) 
Saque Saldo Devedor 
(SD k ) 
 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i. SD k-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000 100.000 - - - 
1 90.000 10.000 14.017,50 24.017,50 
2 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80 
3 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00 
4 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30 
5 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50 
6 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80 
7 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00 
8 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30 
9 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50 
10 - 10.000 1.401,80 11.401,80 
Total - 100.000 77.096,50 177.096,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
Sistema Francês 
 
Semestres 
(K) 
Saque Saldo 
Devedor 
(SD k ) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i.SD k -1 
Prestação 
PMT= Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40 
2 - 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40 
3 - 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40 
4 - 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40 
5 - 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40 
6 - 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40 
7 - 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40 
8 - 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40 
9 - 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40 
10 - - 16.825,90 2.358,60 19.184,40 
Total - - 100.000,00 91.844,00 191.844,00 
 
 
PMTSAM= 24.017,50+19.184,40 = $21.600,95 
 2 
 
 
J kSAM= 14.017,50+14.017,50 = $14.017,50 
 2 
 
 
A kSAM= 10.000,00+5.166,90 = $7.583,45 
 2 
 
SD kSA.M.= 90.000,00+94.833,10 = $92.416,55 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
SAM sem carência 
 
Semestres 
(K) 
Saque Saldo Devedor 
(SD k) 
Amortização 
(Ak) 
Juros 
Jk = i.SD k-1 
Prestação 
PMT = Ak + JK 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 92.416,60 7.583,50 14.017,50 21.601,00 
2 - 84.470,90 7.945,60 12.954,50 20.900,10 
3 - 76.112,40 8.358,50 11.840,70 20.199,204 - 67.283,10 8.829,30 10.669,10 19.498,40 
5 - 57.917,00 9.366,00 9.431,40 18.797,40 
6 - 47.399,00 9.978,10 8.118,60 18.096,70 
7 - 37.263,10 10.675,90 6.719,90 17.395,80 
8 - 25.791,60 11.471,50 5.223,40 16.694,90 
9 - 13.413,00 12.378,70 3.615,40 15.994,10 
10 - - 13.413,00 1.880,20 15.293,20 
Total - - 100.000,00 84.470,80 184.470,80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. TERESA CRISTINA G. M. BRAGA 
 
 
 
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
 
 1. Uma empresa Gama aplicou um capital de $100.000,00 por um prazo de 5 anos, 
sendo a taxa de juros de 24% ao ano. Determinar os juros produzidos no final da 
aplicação, considerando que os mesmos foram capitalizados: 
 
 a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensalmente 
 
 2. O banco Alfa paga para as aplicações a prazo fixo, uma taxa de juros de 24% ao 
ano. Determine as taxas efetivas proporcionais que os juros são capitalizados: 
 
 a) Mensalmente b) Trimestralmente c) Semestralmente 
 
 3. O banco Beta cobra em empréstimos, uma taxa de juros de 2,5% ao mês, 
capitalizados mensalmente. Determinar as taxas efetivas equivalentes: 
 
 a) Trimestral b) Semestral c) Anual 
 
 4. Uma instituição financeira cobra em seus empréstimos, uma taxa de juros de 36% 
ao ano, capitalizados anualmente. Determinar as taxas efetivas equivalentes: 
 
 a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal 
 
 5. Qual o montante que terei se aplicar $200.000,00 durante 5 anos à taxa de 30% 
ao ano, capitalizados: 
37 
 
 
 
 a) Anualmente b) Semestralmente c) Trimestralmente d) Mensalmente 
 
 6. Qual o capital que aplicado a taxa de 12% ao semestre, capitalizados 
trimestralmente, pelo prazo de 1 ano e 3 meses, produz de juros $60.880,50. 
 
 7. Qual a taxa efetiva anual, que devo aplicar $100.000,00 para obter de juros 
$147.596,32, capitalizados trimestralmente, pelo prazo de 2 anos? 
 
 8. Qual o prazo que devo aplicar o capital de $220.000,00 para obter de juros 
$61.618,59, a taxa de 2,5% ao mês? 
 
9. Uma empresa S.A. aplicou determinado capital à taxa de 20% ao ano, 
capitalizados semestralmente e outro à taxa de 18% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. No fim de 2 anos, os juros do primeiro capital excederam de 
$13.482,00 os do segundo. Calcular os capitais aplicados pela empresa, sabendo-
se que o primeiro é $20.000,00 superior ao segundo. 
 
