Aula 04 Estado Plano de Tensao Parte 1

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CURSO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Campus Buritis
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
AULA 04
ESTADO PLANO DE TENSÃO
Prof. Luiz Brant
Estado Geral de Tensão
Equilíbrio de um corpo deformável
Cargas externas
1.Forças de superfície:
Causadas pelo contato direto de um corpo 
com a superfície de outro.
2.Força de corpo:
Desenvolvida quando um corpo exerce 
uma força sobre outro, sem contato físico 
direto entre eles.
Estado Geral de Tensão
Equações de equilíbrio
• O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças e um equilíbrio de 
momentos.
• Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O,
A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o diagrama 
de corpo livre do corpo.
0M 0F   O
0 , 0 , 0
0 , 0 , 0




zyx
zyx
MMM
FFF
Estado Geral de Tensão
Equações de equilíbrio
Estado Geral de Tensão
Equações de equilíbrio
Estado Geral de Tensão
Equações de equilíbrio
Cargas resultantes internas
• O objetivo do diagrama de corpo livre é determinar a força e o momento 
resultantes que agem no interior de um corpo.
• Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes:
a) Força normal, N
b) Força de cisalhamento, V
c) Momento de torção ou torque, T
d) Momento fletor, M
Estado Geral de Tensão
Tensão
A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico 
(área) que passa por um ponto.
Tensão normal, σ
Intensidade da força que age 
perpendicularmente à ΔA
Tensão de cisalhamento, t
Intensidade da força que age 
tangente à ΔA A
F
A
F
y
A
zy
x
A
zx








0
0
lim
lim
t
t
A
Fz
A
z



 0
lim
Estado Geral de Tensão
Estado Geral de Tensão
Estado PLANO de Tensão
• A tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico pode ser
analisada em um único plano. Quando isso ocorre, o material está sujeito a
tensões no plano.
Transformação de tensão no plano
Estado PLANO de Tensão
Transformação de tensão no plano
Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso tenha
uma orientação diferente.
Estado PLANO de Tensão
Equações Gerais de Transformação de Tensão no Plano
 t


t

t
t


2sen2cos
22
2cos2sen
2
2sen2cos
22
'
''
'
xy
yxyx
y
xy
yx
yx
xy
yxyx
x





 








 






Estado PLANO de Tensão
Equações Gerais de Transformação de Tensão no Plano
Convenção de Sinais
A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de 
cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento.
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 1
O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do avião é 
representado no elemento orientado como mostra a figura. Represente o estado de 
tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à 
posição mostrada.
Estado PLANO de Tensão
Tensões Principais no Plano
t 2sen2cos
22
' xy
yxyx
x 



d
d
0
Estado PLANO de Tensão
Tensões Principais no Plano
A orientação dos planos irá determinar se a tensão normal é 
máxima ou mínima.
A solução tem duas raízes, portanto temos a tensão principal.
  2/
2tg
yx
xy
p 
t



21
2
2
2,1 onde 
22
t 




 


 xy
yxyx
Nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais
Estado PLANO de Tensão
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a 
mínima da tensão de cisalhamento.
A solução possui duas raízes, portanto nós temos tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média.
 
xy
yx
c t


2/
2tg


2
2
plano no
máx 
2
xy
yx t

t 




 

2
méd
yx 


Estado PLANO de Tensão
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento
da figura abaixo. Represente este estado de tensão em termos das tensões
principais.
Exemplo 2
Estado PLANO de Tensão
Com base no mesmo estado plano de tensão mostrado no elemento da figura
anterior, represente este estado de tensão como a tensão de cisalhamento
máxima no plano e a tensão normal média.
Exemplo 3
MPa
I
Mc
y 2,63
MPa
J
Tc
xy 9,56t
0cortxyt
Esforços Atuantes 
na seção do 
ponto H
Y
Z
Exemplo 4)
Uma força horizontal P de 670 N é aplicada à extremidade D da alavanca ABD. Para 
o ponto H, determine: (a) as tensões principais; (b) o ângulo em que as tensões 
principais ocorrem; (c) o ângulo em que ocorre a tensão de cisalhamento máximo; 
(d) o valor da tensão de cisalhamento máxima.
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 5)
O elemento mostrado na figura tem seção transversal regular. Determine e 
represente o estado de tensão que a carga produz no ponto C. Determine as 
tensões principais no mesmo ponto.
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 5)
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 6)
A haste maciça mostrada na figura tem raio de 0,75 cm. Se estiver sujeita à carga 
mostrada determine o estado de tensão no ponto A. Determine as tensões 
principais e a tensão de cisalhamento máximo no mesmo ponto.
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 6)
Estado PLANO de Tensão
Exemplo 6)
CARGAS COMBINADAS