1.1 Produto Escalar

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Profa. Dra. Fabíola A. SperottoProfa. Dra. Fabíola A. Sperotto
Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG
Definição
� Dados
Definimos o produto escalar de , denotado por 
),,(e),,( 222111 zyxvzyxu ==
rr
vu
rr
 e vu
rr
⋅� Definimos o produto escalar de , denotado por 
como o número real 
vu
rr
 e vu
rr
⋅
.212121 zzyyxxvu ++=⋅
rr
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Propriedades
( ).3
.2
0.1
wuvuwvu
uvvu
uu
rrrrrrr
rrrr
rr
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
≥⋅
( )
( ) ( ) ( )
2
.5
.4
.3
uuu
vmuvumvum
wuvuwvu
rrr
rrrrrr
rrrrrrr
=⋅
=⋅=⋅
⋅+⋅=+⋅
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Ângulo entre dois vetores
� O produto escalar permite também calcular o ângulo
entre dois vetores.
� O produto escalar pode ser definido como
θcosvuvu rrrr =⋅
� O ângulo procurado é o menor ângulo formado por
dois representantes destes vetores, com a mesma
origem.
θcosvuvu =⋅
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Exemplo
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Lei dos cossenos
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Analisando o triângulo
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Aplicando a lei dos cossenos no 
triângulo
� Da Geometria Plana, temos
Associando esta ideia ao triângulo formado pelos 
θcos2222 abbac −+=
� Associando esta ideia ao triângulo formado pelos 
vetores
θcos2222 vuvuw rrrrr −+=
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� Reescrevendo
wvuvu
rrrrr
−+=θcos2 222
vu
vu
rr
rr
⋅
=θcos
então,
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Observação
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Vetores Ortogonais
� Dois vetores são ortogonais se
.0=⋅vu rr
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Vetor Projeção
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� Dados dois vetores , existe um único vetor que 
verifica:
vu
rr
e
( ) 0.2
||.1
=⋅−⇒⊥− uavuav
ua
rrrrrr
rr
� O vetor é chamado projeção ortogonal de sobre 
.
� Indicamos por 
( ) 0.2 =⋅−⇒⊥− uavuav
a
r
u
r
v
r
u
vproja
r
r
r
=
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� Pela condição 1:
� Pela condição 2:
ua
rr
α=
( ) 0uav rrr =⋅−( )
( )
2
0
0
0
u
uv
uuuv
uuv
uav
r
rr
rrrr
rrr
⋅
=
=⋅−⋅
=⋅−
=⋅−
α
α
α
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� Portanto,
uv r
rr
r




⋅
u
u
uvprojuv
r
r
rr
r
r
⋅








⋅
= 2
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