1.2 Produto Vetorial

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Profa. Dra. Fabíola A. SperottoProfa. Dra. Fabíola A. Sperotto
Porfa. Dra. Fabíola A. Sperotto - IMEF - FURG
Definição
� Dados dois vetores não nulos e não paralelos,
precisamos determinar um
terceiro vetor que seja simultaneamente ortogonal a
� Significa que
),,(e),,( 321321 vvvvuuuu ==
rr
.e vu
rr
� Significa que
0
0
=⋅
=⋅
vw
uw
rr
rr
� Os vetores e formam, desta forma, um 
triedro positivo, observe a figura a seguir. 
vu
rr
, w
r
� Se a rotação for no sentido anti-horário a base é 
positiva. 
� Sendo assim , é positiva.
� A base canônica é representada no sentido positivo, 
},,{ wvu rrr
� A base canônica é representada no sentido positivo, 
assim nessa ordem é positiva.},,{ kji
rrr
Produto Vetorial de 
� Na prática utilize o seguinte dispositivo para realizar o 
produto vetorial entre os vetores da base:
},,{ kji
rrr
Anti-horário
� Portanto,
� Casos particulares:
jik
ikj
kji
rrr
rrr
rrr
=×
=×
=×
0
0
0
=×
=×
=×
kk
jj
ii
rr
rr
rr
Cálculo do Produto Vetorial
� Expressão cartesiana: dados dois vetores
� o produto vetorial em coordenadas:
),,(e),,( 321321 vvvvuuuu ==
rr
vu
rr
×
( ) ( )kvjvivkujuiuvu rrrrrrrr =×=× ,,,,( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )kkvujkvuikvu
kjvujjvuijvu
kivujivuiivu
kvjvivkujuiuvu
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
×+×+×
+×+×+×
+×+×+×
=×=×
332313
322212
312111
321321 ,,,,
� Usando o dispositivo anterior para o cálculo dos 
produtos vetoriais, temos
.)()()( 122113312332 kvuvujvuvuivuvuvu
rrrrr
−+−−−=×
� No entanto, podemos usar uma regra prática para o
cálculo deste produto, observe a seguir.
Uso do determinante para o 
cálculo do produto vetorial
=





=× 321det uuu
kji
vu
rrr
rr
=






=×
321
321det
vvv
uuuvu
.)()()( 122113312332 kvuvujvuvuivuvu
rrr
−+−−−
Propriedades
( )
.
0.
rrrrrrr
rrrr
rrr
×+×=+×
×−=×
=×
uvvuii
uui
( )
( ) ( )
0.
.
.
rrr
rrrr
rrrrrrr
=×
×=×
×+×=+×
vuv
vuvuiv
wuvuwvuiii
αα
( )vuvuvuvii
vuvuvi
rrrrr
rrrr
⋅−=×
×
.
 e vetoresaos mentesimultanea ortogonal é.
2222
Porfa. Dra. Fabíola A. Sperotto - IMEF - FURG
( )
( ) ( ) wvuwvuix
senvuvuviii
vuvuvuvii
rrrrrr
rrrr
××≠××
=×
⋅−=×
.
.
.
θ
Sentido
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Aplicações
� Cálculo de área:
� Área do paralelogramo
vuA rr ×=
� Área do triângulo
vuA rr ×=
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