 
 
10. Um proprietário de hotel aplica 2/5 de certo capital a taxa de 16% ao ano, 
capitalizados trimestralmente e o restante a taxa de 20% ao ano, capitalizados 
semestralmente. No fim de 2 anos e 6 meses, retirou o montante de $467.521,08. 
Qual o capital total aplicado? 
 
11. Dois capitais aplicados rendem no final juros iguais. O primeiro foi aplicado a taxa 
de 3% ao mês, durante 1 ano e o segundo a taxa de 2,5% ao mês, durante 2 
anos. Determine: 
 
 a) Os capitais, sabendo-se que a soma dos mesmos é igual a $123.448,50. 
 b) Os juros produzidos pelos mesmos, durante o tempo de aplicação. 
 
12. Um capital foi aplicado a taxa de 22% ao ano, capitalizados semestralmente, pelo 
prazo de 3 anos. Se a taxa fosse de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente, os 
juros produzidos a mais seriam de $14.178,20. Calcular o capital. 
 
13. Qual o prazo que devo aplicar o capital de $200.000,00 para obter um montante 
de $278.228,80 a taxa de 13,5% ao trimestre, capitalizados mensalmente? 
 
14. A que taxa nominal anual devo aplicar o capital de $300.000,00 a juros 
capitalizados trimestralmente, para obter um montante de $451.089,00 durante 1 
ano e 9 meses? 
 
15. Um gerente financeiro de uma empresa de serviços aplicou ¾ de certo capital a 
taxa de 20% ao ano, capitalizados semestralmente e o restante a taxa de 24% ao 
ano, capitalizados trimestralmente. Calcular o montante que terá no fim de 2 anos, 
sabendo-se que a primeira parcela rendeu de juros $ 83.538,00. 
 
16. Um capital aplicado a juros durante 1 ano e 9 meses, produziu o montante de 
$1.651.098,00. Calcular o capital, sabendo-se que durante os dois primeiros anos 
a taxa de juros foi de 20% ao ano, capitalizados semestralmente, passando depois 
para 24% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
 
38 
 
 
17. Um pai quer dividir $800.000,00 entre seus três filhos cujas idades são 8, 10 e 12. 
Quanto deve depositar para cada um em um banco que paga juros na razão de 
20% ao ano capitalizados semestralmente, para que todos retirem a mesma 
quantia (montante) quando fizerem 18 anos de idade? 
 
18. Um investidor fez um depósito a prazo fixo por 10 meses. Decorrido o prazo, ele 
retira montante de $146.279,00 e reaplica todo por mais 1 ano e 6 meses, a uma 
taxa 25% superior a da primeira aplicação. Sabendo-se que o montante obtido no 
final da segunda aplicação foi de $228.146,00, e que os juros são capitalizados 
mensalmente, determinar: 
 
 a) As taxas de juros empregadas; 
 b) O valor do depósito inicial. 
 
19. Um título no valor de $300.000,00 é resgatável daqui a 1 ano e 3 meses. 
Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 6,75% ao trimestre, 
capitalizados mensalmente. Qual o seu valor atual? 
 
20. Qual o valor nominal de uma duplicata correspondente a uma compra no valor de 
$500.000,00, com prazo de 6 meses, a uma taxa de 3% ao mês (critério racional 
)? 
 
21. Qual o desconto racional de um título no valor de $500.000,00 pagável em 2 anos 
a taxa de 20% ao ano, capitalizados semestralmente? 
 
22. O desconto racional de um título, pagável em 1 ano e 3 meses a taxa de 20% ao 
ano capitalizados trimestralmente, é de $43.294,80. Calcular o seu valor nominal. 
 
23. Uma empresa Young tomou emprestado $2.000.000,00 por 5 anos, a taxa de 22% 
ao ano capitalizados semestralmente. Passados 2 anos, a empresa resgatou a 
dívida com desconto racional a taxa de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
Quanto pagou pelo título? 
 
24. Uma empresa Volt contraiu um empréstimo pelo prazo de 5 anos, com juros de 
12% ao ano, capitalizados mensalmente. Passados 3 anos, esta resolve saldar a 
dívida, pagando pela mesma a importância de $1.000.000,00. Calcular o capital 
tomado emprestado, sabendo-se que foi usado o desconto racional e a taxa de 
12% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 
25. Uma letra de câmbio no valor de $500.000,00 foi resgatado antes do vencimento 
por $458.925,27. Calcular o prazo de antecipação do pagamento, sabendo-se que 
foi usado o desconto racional e a taxa foi de 36% ao ano, capitalizados 
mensalmente. 
 
