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Profa. Dra. Fabíola A. SperottoProfa. Dra. Fabíola A. Sperotto Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Definição � Dados Definimos o produto escalar de , denotado por ),,(e),,( 222111 zyxvzyxu == rr vu rr e vu rr ⋅� Definimos o produto escalar de , denotado por como o número real vu rr e vu rr ⋅ .212121 zzyyxxvu ++=⋅ rr Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Propriedades ( ).3 .2 0.1 wuvuwvu uvvu uu rrrrrrr rrrr rr ⋅+⋅=+⋅ ⋅=⋅ ≥⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .5 .4 .3 uuu vmuvumvum wuvuwvu rrr rrrrrr rrrrrrr =⋅ =⋅=⋅ ⋅+⋅=+⋅ Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Ângulo entre dois vetores � O produto escalar permite também calcular o ângulo entre dois vetores. � O produto escalar pode ser definido como θcosvuvu rrrr =⋅ � O ângulo procurado é o menor ângulo formado por dois representantes destes vetores, com a mesma origem. θcosvuvu =⋅ Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Exemplo Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Lei dos cossenos Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Analisando o triângulo Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Aplicando a lei dos cossenos no triângulo � Da Geometria Plana, temos Associando esta ideia ao triângulo formado pelos θcos2222 abbac −+= � Associando esta ideia ao triângulo formado pelos vetores θcos2222 vuvuw rrrrr −+= Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG � Reescrevendo wvuvu rrrrr −+=θcos2 222 vu vu rr rr ⋅ =θcos então, Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Observação Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Vetores Ortogonais � Dois vetores são ortogonais se .0=⋅vu rr Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG Vetor Projeção Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG � Dados dois vetores , existe um único vetor que verifica: vu rr e ( ) 0.2 ||.1 =⋅−⇒⊥− uavuav ua rrrrrr rr � O vetor é chamado projeção ortogonal de sobre . � Indicamos por ( ) 0.2 =⋅−⇒⊥− uavuav a r u r v r u vproja r r r = Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG � Pela condição 1: � Pela condição 2: ua rr α= ( ) 0uav rrr =⋅−( ) ( ) 2 0 0 0 u uv uuuv uuv uav r rr rrrr rrr ⋅ = =⋅−⋅ =⋅− =⋅− α α α Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG � Portanto, uv r rr r ⋅ u u uvprojuv r r rr r r ⋅ ⋅ = 2 Profa. Dra. Fabíola Sperotto - IMEF - FURG
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