26. Qual o desconto comercial de um título pagável em 2 anos, a taxa de 20% ao ano, 
capitalizados semestralmente, no valor de $400.000,00. 
 
27. Uma nota promissória no valor de $300.000,00 foi descontado 5 meses antes do 
seu vencimento. Sabendo-se que foi usado o desconto comercial e que a taxa 
usada foi de 8,25% ao trimestre, capitalizados mensalmente, determinar o valor 
atual. 
 
28. Uma duplicata no valor de $100.000,00 sofreu um desconto comercial no valor de 
$ 14.126,60 a taxa de 3% ao mês. Qual o prazo de antecipação do pagamento? 
39 
 
 
 
29. Um título no valor de $300.000,00 foi descontado 6 meses antes do vencimento 
por $ 253.780,90. Sabendo-se que foi usado o desconto comercial, determinar a 
taxa de desconto cobrada. 
 
30. A diferença entre o desconto comercial e o racional de um título pagável em 2 
anos, a taxa de 20% ao ano, capitalizados semestralmente, é $26.914,00. Calcular 
o valor nominal do título. 
 
31. Determinar a taxa de desconto racional equivalente a de 3% ao mês do desconto 
comercial. 
 
32. Qual a taxa de desconto comercial equivalente a de 10% ao trimestre,do 
desconto racional. 
 
 
33. Duas firmas X e Y estão em concorrência perfeita para adquirirem uma 
determinada máquina. A firma X tomou conhecimento de que a proposta da firma 
Y se constitui em $1.000.000,00 a vista e mais um título no valor de $200.000,00 
para 180 dias. Se a firma X no momento só pode dispor de $700.000,00, qual 
deve ser o valor do título para 150 dias que deve incluir na sua proposta, para 
ganhar a concorrência? A taxa de juros vigente no mercado é de 5% ao mês. 
 
34. Uma empresa comercial assumiu os seguintes compromissos: 
 
 * $300.000,00 com vencimento na data de hoje; 
 * $100.000,00 com vencimento daqui a 6 meses; 
 * $200.000,00 com vencimento daqui a 18 meses; 
 
 Porém essa empresa deseja reformular seus compromissos de tal modo que 
efetue somente dois pagamentos iguais, sendo o primeiro para 1 ano e o segundo 
no fim de 15 meses. Determinar o valor destes títulos, sabendo-se que o custo do 
dinheiro é de 2,5% ao mês. Usar o critério racional e data focal o 18º mês. 
 
 
35. São dados dois títulos, o primeiro no valor de $120.000,00 pagável em 30 dias e o 
segundo no valor de $300.000,00 pagável em 60 dias. Calcular o valor de um 
título, pagável em 120 dias, capaz de substituir os títulos dados, considerando-se 
a taxa de juros de 3% ao mês, o critério racional e a data focal o 4º mês. 
 
36. Uma dívida composta de três títulos iguais, no valor de $58.200,00 cada, vencíveis 
respectivamente dentro de 30, 60 e 120 dias, deve ser paga através de um título 
de $175.800,00. Quando deve vencer este último título, considerando a taxa de 
juros corrente de 2,5% ao mês, o critério racional e a data focal o zero. 
 
37. Em sociedade limitada contraiu uma dívida de $270.000,00 para ser paga com 3 
títulos do mesmo valor final, vencíveis respectivamente em 30,60 e 90 dias. Sendo 
de 3% ao mês, a taxa de juros cobrada, qual o valor final dos títulos? 
 Usar o critério racional e a data focal o 3º mês. 
 
38. Um empresário tomou numa determinada instituição financeira os seguintes 
empréstimos: 
 
a) $100.000,00 a juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente, pelo prazo 
40 
 
 
 de 6 meses, vencendo na data de hoje; 
 
b) $200.000,00 a juros de 24% ao ano, capitalizados bimestralmente, pelo prazo 
 de 10 meses, vencendo daqui a 3 meses; 
 
c) $300.000,00 a juros de $ 26% ao ano, capitalizados trimestralmente, pelo 
 prazo de 2 anos, vencendo daqui a 6 meses. 
 
 Calcular o valor de um título pagável daqui a 10 meses, capaz de substituir os 
títulos referentes aos empréstimos em questão, considerando uma taxa de juros 
para a transação de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 Usar o critério racional e a data focal o10º mês. 
 
 
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIO DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 1. a) J5 = $ 193.162,50 
 b) J10 = $ 210.584,82 
 c) J20 = $ 220.713,55 
 d) J60 = $ 228.103,00 
 
 2. a) ie = 2% a.m. 
 b) ie = 6% a.t. 
 c) ie = 12% a.s. 
 
 3. a) ie = 7,689% a.t. 
 b) ie = 15,9693% a.s. 
 c) ie = 34,4888% a.a. 
 
 4. a) ie’ = 16,619% a.s. 
 b) ie’ = 7,9902% a.t. 
 c) ie’ = 5,2583% a.b. 
 d) ie’ = 2,5954% a.m. 
 
 5. a) FV5 = M5 = $742.586,00 
 b) FV10 = M10 = $809.111,40 
 c) FV20 = M20 = $849.570,20 
 d) FV60 =M60 = $879.957,94 
 
 6. PV = C = $180.000,00 
 
 7. ie = 12% a.t. 
 ie = 57,3519% a.a. 
 
 8. n = 10 meses 
 
 9. PV1 = C1 = $120.000,00 
 PV2 = C2 = $100.000,00 
 
10. PVt = Ct = $300.000,00 
 
11. PV1= C1 = $80.872,50 
 J2 = J1 = $34.432,27 
 
41 
 
 
12. PV = C = $100.000,00 
 
13. n = 7 meses e 15 dias 
 
14. ie = 6% a.t. 
 in = 24% a.a. 
 
15. FV1 = M1 = $263.538,00 
 FV2 =M2 = $95.630,88 
 
16. PV1 = C1 = $750.000,00 
 
 
17. PV1 = C1 = $173.623,00 
 PV2 = C2 = $254.201,46 
 PV3 = C3 = $372.176,33 
 
18. PV1 = C1 = $119.999,77 
 ie1 = 2% a.m. 
 ie2 = 2,5% a.m. 
 
19. PV = VAR = $214.868,01 
 
20. FV = VN = $597.026,00 
 
21. DR = $158.493,00 
 
22. FV = VN = $200.000,92 
 
23. PV = VAR = $3.162.191,18 
 
24. PV = VAR = $ 694.929,70 
 FV = VN = $1.262.476,00 
 
25. n = 2,9 período = 2 meses e 27 dias 
 
26. DC = $137.560,00 
 
27. PV = VAC = $260.957,10 
 
28. n = 5 meses 
 
29. ie = 2,75% a.m. 
 
30. FV = VN = $1.000.020,00 
 
31. ie* = 3,0927% a.m. 
 
32. ie = 9,0909% a.t. 
 
33. VN = $ 573.360,78 
 ie = 5% a.m. 
 Critério racional e data focal zero 
 
42 
 
 
34. FV = VN = $358.755,35 
 
35. FV = VN = $449.397,24 
 
36. n = 2,6 período = 2 meses e 18 dias 
 
37. FV = VN = $ 95.453,20 
 
38. FV =VN = $ 978.414,37 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. TERESA CRISTINA G. M. BRAGA 
 
 
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS ANUIDADES OU SÉRIES OU RENDAS CERTAS 
 
 1. Uma indústria comprou equipamentos, que custavam à vista $500.000,00, 
financiados em 18 prestações mensais iguais, sendo cobrada uma taxa de juros 
de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual o valor da prestação se não for 
dada nenhuma entrada e a primeira vencer um mês após a compra? 
 
 2. Uma imobiliária vende um determinado apartamento à vista por $300.000,00 ou 
financiado com uma entrada de 40% do valor da compra, mais juros na razão de 
3% ao mês, sobre o saldo devedor. Qual o valor da prestação se o cliente optar 
pelo pagamento em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo no final de 
um mês? 
 
 3. Uma empresa comercial comprou um bem cujo preço à vista é de $500.000,00. 
Porém, essa empresa comprou o referido bem a prazo dando uma entrada no 
valor de $200.000,00 e o saldo devedor em 12 prestações mensais de $33.847,62. 
Qual a taxa de juros cobrada? 
 
 4. O valor à vista de um equipamento industrial de $300.000,00. Sabendo-se que o 
mesmo está sendo ofertado em prestações mensais de $13.260,55 sem entrada, 
sendo o primeiro pagamento previsto para um mês após a compra e que a loja 
cobra uma taxa de juros de 4% ao mês, determinar o número de prestações. 
 
 5. Uma loja tem como norma facilitar a compra para seus clientes proporcionando o 
pagamento em 5 vezes sem acréscimos. Neste caso, um bem é colocado a venda 
por $500.000,00 dividido em 5 prestações mensais iguais sem entrada com o 
pagamento da primeira prestação um mês após a compra. Qual o percentual de 
desconto que poderá oferecer a seus clientes, caso o pagamento seja feito à vista, 
sabendo-se que a taxa de juros vigente no mercado é de 3% ao mês? 
 
 6. O gerente financeiro de uma loja, deseja estabelecer, coeficiente de financiamento 
por unidade de capital vendido. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo 
valor financiado é igual à prestação mensal imediata postecipada. Sabendo-se 
que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3% ao mês, quais os coeficientes 
unitários para pagamento em: 
 
 a)06 prestações b)12 prestações c)18 prestações 
43 
 
 
 
 
 7. Um bem é vendido em uma loja a prazo em 12 prestações mensais de $9.749,00 
ou em 24 prestações mensais de $6.150,00. Nos dois casos, o cliente não dará 
entrada alguma e o pagamento da primeira prestação ocorrerá no final do primeiro 
mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 5% ao 
mês, qual a melhor alternativa? 
 
 
 
 
 
 
 
 8. Uma imobiliária financia com recursos próprios e pagamento da poupança para a 
aquisição de imóveis. Um apartamento é colocado a venda e sua poupança à vista 
é de $1.500.000,00 ou financiada pelos planos a seguir: 
 
Plano A: Entrada de $500.000,00, mais 04 prestações trimestrais iguais no 
 valor de $316.000,00. 
 
 Plano B: Entrada de $300.000,00, mais 08 prestações trimestrais iguais 
 no valor de $230.000,00. 
 
 Diante das propostas apresentadase sabendo-se que a taxa de juros vigente no 
mercado é de 30% ao ano, capitalizados trimestralmente, pergunta-se: 
 
 Qual o melhor plano de pagamento? 
 
 
 9. Uma fábrica Beta é vendida à vista por $320.000,00 ou a prazo na seguinte 
condição de pagamento: 
 Entrada no valor de $160.000,00; 
 2 parcelas semestrais iguais no valor de $20.000,00 com vencimentos para 
6 e 12 meses respectivamente após a data de compra; e 
 12 prestações mensais iguais imediatas e postecipadas. 
 
Calcular o valor das prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros cobrada 
pela financeira é de 18% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
10. Um comerciante tomou um empréstimo para ser pago em 10 prestações mensais 
de $100.000,00 cada, a taxa de juros de 3% ao mês. Depois de ter pago a sexta 
prestação, o comerciante ficou impossibilitado de saldar as restantes. 
 Sabendo-se que o empréstimo foi feito 2 anos atrás, quanto deverá pagar hoje o 
comerciante para liquidar a sua dívida? 
 
11. Uma firma prestadora de serviços obteve um empréstimo no valor de 
$1.000.000,00 para ser pago em 10 prestações mensais iguais, a taxa de 2,5% ao 
mês. Depois de ter pago até a 4ª prestação, a fim de abreviar o prazo do 
empréstimo, propôs ao seu credor que fosse efetuado o pagamento com desconto 
da 8ª prestação juntamente com a 5ª, a 9ª com a 6ª e a 10ª com a 7ª. Calcular o 
valor de cada prestação antecipada e o valor da nova prestação a ser paga. 
 
44 
 
 
12. Um comerciante prevê que daqui a 8 meses passará a ter despesas mensais no 
valor de $500.000,00 durante 1 ano. Quanto deve depositar mensalmente a partir 
de hoje até o 7º mês, em um banco que paga uma taxa de 3% ao mês, para obter 
um saldo credor necessário para efetuar as retiradas mensais e ficar no final com 
saldo igual a zero? 
 
 
13. Que dívida pode ser amortizada com o pagamento de 15 prestações mensais de 
$100.000,00, sendo de 3% ao mês a taxa de juros cobrada, e o pagamento da 
primeira prestação deverá ser feito 8 meses após a realização do empréstimo? 
 
 
 
 
14. Em quantas prestações mensais de $100.000,00 se pode pagar a dívida no valor 
de $1.029.776,80 sendo de 3% ao mês a taxa de juros cobrada e devendo o 
pagamento da primeira ser efetuado 6 meses após a realização do empréstimo? 
 
 
15. O gerente financeiro de uma loja, atendendo a nova política de venda a prazo com 
carência, resolve publicar os coeficientes para facilitar o trabalho dos vendedores 
no cálculo do valor das prestações. Estes coeficientes serão aplicados sobre cada 
unidade de capital financiado, correspondendo à taxa de juros de 3,5% ao mês. 
Calcular os coeficientes unitários para pagamento nas condições a seguir: 
 
 a) Carência de 3 meses, mais 10 prestações mensais iguais postecipadas. 
 b) Carência de 5 meses, mais 8 prestações mensais iguais postecipadas. 
 
 
16. A empresa Gama S.A. assumiu um empréstimo no valor de $800.000,00 na 
seguinte condição de pagamento: 
 
 a) Carência de 6 meses; 
 b) 3 prestações trimestrais iguais e consecutivas no valor de $300.000,00, 
 sendo o primeiro pagamento efetuado 9 meses após o empréstimo; 
 c) 12 prestações mensais iguais, devendo o primeiro pagamento ser efetuado no 
 fim do período após a carência. 
 
 Determinar o valor das prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros 
cobrada foi de 3% ao mês. 
 
17. O preço à vista de um determinado bem é de $150.000,00. O comprador resolve 
comprar o mesmo pagando 30% de entrada e concordando em pagar o saldo 
acrescido de juros à taxa de 5% ao mês em tantas prestações mensais de 
$16.000,00 quantas forem necessárias, sendo a primeira vencendo 8 meses após 
a data da compra e mais um pagamento inferior a $16.000,00 que deve ser 
efetuado um mês após a data de vencimento da última prestação. 
 
 Pede-se: 
 
 a) Determinar o número de prestações; 
 b) O valor da parcela final; 
 c) O valor do bem a prazo; 
 d) Supondo que o vendedor logo após o recebimento da 10ª prestação, negocia à 
45 
 
 
 vista o resto da dívida com um banco que paga uma taxa de juros de 7% ao 
 mês, qual a importância recebida? 
 
18. Um imóvel é vendido à vista por $800.000,00 ou a prazo em 18 prestações 
mensais iguais sem entrada, com o pagamento no ato da compra da primeira 
prestação. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de juros de 30% ao ano, 
capitalizados mensalmente, determinar o valor da prestação. 
 
19. Que dívida é amortizada com o pagamento de 10 prestações mensais iguais, 
imediatas e antecipadas., no valor de $30.000,00 sabendo-se que a taxa de juros 
cobrada foi de 15% ao trimestre, capitalizados mensalmente? 
 
 
20. Uma compra no valor de $773.274,40 deve ser paga quantas prestações mensais 
iguais, no valor de $100.000,00 considerando-se que o pagamento da primeira 
será efetuado no ato da compra e a taxa de juros cobrada pela loja é de 4% ao 
mês? 
 
21. Com a finalidade de facilitar o trabalho dos vendedores no cálculo do valor das 
prestações para as vendas a prazo, o gerente financeiro de uma loja resolve 
publicar os coeficientes que multiplicados pelo valor financeiro determina o valor 
da prestação mensal. Sabendo-se que a primeira prestação será paga no ato da 
compra e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3,5% ao mês sobre o saldo 
devedor, determine os coeficientes para pagamento em 6 e 12 parcelas. 
 
22. Uma dívida no valor de $500.000,00 foi amortizada em 15 prestações mensais 
iguais. Sabendo-se que houve um prazo de carência de 5 meses e que o 
pagamento da primeira prestação será efetuado imediatamente após o término da 
carência, determinar o valor das prestações, considerando a taxa de juros de 18% 
ao semestre, capitalizados mensalmente. 
 
23. Qual o número de prestações mensais no valor de $17.658,40 necessárias para 
liquidar um empréstimo no valor de $100.000,00, sabendo-se que existe uma 
carência de 6 meses e o pagamento da primeira prestação será efetuado 
imediatamente após o término da carência. A taxa de juros cobrada foi de 84% ao 
ano, capitalizados mensalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
Respostas da Lista de Exercícios 
de Anuidades ou Séries ou Rendas Certas 
 
 
 1) p = $33.351,05 
 
 2) p = $33.227,55 
 
 3) Tabela Financeira → ie = 5% 
 
 4) Tabela Financeira → n = 60 prestações mensais 
 
 5) PV = VA = $457.970,70 
 Desconto = 8,41% 
 
 6) a)ß = 0,184597 
 b)ß = 0,100462 
 c) ß = 0,072708 
 
 7) Opção A → PV = VA = $86.407,83 
 Opção B → PV = VA = $84.861,64 
 A melhor opção é a B, porque apresenta o menor valor atual 
 
 8) Plano A → PV = VA = $1.558,387,07 
 Plano B → PV = VA = $1.647.179,69 
 O melhor plano de pagamento é o A. 
 
 9) p = $11.458,29 
 
10) FV24 = M 24 = $632.810,82 
 
11) p = $114.258,76 
 p' = $106.100,58 
 pt = $220.359,34 
 
12) p’ = $559.695,68 
 
13) PV = VA = $970.664,04 
 
14) a n 3% = 11,937934 
 Tabela financeira → n = 15 prestações mensais 
 
15) a) ß = 0,133313 
 b) ß = 0,172780 
 
16) PMT = $20.045,07 
 
 
17) a n 5% = 9,234093 
 Tabela financeira → n = 12 ( mais próximo inferior ) 
 PMT’ = $11.188,52 
 
 
47 
 
 
 
 
18) p = $54.376,64 
 
19) PV = VA = $243.234,63 
 
20) n = 9 prestações 
 
21) a) ß = 0,181322 
 b) ß = 0,099984 
 
22) PMT = $47.139,98 
 
23) a n 7% = 7,942684 
 Tabela Financeira→ n = 12 prestações mensais iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 
 
 Construiras planilhas da amortização para os empréstimos abaixo: 
 
1. Uma empresa contraiu um empréstimo de $400.000,00 à taxa de 10% a.a., para 
ser pago em 5 anos. Mostre a planilha desse empréstimo. 
 
2. Um empresário assumiu um empréstimo de $500.000,00 que deve ser pago em 5 
anos à taxa de 10% a.a. Mostre a planilha. 
 
3. Uma firma comercial contraiu um empréstimo de $300.000,00 para ser pago em 
12 anos à taxa de 20% a.a. Mostre a planilha. 
 
4. Elaborar um plano de pagamento, com base no SAC, correspondente a um 
empréstimo de $100.000,00 à taxa de 3% a.m., a ser liquidado em 10 prestações 
mensais. 
 
5. Uma empresa Gama contraiu um empréstimo de $200.000,00 que o banco 
entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 4 anos de carência, que os juros 
serão capitalizados e que a taxa de juros é de 20% a.a. e que o principal será 
amortizado em 5 parcelas iguais, monte a planilha. 
 
6. Uma indústria Delta S.A. contraiu um empréstimo de $1.000.000,00 que o banco 
entregou no ato. O banco concedeu-lhe 3 anos de carência, sabendo-se que os 
juros serão capitalizados na carência, e que a taxa de juros é de 10% a.a. e que o 
principal será amortizado em 4 parcelas iguais. Monte a planilha. 
 
7. Um comerciante contraiu um empréstimo de $100.000,00 dado pelo banco em 
duas parcelas iguais, defasadas de um ano, com a taxa de 10% a.a., com prazo 
de 3 anos de carência e prazo total de financiamento de 6 anos. Monte a planilha 
do SAC . 
 
8. Um banco empresta $1.000.000,00 sob as seguintes condições: 
 
a) Juros de 20% a.a., pagos semestralmente; 
b) Carência de 1 ano; 
c) Comissão de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor financiado, 
pago ao ato; 
d) Comissão de 1% sobre o saldo devedor anual; 
e) Imposto sobre operações financeira (IOF) de 1% sobre o total do 
financiamento ( principal + encargos financeiros ), pago no ato; 
f) Amortizações semestrais constantes; 
g) Prazo total 4 anos e meio. 
 
Construir a planilha de financiamento. 
 
 
 
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5ª LISTA DE EXERCÍCIOS DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
 
 
 Construir as planilhas de amortização para os empréstimos abaixo: 
 
 
1. Um banco empresta $250.000,00 pelo sistema francês de amortização em 6 
prestações mensais sem período de carência a uma taxa de 8% a.m. 
 
2. Para o problema anterior, considerar uma carência de 3 meses e os juros pagos 
durante a carência. 
 
3. Uma empresa Beta adquiriu um empréstimo de $100.000,00 para ser amortizado 
em 5 prestações iguais e mensais a uma taxa de 10% a.m., com uma carência de 
2 meses, sendo que os juros serão capitalizados e incorporados ao principal 
durante a carência. 
 
4. Um empréstimo de $60.000,00, será pago em 4 prestações mensais iguais sem 
período de carência a uma taxa de 60% a.a. capitalizados mensalmente. Construir 
a planilha de amortização. (TABELA PRICE) 
 
5. Um empréstimo de $500.000,00 deverá ser amortizado em 6 prestações 
trimestrais com 2 trimestres de carência, a uma taxa de 30% a.a. capitalizados 
trimestralmente. 
 Considerando que os juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o 
período de carência, qual o valor das prestações? (TABELA PRICE ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6ª LISTA DE EXERCÍCIOS DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
 
1) Um banco empresta $100.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juros de 6% a.s com 
prazo de utilização unitário, para ser devolvido após uma carência de 2 anos. 
Sabendo-se que os juros são cobrados semestralmente, calcular a planilha pelo sistema 
americano. Qual é a taxa efetiva anual? 
 
2) Seja o mesmo exemplo do item interior, em que se admite a capitalização dos juros 
durante a carência. 
 
3) Um banco empresta $100.000,00 a uma empresa, cobrando a taxa de juros de 12% 
a.a.. Sabendo que o prazo de utilização é unitário, que não há carência, que os juros 
serão cobrados em base anual e que o método utilizado pelo banco é o sistema 
americano com um prazo total de 4 anos, pede-se: 
Construir a planilha do empréstimo. 
 
4) O valor financiado foi de $100.000,00 a uma taxa de 25% pelo prazo de 4 anos 
optando pelo Sistema Americano. Construir a planilha de amortização e a planilha do 
fundo de amortização sendo que seus depósitos serão anuais a uma taxa de 27% a.a. 
 
5) Uma instituição financeira empresta a uma empresa X, o valor de R$15.000,00 
cobrando uma taxa de 8% a.a. 
Sabendo-se que o prazo de utilização é unitário, que não há carência, que os juros 
serão cobrados em base anual e que o método utilizado nesse banco é o Sistema 
Americano ( S.A ) com prazo de 4 anos, construir as planilhas do empréstimo e do 
sinking fund. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7ª LISTA DE EXERCÍCIOS DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL 
 
 1) Um comerciante pediu emprestado ao banco $200.000,00 que serão 
amortizados mensalmente, a seguir discriminado: 
 
 1º mês.........$30.000,00 
 2º mês.........$50.000,00 
 3º mês.........$50.000,00 
 4º mês.........$70.000,00 
 
Sabendo-se que o banco concedeu 2 meses de carência e que a taxa de juros é 
de 5% ao mês e que os juros devidos serão pagos mensalmente, construir a 
planilha. 
 
2) Uma empresa pede emprestado $100.000,00 que serão amortizado 
anualmente do seguinte modo: 
 1º ano ........$10.000,00 
 2º ano.........$20.000,00 
 3º ano.........$30.000,00 
 4º ano.........$40.000,00 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 10% a.a. e banco concedeu 3 anos de 
carência, e que os juros serão pagos anualmente. 
 
3) Uma firma Gama contraiu um empréstimo de $50.000,00 que serão pagos 
anualmente da seguinte forma: 
 1º ano........$5.000,00 
2º ano........$10.000,00 
3º ano .......$15.000,00 
4º ano........$20.000,00 
Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência para o início das 
amortizações, e que a taxa de juros é de 10% a.a. e que os juros devidos serão 
pagos anualmente, construir a planilha. 
 
4) A empresa Beta Ltda. consegue um empréstimo de $200.000,00 que serão 
pagos da seguinte forma: 
 1º ano ----$20.000,00 
 2º ano ----$40.000,00 
 3º ano ----$60.000,00 
 4º ano ----$80.000,00 
Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência para o início da 
amortização, a taxa de juros de 10% e os juros devidos serão pagos 
anualmente, construir a planilha. 
 
5) Uma fábrica de sapatos pede emprestado $10.000,00 para cobrir uma dívida 
que será amortizada desta modo: 
 1º ano ---- $5.000,00 
 2º ano ---- $5.000,00 
Sabendo-se que o banco concedeu 2 anos de carência para o início das 
amortizações e que a taxa de juros é de 5%a.a., construir a planilha. 
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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de MBA 
PROFESSORA: TERESA CRISTINA G. BRAGA 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
 
MANUAL DA HP 12 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de MBA 
PROFESSORA: TERESA CRISTINA G. BRAGA 
 
 
 
MANUAL DA HP 12C 
 
 
Comandos, funções e testes iniciais. 
Ligar e desligar a calculadora 
Para ligar e desligar a calculadora, basta pressionar a tecla [ON]. 
[ON] - Liga a calculadora (se ela estiver desligada). 
[ON] - Desliga a calculadora (se ela estiver ligada). 
Auto-teste dos circuitos 
 
Para saber se a calculadora está funcionando normalmente, existem alguns 
procedimentos de teste que podem ser efetuados, como: 
 
I - Teste automático: 
Com a calculadora